二项式定理的深度学习

2021-08-12广东省广州市广州中学510000林俊平

中学数学研究(广东) 2021年14期

关键词：展开式二项式通项

广东省广州市广州中学(510000) 林俊平

1 (a+b)n 的展开式是什么?

探究：如何利用两个计数原理得到(a+b)2,(a+b)3,(a+b)4的展开式? 继而猜想一下(a+b)n的展开式是什么?

(1)根据乘法公式将(a+b)2,(a+b)3展开,并将各项系数用组合数表示,有下列结论：

②(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=C03a3+C13a2b+C23ab2+C33b3.

(2)类比上述方法,将(a+b)4展开,你能得到什么?

(a+b)4= (a+b)(a+b)(a+b)(a+b)的各项都是4次式, 即展开式应有下面形式的各项：a4,a3b,a2b2,ab3,b4,展开式各项的系数：上面4 个括号中, 每个都不取b的情况有1 种, 即C04种,a4的系数是C04; 恰有1 个取b的情况有C14种,a3b的系数是C14, 恰有2 个取b的情况有C24种,a2b2的系数是C24, 恰有3 个取b的情况有C34种,ab3的系数是C34,有4 都取b的情况有C44种,b4的系数是C44,∴(a+b)4=C04a4+C14a3b+C24a2b2+C34a3b+C44b4.

(3)将(a+b)n展开呢?

2 归纳总结,二项式定理

(a+b)n=C0nan+C1nanb+···+Crnan-rbr+···+Cnnbn(n ∈N∗),该定理有什么特征?

接着伯虎像是顺着小赵的话乘胜追击一般，迟疑片刻再开口。但他先叹息一声，接着说：“安文浩，这就是我刚刚本来想告诉你的第二件事。经过昨天这事之后，五大巨头现在已经彻底对我们南极集团忍耐不下去了……就在昨天，五大巨头在夜间紧急宣布联盟，表面上是为了抵抗这个攻击，但实际上，五大巨头几乎联合了所有的物联网行业的公司，却唯独就是没有联合我们……”

(1)(a+b)n的展开式的各项都是n次式,即展开式应有下面形式的各项：an,anb,··· ,an-rbr,··· ,bn,

(2)展开式各项的系数：

上边有n个括号,则每个括号都不取b的情况有1 种,即C0n种,an的系数是C0n;

恰有1 个取b的情况有C1n种,anb的系数是C1n,……;

恰有r个取b的情况有Crn种,an-rbr的系数是Crn,……;

有n个都取b的情况有Cnn种,bn的系数是Cnn;

∴(a+b)n=C0nan+C1nanb+···+Crnan-rbr+···+Cnnbn(n ∈N∗),这个公式所表示的定理叫二项式定理,右边的多项式叫(a+b)n的二项展开式.

(3)它有n+1 项,各项的系数Crn(r=0,1,··· ,n)叫二项式系数.

(4)Crnan-rbr叫二项展开式的通项,用Tr+1表示,即通项Tr+1=Crnan-rbr.

下面重点介绍一下课本上没有明说而很多师生容易忽视的一种简单明了的解题方法：用组合知识如何求某一项的系数? 尤其是括号里面有三项或三项以上的时候求展开式中的某一项时优势特别明显.

例1求(x2+4x-5)4的展开式中x一次项的系数

(1)通常解法分析：要把上式展开,必须先把三项中的某两项结合起来,看成一项,才可以用二项式定理展开,然后再用一次二项式定理,也可以先把三项式分解成两个二项式的积,再用二项式定理展开.