去蜂窝大规模MIMO系统中预编码算法研究

朱翠涛，赵瑶

(中南民族大学 智能无线通信湖北省重点实验室，武汉 430074)

为提升用户覆盖率和用户体验，2017年NGO等人提出了去蜂窝大规模MIMO的概念[1-2]，结合集中式大规模MIMO和分布式大规模MIMO的优点，打破传统小区的概念，不存在所谓的边缘用户，因此可实现更加均匀的覆盖[3].虽然去蜂窝大规模MIMO技术有着广阔的应用前景，但是仍然存在一些需要解决的问题.例如，如何选择合适的预编码算法，在获得较好系统频谱效率的同时降低计算复杂度[4].

在去蜂窝大规模MIMO系统的下行链路发送端，信号在传输过程中会受到用户之间的干扰，导致系统性能的下降.而由于在用户端较难采取有效手段消除用户间干扰，因此需在发送端进行预编码处理.目前，在去蜂窝大规模MIMO中，常用的预编码算法有共轭波束成形 (Conjugate Beamforming，CB)预编码[5]、迫零(Zero-forcing，ZF)预编码[6-8]、正则化迫零(Regularized Zero-forcing，RZF)预编码[9]以及最小均方误差(Minimum Mean Square Error，MMSE)预编码[10-11].其中，CB预编码比较简单，但存在用户之间的干扰.与此相反，ZF预编码、RZF预编码以及MMSE预编码都可以消除用户之间的干扰，但涉及矩阵求逆运算，增加了运算量且提升了实际通信系统中硬件实现难度[12].因此，减少矩阵求逆的运算量也就降低了预编码算法复杂度.在大规模MIMO系统中，文献[13]给出了截断多项式扩展预编码算法，该算法利用矩阵多项式代替矩阵求逆，可以降低系统复杂度，但需要处理复杂的参数优化问题.文献[14]中利用高斯塞尔德迭代把矩阵求逆问题转化成求解方程式的解，降低了计算复杂度.虽然在大规模MIMO系统中关于低复杂度的预编码算法已经存在一些研究成果，但在去蜂窝大规模MIMO中却研究较少.

因此，在去蜂窝大规模MIMO系统中，提出一种基于Neumann级数(Neumann Series，NS)的低复杂度预编码算法.该算法首先计算ZF预编码中Hermitian矩阵即信道矩阵转置与信道矩阵共轭的乘积，为了满足Neumann级数收敛条件对该矩阵进行加权处理，接着通过Neumann级数多项式展开法，对前有限项进行求和，最后近似得到正定Hermitian矩阵的逆矩阵.NS预编码没有复杂的参数，采用多项式迭代过程代替ZF预编码矩阵的求逆运算，有效降低了计算复杂度.

1 系统与信号模型

如图1所示，去蜂窝大规模MIMO系统由一个中心处理单元(Central Processing Unit，CPU)、M个接入点(Access Point，AP)和K个用户终端(User Equipment，UE)组成，满足M>K，每个AP和UE均为单天线配置，并随机分布在一个给定的区域内.其中，所有的AP通过回程链路与CPU连接，并在同一个频带资源内同时服务于所有UE，该系统中所有的AP和UE都以时分双工(Time Division Duplex，TDD)模式进行工作，AP和UE之间的信道具有互易性.

图1 去蜂窝大规模MIMO系统Fig.1 Cell-free massive MIMO system

在去蜂窝大规模MIMO系统下行链路中，第k(k=1,2,…,K)个UE的接收信号为：

(1)

其中，Hmk表示第m(m=1,…，M)个AP与第K个UE之间的信道系数，xm表示第m个AP的发射信号，nk表示第k个UE处的加性噪声，服从均值为0，方差为1的复高斯分布.

由于AP和UE之间的信道具有互易性，可通过上行链路训练获取下行链路的信道状态信息(Channel State Information，CSI).根据文献[2]可知，第m个AP与第k个UE之间的信道系数由大尺度衰落和小尺度衰落两部分组成：

(2)

在上行链路导频训练中，CPU随机分配导频给所有UE，接着所有的UE同时发送导频给所有AP，最后在AP处进行信道估计.则第m个AP处的MMSE信道估计为：

(3)

(4)

在去蜂窝大规模MIMO系统下行链路中，UE信道信息的获取和预编码处理都是在AP上独自执行的。当使用线性预编码处理时，第m个AP发射的信号为：

(5)

2 基于Neumann级数预编码

2.1 迫零预编码

在去蜂窝下行链路中，根据上行链路AP上所获得的CSI，采用ZF预编码技术进行信号预处理，定义ZF预编码算法的预编码矩阵为：

WZF=BZFP,

(6)

因此，在下行链路中，采用ZF预编码技术，更新公式(1)，第k个UE的接收信号为：

(7)

式(7)中接收信号被划分为四部分，第一部分为有效信号，第二部分为其他用户间的干扰，第三部分为信道误差造成的干扰，第四部分为信道噪声.

(8)

考虑信道估计以及ZF预编码的计算，并参考文献[16]，第k个UE的频谱效率为：

(9)

由于ZF预编码中存在大矩阵求逆计算，随着UE数量K和AP数量M的增加，其复杂度也随之增加。为了降低该复杂度，避免矩阵的求逆，提出了一种基于NS算法的改进预编码算法.

2.2Neumann级数多项式展开法

Neumann级数直接对矩阵的逆进行估算，假设K阶方阵Z满足：

(10)

其中，I，0k分别为K阶单位矩阵和K阶零矩阵，则方阵Z的逆可以使用Neumann级数进行展开，则：

(11)

(12)

化简得：

(13)

由式(13)可知，对于给定的迭代次数N，近似ZZF-1的精准度取决于(IK-DZZF)矩阵特征值的大小，若要使算法的收敛性快，则D的特征值必须小。从这个思路出发，取矩阵ZZF每个对角元素的倒数所形成的对角矩阵作为D，D的表达式可表示为：

D=diag(1/ZZF(1,1),1/ZZF(2,2),…，1/ZZF(k,k)).

NS预编码算法步骤如下：

步骤2不满足收敛条件，则进行加权处理，获得矩阵DZZF;

WNS=BNSP.

3 复杂度分析

通过理论方法比较ZF预编码和NS预编码的复杂性，由于加法的运算量相对于乘法来说很低，因此仅计算各算法的乘法运算量，另外因为除矩阵求逆过程外其他部分运算量相同，所以仅对矩阵求逆进行复杂度的比较.ZF预编码的复杂度是3K3+2K2，NS预编码的复杂度如表1所示.

表1 NS预编码复杂度Tab.1 NS precoding complexity

如图2所示，M=100时NS预编码的计算复杂度随着N的增加而增加，当N<5时，NS预编码的复杂度小于ZF预编码，而当N=5时，NS预编码的复杂度接近ZF预编码的复杂度.但是，在实际的通信系统中矩阵求逆计算对硬件的要求较高，实现起来相比于矩阵乘法困难，所以NS预编码更适用于实际的通信系统.

图2 计算复杂度分析Fig.2 Computational complexity analysis

4 仿真分析

为了验证所提出的NS预编码算法理论分析的正确性以及算法的性能，本实验将对NS预编码算法与ZF预编码算法进行性能比较.在一个由M个AP与K个UE组成的1000 m×1000 m的系统中，所有AP和UE的位置都是随机生成的，系统的仿真参数如表2所示.

表2 系统仿真参数Tab.2 System simulation parameters

图3为CB、NS以及ZF预编码算法的用户频谱效率累积分布图，从图中可以看出，当AP和UE数量为定值时，ZF预编码算法和NS预编码算法的系统性能远远优于CB预编码.而且，随着迭代次数N的线性增加，尤其是当N=4时，NS预编码算法的累积分布曲线接近于ZF预编码.

图3 用户频谱效率累积分布图Fig.3 Cumulative distribution of user spectrum efficiency

由图4可以看出，当K=16时，系统的平均频谱效率随着AP数量M的增加而增加，NS预编码的平均频谱效率也随着迭代次数的增加而增加.当迭代次数N=4时，ZF预编码平均频谱效率与NS预编码的最大差值为1.4309兆比特/秒/赫兹，最小差值为0.2455兆比特/秒/赫兹，NS预编码的平均频谱效率随着M的增加逐渐近似ZF预编码的平均频谱效率.

图4 接入点数量对系统平均频谱效率的影响Fig.4 The influence of the number of access pointson the average spectrum efficiency of the system

图5为下行链路发射功率对系统平均频谱效率的影响，随着发射功率的增大，两种预编码算法的平均频谱效率值较为稳定.当迭代次数N=4时ZF预编码与NS预编码的平均频谱效率之差基本保持在0.5兆比特/秒/赫兹左右，两者之间的差距较小.

图5 下行链路发射功率对系统平均频谱效率的影响Fig.5 The influence of downlink transmit power on the average spectrum efficiency of the system

5 结语

综上所述，针对去蜂窝大规模MIMO系统中ZF预编码计算复杂度高的问题，提出一种基于NS低复杂度预编码算法.该算法将ZF预编码中矩阵的逆矩阵用一个具有N项的矩阵多项式代替，避免矩阵求逆的过程.通过对两种预编码算法的复杂度分析，当迭代次数N<5时，NS预编码算法相比于ZF预编码算法系统复杂度低.仿真结果证明，NS预编码算法在降低复杂度的同时用户平均频谱效率与ZF预编码算法相比差距较小，可以近似代替ZF预编码算法.