师:那是否可以精确到小数点后的两位、三位、四位呢?(学生利用计算器展开探索,并得出如表1所示的探究过程)
问题4:还可以继续探究吗?
生:可以.
师:a是有限小数吗?(学生继续思考)
生9:经过观察,我认为a好像是有限小数. (其他学生表示不一定)
师:那a到底是什么样的小数?刚才我们已经知道了有理数的概念,知道了有理数都能表示成(m、n为整数,且n≠0)的形式,下面的数都是有理数,我们不妨把下面这些数表示成小数形式:3,,,,. (学生经过计算,得出3=3.0,=0.8,=0.55555……,=0.177777……,=0.1818181818……)
师:判断一下上面这些数是什么小数?
生10:3,是有限小数,,,是无限循环小数.
问题5:由此你认为有理数是什么样的小数?
生11:有理数可以用有限小数或无限循环小数表示,反之,任何有限小数或无限循环小数都是有理数.
师:那a2=2中a是什么小数?(学生犹豫了一下,之后有学生很快给出答案“无限不循环小数”)
3. 形成概念
师:无限不循环小数即为无理数. 除了刚才探究的a,如0.010010001……和圆周率π=3.14159265……同样也是无限不循环小数,它们均为无理数.
生12:为什么是无限不循环小数呢?
师:目前我们所学的知识还没有办法进行证明,但是老师可以先给大家讲个故事. 毕达哥拉斯是古希臘伟大的数学家,他证明了许多重要的定理. 公元前500年,毕达哥拉斯学派的一位弟子希帕索斯发现了一个惊人的事实,如果正方形的边长为1,则对角线的长度不是一个有理数,这与毕达哥拉斯学派“万物皆为数”(有理数)的哲理大相径庭. 希帕索斯的发现首次揭示了有理数系的缺陷,引发了数学史上的第一次数学危机,希帕索斯也因此被沉入大海. 1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数,并把实数理论建立在严格的科学基础上,从而结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机. (观看视频:无理数的由来)
设计说明 通过本环节的探究,以教师的引导为源泉,在师生合作和生生交流的过程中,依据有理数与无理数的对比,使得学生对无理数的理解逐步深入,从而真正意义上感知到数域的扩充,为无理数概念的形成奠定坚实的基础. 同时,通过视频让学生了解数学发展史,感受数学发展历程中所经历的波折.
教学感悟
1. 认真贯彻理解数学,确立合适的教学目标
理解数学,自然是从理解教材谈起,正确理解编者的意图,掌握教材的编排体系,了解学生认知结构与教材的关联等,从而确立合适的教学目标[1].
本节课是有理数与无理数的概念教学,引导学生了解数域的扩充,是研究有理数的运算、二次根式、实数等知识的基础. 本课的教学难点是“用有理数估计一个无理数的大致范围”,体验“无限不循环小数”的含义,对于“有多大”这个问题,是学生十分关注的具有挑战性的问题,需要教师引起足够重视. 对于无理数这一概念,我们不能期望通过一节课就使学生形成深刻的认识,在后面相关知识的学习中,学生对无理数的了解将会越来越深刻. 本节课我们要立足于重难点进行有效的教学设计,让学生学有所得.
2. 努力做到理解学生,设计合理的探究途径
理解学生,就需要充分关注具体学情,了解学生的认知特点、知识基础和学习方式等. 只有明晰这些问题,才能真正在教学的过程中做到有的放矢,进而发挥学生在课堂教学中的主体地位. 教师需要理解新知与学生已有知识经验间的联系,需要理解新知与学生已有认知结构之间的距离,从而设计出合理而有效的探究途径. 授课前,笔者自然对本班的学生做了充分的了解. 为了充分调动学生的学习积极性,教师多次鼓励小组合作探究,激活学生的探究意识,以低起点、小跨度、高立意的问题引发学生的深度思考和探究[2].
很多时候,一些教师追求教学内容的完整性,却忽视了学生的需求,这是不正确的. 面对学生的质疑和困惑时,教师更需要有所作为,牢牢把握教学活动中产生的闪光点,适时引导,从而使课堂教学变得更灵动. 本课中,针对“a是什么数”,教师引导学生通过计算器计算出结果的方法进行推导还是不够谨慎,从而使得后面学生产生困惑“为什么a是无限不循环小数”. 这里需要利用分式的性質,用反证法来证明,但无论是分式还是反证法,学生都还没有学习过,所以无法从根本上解决这一问题. 笔者经过思考,课前预设到了学生对无理数a的认知可能会出现困难,因此设计了教学视频,将无理数的故事讲给学生听,让他们了解数学的发展史,初步感知无理数与有理数本质上的区别,进而解决认知上的困惑.
因此,我们不仅需要理解教材中所呈现的数学知识,还需把握学生在习得概念时出现的困惑,并及时引导,让新知的学习留下思维的烙印,从而实现数学素养的发展[3].
3. 真正执行理解教学,设计真实、合情的情境
理解教学,就是从教学规律出发,选择适当的教学组织方式,及时调控教学过程,使学生在问题解决的过程中思维变得流畅,获得较好的活动体验,培养思维能力. 当然,数学教学的过程就是数学探究的过程,而设计真实、合情的问题情境是探究和学习的前提. 本节课的教学中,教师以“正方形的问题”导入,学生经过操作和思考给出了图2、图3、图4,呈现了数学探究的过程. 而新的问题又出现了:图2、图3、图4是正方形吗?教师在这里自然地抛出这个问题,合理展示了无理数的探究背景,从而使得本课的知识结构得以自然发展,使得探究活动有力推进,进而引领学生学会有条理地思考.
总之,对于数学课而言,理解数学,自然是从理解教材谈起,确立合适的教学目标;理解学生,就需要充分关注具体学情,设计合理而有效的探究途径;理解教学,就是从教学规律出发,设计真实、合情的情境,从而指引学生走向知识的数学本质,发展学生的数学素养.
参考文献:
[1] 徐淮源. 基于教材理解下的高中数学概念教学设计——以“三角函数的周期性”为例[J]. 教育研究与评论(中学教育教学),2010(02).
[2] 袁永春. 注重知识形成过程的初中数学教学案例研究[J]. 中学数学,2019(02).
[3] 夏炳文. 强化“三个理解” 打造活力课堂——以一节试卷讲评课为例[J]. 中国数学教育,2016(10).