指向高阶思维能力培养的“一题一课”教学实践

何慧慧

[摘  要] 文章案例将高阶思维培养与“一题一课”教学模式有机结合，构建指向高阶思维培养的“一题一课”教学模式，并结合教学设计，总结三点教学实践策略.

[关键词] 高阶思维;一题一课;巧设追问;矩形折叠问题

随着时代的飞速发展，我国的课程标准不断修改，当下各学科的课程标准都重点强调培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，即高阶思维能力. 中国学生发展核心素养以培养“全面发展的人”为核心，分为三个方面、六大素养、十八个基本要点，具体如表1所示.

笔者将十八个基本要点中与高阶思维相关的内容着重标出，可见，思维品质作为核心素养的组成部分，不管从国家层面还是个人层面来说，对学生的发展都极为重要，要实现自我价值，就必须具备高阶思维能力. 信息时代，对知识的获取不能光停留在记忆、领会阶段，还需要学会分析、重组知识，敢于批判、质疑、创新. 如果说核心素养是一座金字塔，那么高阶思维就是这座金字塔的塔尖.

在教学实践中如何培养学生的高阶思维能力呢？笔者认为，教学的主阵地是课堂，因此培养学生高阶思维能力的主要场所正是在课堂. 下面笔者以九年级的一堂“一题一课”教学模式下的复习课“矩形折叠问题再探究”为例，谈谈在教学实践中培养高阶思维能力的几种方法.

教学实践

1.设置并列式问题，构建认知结构，在追问中指向高阶思维

图形的折叠问题是中考的热點，以矩形为背景的折叠问题更是命题老师们爱出的题目. 这类问题主要考查学生的动手能力、空间观念和几何变换的思想，其内容丰富、解法灵活，具有开放性. 折叠问题的本质是轴对称变换，解决这类问题的关键是：（1）抓住折叠前后的两个图形全等的性质，把握折叠前后不变的要素;（2）在矩形背景下，折叠后通常会出现“一线三等角”的相似模型，利用相似的性质即可解决问题.

教学环节1：教师先用几何画板动态演示五种常见的矩形折叠问题：任意位置折叠、沿对角线折叠、折叠后直角顶点落在矩形的边上、折叠后使对角线的两个端点重合、过矩形某个顶点折叠，然后以第五个折叠模型为例，给出“探究1”：如图1，点E是矩形纸片ABCD的边BC上的点（不与B，C重合），将矩形的∠B沿AE折叠，使点B落在矩形ABCD内部的F处.

问题1：折叠前后的两个三角形全等吗？

众生答：全等.

师：你可以得到哪些结论？

生1：AB=AF，BE=EF，∠1=∠2，∠B=∠F=90°，∠BAE=∠FAE.

师：你知道折叠的本质吗？是我们学过的哪一种变换？

生2：轴对称变换.

问题2：若EG平分∠CEF，则∠AEG的度数为_______.

生3：因为∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠2+∠3+∠4=180°，所以∠2+∠3=90°，即∠AEG=90°.

问题3：∠AEG的度数会随着点E的位置变化而改变吗？

众生答：不会，永远为90°.

问题4：图中有除全等以外的相似三角形吗？

生4：△ABE∽△ECG，△AFE∽△ECG.

师：相似三角形有什么性质？

生5：对应角相等，对应边成比例.

师：图中有没有我们熟悉的相似模型？

众生答：一线三等角.

教师板书：折叠中的相似.

评析 “探究1”从“过矩形的一个顶点折叠”情境出发，设置并列式的问题，让学生在解决问题的过程中重构知识——全等的性质、复习角平分线的性质，从而引出“一线三等角”的相似模型，这样的设计体现的是数学的“建模思想”. 复习完一线三等角的性质之后，就可以顺利进入下一环节.

2.设置递进式问题，梳理知识方法，在追问中激活高阶思维

在实际的几何复习课教学中，经常会出现学生已经掌握基本数学模型的解题方法，但题目稍加变化，就无法融会贯通. 主要原因是学生没有掌握其中的本质，不会分析、创新，缺乏高阶思维能力，或者是教师在提炼模型的过程中只注重结果而忽视了模型的探究过程，导致学生“只知其然而不知其所以然”. 因此，教师在教学中，应注重培养学生的探究能力、高阶思维能力，使其学会分析问题，特别是可以借助数学模型来解决的那些问题. 只有如此，当这些数学模型变得更丰满更灵活，学生面临新的问题时，模型才会“不请自来”.

教学环节2：重构相似的数学模型之后，接着给出“探究2”：如图2，在矩形ABCD中，点E是矩形纸片ABCD的边BC上的点（不与B，C重合），将∠B沿AE折叠后落在矩形内部的点F处，连接AF并延长，交CD于点G（不与C，D重合），连接EG.

问题5：若E是BC的中点，求∠AEG的度数.

问题6：在“问题5”的条件下，若AB=3，BC=4，求CG的长.

利用“探究1”得出的结论，学生很容易解决这两个问题.

问题7：我们把三个三角形互相相似称为“两两相似”，若E是BC的中点，△ABE，△AEG，△ECG两两相似吗？

生6：两两相似. 由翻折及中点的性质可得BE=EF=EC，∠B=∠AFE=∠C=90°，再用HL可以证明△EGF≌△EGC，于是就有∠5=∠6，又∠EFG=∠C=90°，所以∠3=∠4，由前面问题2的结论可知∠AEG=90°，所以△AEG∽△ECG，所以△ABE∽△AEG∽△ECG.

问题8：生6回答得非常好！你再思考一下，若△ABE，△AEG，△ECG两两相似，点E一定是BC的中点吗？

生6：一定. 由翻折的性质可得∠1=∠2，BE=EF. 由△AEG∽△ECG及“点G不与D，C重合”可知只可能∠5=∠6（若∠5=∠4，则AG∥BC，点G与D，C重合，与题意不符），再加上∠EFG=∠C=90°，根据“到角两边距离相等的点在这个角的平分线上”可得EF=EC，所以BE=EF=EC.

师：同学们有发现什么有趣的结论吗？

生7：在“点G不与D，C重合”这个前提下，“△ABE，△AEG，△ECG两两相似”与“点E是BC的中点”可以互推.

师：同学们非常有探究精神，说明大家的思维又上升了一个高度. 我们利用熟悉的“一线三等角”进一步探究之后，得到了一个有趣的结论，这体现了数学的模型思想.

教师板书：两两相似？圳点E是BC的中点（一线三等角，不与端点重合）;模型思想.

评析 问题5和问题6是“探究1”的延伸，有了“探究1”的基础，学生很容易得到答案. 问题7和问题8的设计是为了让学生感受“先猜想再论证”这种常用的数学推理方法，同时也是为了让学生发现这类折叠模型的一个有趣的结论：“点E是BC的中点？圳△ABE，△AEG，△ECG两两相似”，但这个结论的前提是“点G不与C，D重合”.

3.设置探索式问题，拓展解题技能，在追问中拓宽高阶思维

“两个人交换苹果，各得一个苹果;两个人交换思想，各得两种思想. ”课堂上需要思维的碰撞与交换. 思维的行为表现就是学生将信息经过分析、重组来加深理解，若此时学生能展开讨论、深入思考、积极参与，必定有意想不到的效果.

教学环节3：不改变题设条件，在“探究2”的基础上，教师给出以下追问.

问题9：若点E是BC的中点，△ADG，△ABE，△AEG，△ECG有可能两两相似吗？

众生通过小组合作得出结论：当△ADG≌△AEG时，这四个三角形两两相似;若这四个三角形两两相似，必有△ADG≌△AEG.

问题10：在问题9的条件下，对这四个三角形中的锐角有何要求？请求出此时AB：AD的值.

众生小组合作之后，派代表回答.

生8：∠BAE=∠FAE=∠DAG=30°，此时AB∶AD=∶2.

师：我们在探究四个三角形两两相似时，将问题转化为前面探究过的“三个三角形两两相似”来解决，这体现了数学的转化思想.

教师板书：转化思想.

评析 本环节是“探究2”的延伸，问题9从“三个三角形两两相似”拓展到“四个三角形两两相似”，但在解决问题时，又将“四个三角形两两相似”的问题转化为“三个三角形两两相似”，从而回归到“探究2”，这样的设计体现的是数学的“转化思想”. 问题10引导学生得出30°和∶2的结论.

教学环节4：运用前面探究得出的结论完成下题.

如图3，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E是BC边上的一点（不与B，C重合），F是CD边上一点（不与C，D重合）. 若△AEF和△EFC是相似三角形，则CF的长为________.

评析 本题的难点是分类讨论，由题意可知△EFC是直角三角形，要使△AEF与△EFC相似，则需要分类讨论：∠AEF为直角或∠AFE为直角. 分好类之后，可以直接利用“探究2”中得出的结论“点E是BC的中点？圳△ABE，△AEG，△ECG两两相似”进行求解.

（1）如图4，当∠AEF=90°时，由前面的探究可知，点E为BC的中点，所以BE=EC=2. 因为∠B=∠AEF=∠C，所以△ABE∽△ECF，可得所以CF=.

（2）如图5，当∠AFE=90°时，由前面的探究可知，点F为CD的中点，所以CF=2.

4. 设置开放式问题，发散学生数学思维，在追问中提升高阶思维

从抽象到具体，从低阶到高阶，是思维发展的必然趋势. 如果说低阶思维是一种被动的、机械性的思维，那么高阶思维就是一种主动的、创造性的思维. 课堂中，设置开放性问题可以提升学生的高阶思维能力.

教学环节5：老师留给同学们一道课后思考题：如果去掉“探究2”中“不与C，D重合”的条件，当题中的三个三角形两两相似时，点E的位置又将如何？矩形的长和宽应满足什么数量关系？请同学们参考例题：

如图6，矩形ABCD中，AD=a，AB=b，要使BC边上至少存在一点P，使△ABP，△APD，△CDP两两相似，则a，b间的关系式一定满足（  ）

评析 前面提到，沿矩形某个顶点折叠这类模型的结论“点E是BC的中点？圳△ABE，△AEG，△ECG两两相似”是有局限性的，这个结论的前提是“点G不与C，D重合”，那么当点G与C，D重合时会发生什么呢？课后思考题就留给学生这样的思考空间，通过一道题目的练习，学生自然而然就能明白其中的“奥秘”.

教学反思

思维本身是一个复杂的过程，不同的研究者从不同的角度审视思维本质，其中著名哲学家、教育家杜威对思维过程的解释堪称经典：“思维是连贯有序的，思维的过程是一种事件的序列链，思维的每一个阶段就是思维的一个‘项，每一项都留下供后一项利用的存储. ”他将哲学与教育学紧密联系在一起，认为思维不是自然发生的，是由一系列“问题或困惑”引发的，要解决这些问题或困惑，需要经过“反思——问题生成——探究、批判——解决问题”的过程. 这个思维过程，实为高阶思维过程.

1. 用思维驱动课堂

数学的起源和发展就是由问题引起的，数学就是在不断发现问题、解决问题中前进的. 本堂课从一个简单的几何图形出发，围绕这个图形设置一系列问题引发学生思考. “环节1”中设置了并列式的问题，帮助学生重构“一线三等角”的数学几何模型，利用“两个三角形相似”来解决数学问题;“环节2”中设置了递进式问题，让学生在探究中发现此类折叠模型中一个有趣的结论，并在“环节4”中利用这个结论解题;“环节3”设置了探索式问题，将“三个三角形两两相似”拓展到“四个三角形两两相似”，在探索过程中，又将“四个三角形两两相似”的问题回归到“三个三角形两两相似”“两个三角形相似”，兜兜转转，还是回归到了最初的相似，不知不觉，课堂的教学任务完成，学生的高阶思维能力也得到了提升.

2. 用思维延伸课堂

思维是一堂课的核心，是动力所在. 本堂课的思维量较大，单单利用一堂课的时间将知识点“吃透”不太可能，因此课堂需要双向延伸. 课前，需要给学生足够的时间思考，课后利用“环节5”拓展学生思维，并让学生明白，本堂课涉及的几何模型是有前提的，那就是“点G不与C，D重合”. 那么，在“点G与C，D重合”的前提下，又该如何思考？在对该问题的分析与解决过程中不仅让学生提炼出了数学思想方法，还帮助學生实现了知识的重构、方法的迁移.

3. 用思维串联知识

作为一线数学教师，要更关注核心知识的发生发展过程，注重数学的通性、通法. 本堂课以矩形折叠为背景，若想进一步拓展学生高阶思维，串联所学知识，还可以将矩形背景改为以正三角形为背景的折叠问题：如图7，以DE为轴，折叠等边△ABC，顶点A恰好落在BC边上的F处. 如果△DBF，△FCE，△DEF这三个三角形两两相似，点F的位置如何？反过来呢？

实践表明，培养学生的高阶思维能力有利于他们的成长与发展，这也是时代发展的需要. “数学教学是数学思维的教学”，我们的课堂教学不能只停留在知识和方法的机械传授上，更应该多关注课堂的思维含量、思维品质和课堂效益等问题，让学生的思维向高阶发展.