泰勒公式在高等数学解题中的应用举例

陆华勇

(江苏省盐城生物工程高等职业技术学校 224000)

对于高等数学的各种解题公式而言，泰勒公式属于利用率较高的数学基础公式.然而在解答数学题目的各个环节中，由于某些学生没有正确选择以及正确运用数学解题公式，导致了解答错误的产生.并且，很多学生对于数学泰勒公式习惯于进行套用，那么将会忽视数学题目的特殊性，无法达到顺利解答数学题目的效果.因此，学生只有正确利用泰勒公式来尝试自主进行数学解题的实践操作，才能逐步锻炼学生独立完成高等数学解题操作的实践能力.

一、泰勒公式的基本定理内容

泰勒公式包含如下的基本定理内容：首先设计x0的函数点，确定该点经过f(x)的函数曲线，进而引出n+1作为特定范围的导函数.在此基础上，再次设计x的另一个函数点，并且确定x与x0之间的某个特殊函数区域，因此引出f(x)=1/2*(x-x0)2*f(x0)+(x-x0)2*f(x0)+(x-x0)n*f(x0)(n)/n!的泰勒公式主体内容.并且，麦克劳林公式属于泰勒公式中的子公式，该公式的成立前提为x0值是零.

泰勒公式对于学生探索高等数学的基础知识具有重要作用，并且泰勒公式可以用来解答高等数学中很多类型的题目.学生在合理运用泰勒公式的前提下，对于函数级别进行降级处理，运用幂级数来代替题干中原有的函数.通过上述的数学解题转换，即可保证解题操作环节达到难度明显降低的效果，又能够增强学生运用泰勒公式来灵活解答高等数学题的综合应用能力.例如对于近似值在进行求解的环节中，泰勒公式的正确运用将会起到明显简化解题流程的目标，增强了学生独立解答高等数学难题的信心.

在高等数学的实践领域中，麦克劳林公式与泰勒公式都可以用于求解函数极限，学生应当善于分辨母公式与子公式存在的差异，正确选择解题公式的类型.为了保证高效解答高等数学题，那么在高等数学科目的日常解题训练中必须做到充分利用上述两个高等数学公式，对于高阶导数以及其他的高等数学函数题目展开深入的题干剖析.并且，学生需要做到在教师的解题引导下，灵活结合数学函数题的隐含内容来实施正确的公式选择.学生在学习泰勒公式时，需要做到整体把握泰勒公式的内涵，将其运用于解答多种不同类型的函数题目.

二、在高等数学解题中运用泰勒公式的具体实例

函数题目在高等数学题目中占有较高的比例，并且函数题目普遍具有繁琐的解答步骤.通常情况下，学生对于函数题目的题干基本内容必须进行逐层的分析，按照由浅入深的顺序来剖析函数题目，然后选择适合解答函数题目的数学公式.在解答高等数学题中，正确运用泰勒公式主要包含如下几点：

1.解答高阶导数的高等数学题目

与高阶导数有关的数学函数题目呈现多种不同的题干表述形式，学生对于题干在进行全面分析时，必须善于结合高阶导数的基本数学定理加以详细的题干分析.在解答高阶导数类型的数学题目时，学生对于泰勒公式应当尝试结合运用，充分利用高阶导数与泰勒公式之间的关联性来解决高等数学难题.反之，学生如果局限于利用通项公式的解题视角，那么很难给出高阶导数的正确解题思路.在某些情况下，学生还会出现混淆非正极数与正极数的现象，造成同学们给出错误的高等数学题答案.因此可以判断出，高阶导数类的高等数学题主要适用泰勒公式来进行解答.

例如，给出如下的高等数学题：已知AB的两个数值，并且与之有关的函数式为Ax+1/Bx+1=ex，x是趋向于零的.并且，题干给出的函数式具有三阶无穷小的特征(相对于未知数x而言).在此基础上，要求同学们利用所学的泰勒公式来判断AB的数值.学生对于此类数学题目应当首先联想泰勒公式相关的基础数学定理，然后尝试展开题干中的函数式，并且分析归纳AB的数值.

具体在利用泰勒公式展开函数式的过程中，应当给出如下的正确函数式：Bx+x+A+1/2!*x2+1/3!*x2=ex.并且经过泰勒公式的变换处理后，对于变换后的函数式还可以写成1-Bx+Bx2=ex的新函数式.据此可以归纳出，B-A+1的数值为零，而且AB-B*B+1/2的数值也是零.学生通过运用以上的题目题干转换方式，将会给出AB同为1/2的正确题目答案.

2.解答函数极限与函数极值类型的题目

函数极值与函数极限都属于数学函数题目中的侧重点，同时也具有很大的解答难度.学生在解答函数极限以及函数极值类型的数学题时，对于现有的数学解题技巧必须做到灵活利用，据此判断出函数极限类型题目的正确解答方法.泰勒公式可以用于辅助进行函数极值类的题目解答，帮助学生准确判断某些函数的极值，避免出现判断失误的情况.学生在进入题干分析的环节后，应当联想所学的泰勒公式基础原理，灵活解答各类的函数极限题目.

例如，给出函数极限类的如下数学题目：x的数值趋向于零，并且将其设定为函数极限的前提条件，进而要求学生给出cosx-ex/x2的数值.经过分析能够判断出，以上的函数式带有明显的函数极限性质，而x趋向于零就是题目设定的lim极值条件.对于带有极值特征的函数式在进行转换时，应当结合泰勒公式将其转换成为1/4!*x2+1/2!*x2=ex的函数式，然后判断出limx趋向于零的函数式数值为-1/10.

除此以外，对于无穷小的函数阶数特征在进行表达时，一般来讲也可利用泰勒公式作为解题的辅助.某些函数阶数在特定区域中可以达到无穷小的状态，那么运用泰勒公式能够进行正确的表述，增强了学生对于函数阶数性质类题目的解题实践水平.在平时的解题训练中，学生有必要多接触泰勒公式有关的数学函数题目，逐步加深学生利用泰勒公式来思考题目以及解答题目的印象.

3.解答函数敛散性类型的题目

广义积分类型的高等数学题目呈现较大的解答难度，但是在引入泰勒公式的基础上，函数的敛散性将会得到充分的呈现，有效保证了函数题目解答思路的正确性.在多数情况下，函数表达式在特定的组合方式基础上，将会形成通项公式，并且代表特定的函数级数.因此为了达到正确理解函数敛散性的目的，则不能缺少泰勒公式在实践中的灵活运用.函数敛散性的高等数学定理主要涉及到判断广义积分的性质，在此过程中，泰勒公式具有不可忽视的解题利用价值.

此外，学生对于解答敛散性有关的高等数学题目还要充分利用函数二次开方的相关定理与公式.在二次开方的前提下，1/n的函数敛散性将会得以充分的呈现，进而体现了函数敛散性运用于解答广义积分类型题目的重要作用.因此在确定函数敛散性的过程中，泰勒公式能够达到较好的数学公式运用效果.

三、泰勒公式运用于高等数学解题的实践要点

1.紧密结合高等数学的解题过程以及公式运用过程

高等数学包含比较繁琐的审题环节与题目解答步骤，体现了独立解题能力在解答题目中的作用.目前看来，很多学生虽然能够准确记忆泰勒公式，但是仍然没能达到灵活选择泰勒公式及其子公式的数学学习目标，那将会造成高等数学的审题过程与数学解题过程存在很大的操作难度，并且造成学生厌倦高等数学的情绪.因此，对于泰勒公式学生不仅需要能够准确表述其内涵，更应当不断尝试灵活运用泰勒公式，紧密结合解题过程以及公式选择过程.

泰勒公式较多运用在求解函数极限的实践中，但是，一般来讲求解函数极限有关的数学问题，题干具有很大的理解难度.学生在审题时一旦陷入了判断误区中，那么无法达到精确掌握泰勒公式运用要点的目的，还可能会混淆泰勒公式与相似的数学函数公式.为此，学生在初步学习泰勒公式时，就要做到紧密结合函数题目的详细解题过程，保证泰勒公式被充分运用于各个解题环节中.

2.透彻理解泰勒公式内涵

泰勒公式并不局限于单独的数学函数公式，而是包含了主体公式与子公式的两个重要部分.因此在理解泰勒公式时，前提是学生已经具备了函数基础知识、导数知识与幂级数知识等关键的高等数学科目基础知识.学生只有充分掌握以上的数学基础知识部分，才能对泰勒公式形成深刻的理解，进而对于泰勒公式做到正确利用.对于高等数学科目的日常教学来讲，学生应当在数学教师的课堂引导下，首先掌握泰勒公式及其基本原理，然后调用同学们目前所学的其他数学基础定理内容来理解泰勒公式，如此才能保证泰勒公式的学习达到最佳的效果.

在学习子公式的过程中，学生必须严格区分子公式以及母公式，明确限定运用以上两个数学公式的条件.这是由于，子公式与母公式的特征具有相似性，客观上将会造成较大的公式混淆的可能性.为了严格区分两个不同数学公式，学生应当增强对于公式成立前提要素的理解.在设定已知的公式成立条件时，应当充分结合不同数学公式之间的差异性，杜绝产生混淆相似数学公式的情况.

3.正确选择泰勒公式及其子公式

泰勒公式的正确利用以及灵活利用构成了解答数学题的关键前提.因此，正确运用泰勒公式可以促进学生深入挖掘函数题目隐藏条件，对于审题难度也能全面的简化.在解题训练的环节中，学生不仅要做到正确区分数学公式，同时还要有效利用解答函数题的技巧，逐步锻炼学生选择公式与利用公式的实践能力.

从表面上来看，泰勒公式的学习过程以及解题运用过程都存在较大难度.但是学生一旦做到了透彻理解泰勒公式的基础内容，就可以不断尝试泰勒公式在日常解题中的有效运用.为了达到数学解题质量明显提升的目标，学生对于泰勒公式在进行学习时，应当正确辨析泰勒公式与其他的数学解题公式，不能局限在泰勒公式的简单解题套用过程.实际上，学生如果要达到熟练选择公式以及运用公式的水准，唯有经过反复的函数题目解题训练才能真正实现.

在高等数学题目的日常解题训练中，数学教师有必要引导学生全面剖析数学题目的题干，对于隐藏的数学题干条件做到充分挖掘.学生若能做到深入挖掘隐藏的数学题干表述内容，则可以做到充分简化数学解题的思路，避免高等数学解题误区的产生.学生应当正确运用泰勒公式于解答数学题目中，增强灵活运用泰勒公式来进行解题操作的能力.