探究水上景物经水面折射成像的规律

张怀华

（焦作市第十一中学，河南 焦作 454000）

1 引言

加拿大著名摄影师Eiko Jones曾经在一些沼泽和湖泊中拍摄过神秘的水下世界.对于绝大多数没有潜水经历的人们来说，池塘和湖泊的水下世界无疑是一个非常令人神往的地方.他的水下摄影作品《沼泽之心》曾获“我们的水下世界国际影赛”（Our World Underwater）的银奖.［1］正是因为Eiko Jones的工作，让人们开始意识到这些水下世界也是值得保护的.

当人们都在透过Eiko Jones的镜头欣赏这神奇的水下秘境的时候，高中物理教师们却从图1-4中看到了神奇的水面折射成像规律.即在潜水员的视野中，水上所有景物都出现在一个倒立的圆锥里.［2］

图1

图2

图3

图4

水上景物的像为什么都呈现在一个倒立的视锥中呢？水上景物的像又依照什么规律发生扭曲变形的呢？

2 探究水上景物经水面折射成像的规律

当水上景物发出或反射的光以掠射方式经水面折射进入观察者眼中的过程中，入射角与折射角遵循光的折射定律，即

由于入射光线掠射，入射角i趋近于90°，则折射角r趋近于

当水下观察者逆着折射光线观察水上景物的时候，就发现水上景物的像全部都呈现在一个倒立的圆锥（以下简称视锥）里.

由于水的折射率n为1.333，由（2）式可得，来自水上景物的光以掠射方式入射时，对应的折射角r约为48.8°，视锥的顶角约为97.6°.

如图5所示，［2］普通高中物理课程标准教科书物理选修3-4中给出了水上景物与其经水面折射所成像的插图.那么，水上景物与其经水面折射所成的像是否存在简单的旋转和缩放关系呢？

图5

2.1 探究岸边直立树木经水面折射所成像的方程

如图6所示，在第四象限有一个水池，设水的折射率为n，水池的宽度为d，观察者所在位置为点M，深度为h；用线段AD表示直立在岸边的一棵树，P点为树上任意一点；P点发出两条光线射向水面，入射点为非常接近的E、E′两点，两个入射点对应的横坐标分别为x和x′；两条光线对应的光路分别为PEM和PE′M′，两条光线对应的入射角分别为i和i′，对应的折射角分别为r和r′；两条折射光线的反向延长线相交于像点P′.

图6 水下观景光路图

设物点P到入射点E的距离为l EP，像点P′到入射点E的距离为l EP′，则由三角函数的定义可得，入射角i和折射角r的正弦值和余弦值分别为

过入射点E′作EP、EP′的垂线，垂足分别为F和F′，由于E和E′两点相距非常近，由微元法可得

由（9）、（10）式可得，像点P′到入射点E的距离l EP′为

2.2 探究潜水员深度对岸边直立树木经水面折射成像的影响

由（2）式可知，从潜水员的视角看，岸上所有物体的像都呈现在一个倒立的视锥中，该视锥母线与中轴线的夹角为

当潜水员的深度为h时，视锥与水平面的截面圆的半径为

2.2.1 潜水员观看到岸边直立树木部分像的条件

在几何画板软件中绘制（22）、（23）式的图像，可得树木AD经水面折射所成的像如图7所示.

观察图7可以发现，当岸边直立树木AD的根部位于截面圆外部的时候，树木AD下半部分的像发生严重畸变，向外扭曲，并向无穷远处伸展，视锥的母线为树木AD下半部分像的渐近线，这部分像严重虚化，难以观察；树木AD上半部分的像于实物相比较高较远，基本竖直，易于观察.

图7 成部分像的情形

当岸边直立树木在截面圆外部的时候，潜水者只能看到岸边树木AD经水面折射所成的较高较远、顶部直立、下部扭曲、底部虚化残缺的像.

2.2.2 潜水员观看到岸边直立树木完整像的条件

在几何画板软件中绘制（24）、（25）式的图像，可得树木AD经水面折射所成的像如图8所示.

观察图8可以发现，当岸边树木AD的根部位于截面圆内部的时候，树木AD下半部分的像发生轻微畸变，向外扭曲；树木AD上半部分的像基本竖直；岸边树木AD成像完整，易于观察.

图8 成完整像的情形

当岸边直立树木在截面圆内部的时候，潜水者可以看到岸边树木AD经水面折射所成的较高较远、整体直立、略有扭曲、成像完整.这结论与文献［4］和文献［5］中给出的“从水中看岸上的景物，看到的景物的像比景物的实际位置‘又高又远’”的定性结论相一致.

由上述分析可知，图5中给出的水上景物折射成像图示与实际情况并不相符.

3 结论

从潜水员的视角看，水上景物经水面折射所成的像都位于顶角为97.6°的倒立的视锥内；视锥与水平面存在截面圆；如果水岸交界处位于截面圆以外，潜水员能看到岸边直立树木经水面折射所成的像较高较远、顶部直立、下部扭曲、底部残缺；如果水岸交界处位于截面圆内，潜水员能看到岸边直立树木经水面折射所成的像根部重合、较高较远、整体直立、略有扭曲，成像完整.

在潜水员的视野中，原本平直的水岸看起来不再平直，原本竖直的树木看起来也不再竖直，而是发生了一种有规律的扭曲，这种景象还与潜水员的位置密切相关，一旦潜水员的位置发生改变，看到的景象也随之改变.景随人动，幻化无穷.