一类含有一般非线性项的Choquard方程的基态解

何毅，刘彩红，彭超权

(中南民族大学 数学与统计学学院, 武汉 430074)

1 相关知识

本文考虑以下非线性Choquard方程:

-Δu+u=(Iα*F(u))f(u),x∈N,

(1)

其中N≥3,α∈(0,N),F是f的原函数,Iα是Riesz位势, 对于∀x∈N{0}, 有f:→是连续函数.为了找到正解, 假设当t<0时,f(t)=0.此外, 还需要以下条件:

注意对于α=N的情形, 条件(f1)～(f3)最早是由文[1]引入的.这个假设可以看作是将著名的Berestycki-Lions条件[2-3]推广到了具有Hardy-Littlewood-Sobolev的临界增长的非局部Choquard方程.

本文的主要结果是:

2 主要结果

方程(1)对应的泛函为:

由文[4]可知, 如果u∈H1(N)是方程(1)的弱解, 则下面的Pohozaev恒等式成立:

(2)

引理1I具有山路引理的几何结构[5], 即:

(i) ∃ρ0,α0>0, 使得对所有的u∈H1(N)且‖u‖H1(N)=ρ0, 有I(u)≥α0;

(ii) ∃u0∈H1(N), 使得I(u0)<0.

证明(i) 由条件(f1)和(f2)可知, 对于∀δ>0,∃Cδ>0 使得:

f(u)≤δ|u|α/N+Cδ|u|(α+2)/(N-2),F(u)≤δ|u|(N+α)/N+Cδ|u|(N+α)/(N-2),

(3)

根据Hardy-Littlewood-Sobolev不等式[6]与Sobolev嵌入定理, 有:

然后令ρ0,α0>0充分小, (i)成立.

(ii) 选择u∈H1(N)且u+≠0, 则那么对于∀θ>0,有:

选择一个足够大的θ0>0, 确保I(u(x/θ0))<0, 则u(x/θ0)是所期望的u0.

因此定义I的山路值:

(4)

其中:

Γ:={γ∈C([0,1],H1(N)):γ(0)=0且I(γ(1))<0},

(5)

由引理1(i)可知c>0, 此外, 记b:=inf{I(u):u∈H1(N){0}是方程(1)的非平凡解}.

命题1在H1(N)中存在一列使得当n→∞时,

I(un)→c,I′(un)→0,P(un)→0.

(6)

证明定义映射Φ:R×H1(N)→H1(N), 对任意θ∈R,u∈H1(N), 有:

Φ(θ,u)=u(e-θx),

泛函I∘Φ为:

由引理1可知, 对所有的(θ,u), |θ|, ‖u‖H1(N)足够小且(I∘Φ)(0,u0)<0, 有:

(I∘Φ)(θ,u)>0,

(7)

其中:

(8)

由一般极小极大原理, 在R×H1(N)中存在序列使得当n→∞时, 有:

(I∘Φ)(θn,ωn)→c,

(9)

(I∘Φ)′(θn,ωn)→0,在(×H1(N))-1中,

(10)

θn→0.

(11)

由文[7]定理2.8中的(b)可知, ∃(θn,ωn)∈×H1(N), 使得:

dist((θn,ωn),(0,γn(t)))≤2/n,

则(11)式成立.

对任意的(h,ω)∈×H1(N), 有:

(12)

在(12)式中取h=1,ω=0, 有:

P(Φ(θn,ωn))→0(n→∞),

(13)

对任意u∈H1(N), 令(12)式中的ω(x)=u(eθnx),h=0 , 由(11)式可得:

(14)

在(9)、(13)和(14)式中令un:=Φ(θn,ωn), 得到(6)式.

引理2在H1(N)上, 满足(6)式的任意序列是有界的.

证明由(6)式可知:

得到了{‖un‖H1{N}}的上界.

文献[8]证明了:

(15)

由下式:

(16)

(17)

对于山路值c有以下估计:

直接计算得:

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(21)与(22)式表明:

(23)

与(23)式类似, 当δ>0充分小时, 有:

(24)

如(21)式所述，由Hardy-Littlewood-Sobolev不等式可知:

(25)

(26)

(27)

由(15)、 (16)与(17)式可知,

(28)

另一方面,

由Hardy-Littlewood-Sobolev不等式可得:

与(I)类似, 可知(II)≤Cδ(N+α)/2, 因此:

(29)

由条件(f3)可知:

I(ψδ(x/t))≤gδ(t):=

0

(30)

(31)

其中：

从(30)与(31)式可知:

根据(20)、(24)、(26)与(27)式, 区分以下情况:

如果q0>α+1,令δ>0充分小, 可得到结论.如果q0≤α+1, 则选择λ=δ-θ,θ>(1+α-q0)/4, 令δ>0充分小, 仍可得出结论.

证明反证法.假设引理不成立, 则由消失定理[9]可得当n→∞时, 有:

(32)

令l≥0, 则有:

(33)

显然l>0, 否则当n→∞时, ‖un‖H1(N)→0, 与c>0矛盾.由(32)与(33)式可以得到:

(34)

由(15)式可以发现:

(35)

(36)

(37)