带有吸引Hardy项的临界椭圆方程组解的渐近同步

康东升，吴慧敏, 曹玉平

(1 中南民族大学 数学与统计学学院，武汉 430074; 2 中南民族大学 图书馆，武汉 430074)

1 相关知识

本文主要研究下列方程组：

(1)

其中Δp·:=div(|·|p-2·)是p-Laplacian算子，D1,p(RN)为关于范数的完备化空间，是临界Sobolev指数，并且参数满足下列条件：

g(τ):=λaτp+(μ1-μ2)τa-λb,τ≥0.

一般地，总是假设A<Λ0,Λ0是下面函数的最小正零点：

与Hardy不等式[2]相关的临界椭圆方程(组)已经被一些数学工作者研究过(参见文献[3-8]).文献[9]和[10]研究了一类拟线性奇异临界椭圆方程解的渐近性质.但是方程组(1)在λ>0的情形很少被研究(文献[6]初步研究了方程组(1)在p=2时的情形).本文主要研究方程组(1)的径向对称严格递减解在原点和无穷远处的渐近性质，采用的是常微分方程中的分析方法.本文的主要结果如下：

定理1假设条件(H) 成立且A<Λ0,k(A)<0.设(u,v)是方程组(1) 关于原点径向对称和关于|x|严格递减的解.令r=|x|，x∈RN{0}，则存在常数C1，C2>0，使得：

2 主要结果的证明

对∀x∈RN,令r=|x|，设(u(r),v(r))是方程组(1)的径向递减解.令L(u):=(rN-1·

|u′(r)|p-2u′(r))′，则有(参见文献[1,11])：

(2)

由此可知rN-1|u′(r)|p-2u′(r)和rN-1|v′(r)|p-2v′(r)是递减的.因为u′(r)，v′(r)≤0，那么在(0,+∞)上，有u′(r),v′(r)<0.令：

(3)

于是有yi(t)>0,zi(t)<0,t∈R,i=1,3.结合(2)、(3) 式可得：

(4)

正如文献[6]的讨论，有：

(5)

li：=sup{l|gi(l)<+∞}=inf{l|gi(l)>-∞},i=1,2.

同理可以定义：

lj:=inf{l|gj(l)<+∞}=sup{l|gj(l)>-∞},j=3,4,

则有l1=l2,l3=l4，并且

(6)

类似于文献[6]和[7]的讨论，可以得到下列引理，为简单起见省略证明过程.

引理1假设条件(H) 成立，(u,v)>0是方程组(1)的径向递减解.令r=|x|,x∈RN{0},则：

(2) 假设A<Λ0，则：

并且上述上确界和下确界值均无法达到.

引理2假设(H) 成立，A<Λ0，则l1=l2=b(μ*),l3=l4=a(μ*).

引理3假设(H) 成立，A<Λ0，k(A)<0,则ra(μ*)u(r)和rb(μ*)u(r)在(0,+∞)有界.

Fρ(H2)=Fρ(H2)-Fρ(a(ρ))=Q(t)(H2-a(ρ)),

(7)

(8)

定义：

(9)

由(4) 和(5) 式，得：

(10)

从而f′(A)=Ap-β-1k(A)<0.又因为y1,y2在(-∞,0)上递增,f在A附近递减，g在(0,+∞)递增，a≤α,b≤β，则可以得到：

矛盾.故假设不成立，从而可知命题A成立.为简单起见，可以假设T1=T0,于是有ρ(t)、a(ρ(t))在(-∞,-T0)上递减.

命题B 积分I1，I2有相同的收敛性.

事实上，如果H2(t)在(-∞,-T0)上递增，则：

a(ρ(t))

(11)

H2(t)-a(ρ(t))>0,
Fρ(H2)<0,∀t∈(-∞,-T0),

从(6)～(9) 式可知I1,I2有相同的收敛性，从而命题B成立.

通过计算有：

(12)

令ε→0+就有(p*-p)(δ-a(μ*)-ε)>0，再由引理2可以得到：

结合(10) 和(12) 式可得积分I2收敛.由(7)～(9) 式可得积分I1也收敛，又因为：

所以下面的极限存在：

由引理1推出：

则有：

且ra(μ*)u(r)在(0,e-T0)有界.又由引理1可知(ra(μ*)u(r))′<0，所以ra(μ*)u(r)在(0,+∞)上严格递减，从而ra(μ*)u(r)在(0,+∞)有界.同理，函数rb(μ*)u(r)在(0,+∞)也有界.

定理1的证明由引理1和引理3可知函数ra(μ*)u(r)在(0,+∞)严格递减且有界，函数rb(μ*)u(r)在(0,+∞)严格递增且有界，因此下列极限都存在：

(13)

其他结果可以从(4) 、(13) 式和引理1直接得出.定理1证毕.