三角恒等变换入手破解三角方程问题

曹 兵

(江苏省南通市海门第一中学 226100)

历年高考过后，数学真题众说风云，评说不一．高考真题创新无限，名题如云，美不胜收．特别对于2019年高考上海卷第16题，背景简单，融合自然，难度较大，立意新颖，思想丰富，实属难得，是众多名题中的一个闪闪亮点，具有非常好的学习、观摩、研究、拓展的价值．

一、真题在线

高考真题(2019·上海卷·16)已知tanα·tanβ=tan(α+β)，有下列两个结论：

①存在α在第一象限，角β在第三象限；

②存在α在第二象限，角β在第四象限；则( ).

A．①②均正确 B．①②均错误

C．①对，②错 D．①错，②对

本题综合三角函数与命题的真假判断问题，从三角恒等变换入手，三角方程的应用来处理对应的命题的真假确定，从而确定正确的选项．问题背景新颖，创新性强．破解方法主要通过二次方程思维与特殊值思维等角度加以切入，利用方程思想、不等式思想等加以突破，从而得以正确判断．

二、一题多解

1．二次方程思维

方法1(主元转化+二次方程法)

故选择答案：D．

点评通过引入参数，设定其中一个为主元加以解决相应的二次方程，通过构造函数，利用函数的单调性并结合方程的根的情况加以分类讨论，进而得以确定两角所对应的正切值的正负取值情况，进而确定两角所可能存在的象限问题．

方法2(换元+二次方程法)

综上分析，可以判断①错，②对，故选择答案：D．

点评结合tanα，tanβ的和与积同时出现的情况，引入参数，得到一个相应的二次方程x2-(t-t2)x+t=0，并结合条件中角所在的象限确定tanα，tanβ的正负取值情况加以分类讨论，利用根的取值的存在性加以分析与判断．

2．特殊值思维

方法3(特殊值验证法)

解析取特殊值加以检验，

点评利用特殊值加以检验时，正确选取特殊值是解决问题的关键．特别在考试当中，针对特殊值验证法，若有解时则认为存在，取多组解时发现没有解，则可认为不存在．

方法4(特殊值+均值不等式法)

若角α，β分别在第一象限、第三象限时，则有tanα>0，tanβ>0，

综上分析，可以判断①错，②对，故选择答案：D．

点评利用特殊值直接判断②正确，对于满足关系式成立的角比较困难一次性确定，可以通过先给其中一个角赋一个确定的值，再求解另一个角的值；而在判断①时，利用两个角所对应的正切值均为正数的情况，结合均值不等式得到矛盾的结论，可以非常巧妙加以判断与应用．

方法5(特殊值+不等式性质法)

综上分析，可以判断①错，②对，故选择答案：D．

点评利用特殊值直接判断②正确，对于满足关系式成立的角比较困难一次性确定，可以通过先给其中一个角赋一个确定的值，再求解另一个角的值；而在判断①时，利用两个角所对应的正切值均为正数的情况，结合不等式的性质得到矛盾的结论，可以非常巧妙加以判断与应用．

三、真题反思

涉及三角方程的解问题，要求我们熟练使用相应的三角恒等变换公式．破解时往往没有固定的模式可循，且一般难度较大，可以有效考查学生的发散性思维以及化归与转化思想．特别在破解过程中借助特殊值法加以处理，可以有效降低思维量和运算量，但不能够作为通解通法，只能是一种辅助性方法．因而要求我们从各个角度展开丰富的思考，展示精彩的思维过程与解题过程．从而站在整个高中数学的角度，不拘泥于模式，而是自然而然地由相关知识引入与之对应的解题思路、方法与技巧，这才是真正高考命题中核心素养立意的充分体现与魅力所在．