在“做数学”中催化实践创新①

赵维坤 侯正永

摘要：“做数学”是一种以“做”为支架的发现和提出问题、分析和解决问题的数学学习活动，其中既包含直观体验性的“做”，也包括有意识的“用”。“做数学”能够帮助学生透过实际现象看到数学本质，将实际问题抽象成数学问题，从而催化数学的实践创新。义务教育阶段的数学教学中，教师可以设计调查推断、测量计算、动手制作等类型的“做数学”主题活动，引导学生完成数学的实践创新。

关键词：做数学;数学应用;数学调查;数学测量;数学制作

数学的应用已经渗透到现代社会以及人们日常生活的各个方面。数学教学要帮助学生理解数学知识，掌握数学方法，更要引导学生在真实的情境中调用已有的知识和方法，从数学的视角发现和提出问题、分析和解决问题，完成数学的实践创新，从而积累丰富的数学活动经验，感悟数学与现实的关联，认识数学在社会生活诸多领域的作用（价值）， 激发数学学习的兴趣与成就感，发展数学应用能力，提高实践创新能力。

在这一过程中，如何“撩开”现实问题的“面纱”，抽取背后的数学模型是关键。而“做数学”是一种以“做”为支架的发现和提出问题、分析和解决问题的数学学习活动，其中既包含直观体验性的“做”，也包括有意识的“用”。因此，“做数学”能够帮助学生透过实际现象看到数学本质，将实际问题抽象成数学问题，从而催化数学的实践创新。

义务教育阶段的数学教学中，教师可以设计多种类型的“做数学”主题活动，引导学生完成数学的实践创新。

一、在调查推断类“做数学”活动中催化实践创新

调查推断类“做数学”活动是指，针对某个具有现实意义的主题（问题）， 选取一定的样本，收集有关的数据，通过数学推断得到相应的结果（结论）。它在解决现实问题时有着广泛的应用。

例如，教学三年级的“长方形和正方形的面积计算”后，教师提出“学校实践基地菜园大白菜的产量是多少？” 这一实际问题，引导学生通过数学调查活动加以解决。

教师带领学生来到学校实践基地的菜园，学生看到其中有3块并排的长方形菜地。教师先让学生小组讨论解决问题的方案，再让小组代表汇报讨论的结果。有小组代表说：”把地里的大白菜全部拔出来称一下。”有小组代表说：“只要拨出其中1棵大白菜，称出其质量，再数出大白菜的棵数，就行了。”还有小组代表说：“拔出几平方米地里的大白菜称一下，算出1平方米地里的大白菜产量，再测出这片菜地的面积，就可以算出大白菜的总产量了。”

面对学生不同的想法，教师引导学生交流。考虑到工作量、破坏性以及一定程度的准确性，学生的方案趋于一致：第一步，圈出1平方米的菜地;第二步，拔出其中的大白菜;第三步，称出这些大白菜的质量;第四步，测量这片菜园的菜地有多少平方米;第五步，将1平方米菜地里大白菜的质量与这片菜园中菜地的面积数相乘，就可以估算出这片菜园大白菜的产量了。教师指出：这就是数学中的调查方法，即调查部分的情况，推测整体的情况。然后，引导学生设计出表1，用于记录。

接着，教师让学生小组合作，各自圈出1平方米的菜地，拔出大白菜，称出质量，然后汇报。汇报时，学生发现每个小组称出的大白菜质量不一样。教师顺势引导：到底取哪个小组的数据来计算呢？ 有的小组提出：取数据最大的好，可以使总产量高一些。有的小组提出：取数据最小的好，可以知道总产量最少是多少。还有的小组提出：取中间的数据好，这样结果与实际差得不多。最后， 大家一致认为：取平均数比较合理，这样结果比较准确。

于是，教师又让学生小组合作，各自测量这片菜园中菜地的面积。有的小组发现，只要分别测出3块长方形菜地的长和宽，算出面积，然后相加，就能得到总面积了。也有的小组发现，每块长方形菜地的长相同，所以可以把3块长方形菜地整体看作一块菜地，就是一个大长方形，只要测出大长方形的长和宽，将宽减去长方形菜地之间的空隙，就能算出这片菜园中菜地的面积了。这样， 学生在无意间发现（创造）了四年级才会学到的乘法分配律。

“学校实践基地菜园大白菜的产量是多少？” 这一实际问题贴近学生生活。教学中，教师引导学生联系已有知识和方法，打开思维视角，进行有条理、合逻辑的思考，最终选取一定的样本，展开调查推断活动，在应用数学知识和方法分析和解决实际问题的过程中尝试实践创新。

二、在测量计算类“做数学”活动中催化实践创新

测量计算类“做数学”活动是指，针对某个具043有现实意义的主题（问题）， 确立具体的事物，量化有关的属性，通过数学计算得到相应的结果（结论）。它在解决现实问题时同样有着广泛的应用。

例如，教学九年级的“图形的相似”和“锐角三角函数”后，教师提出“学校旗杆的高度是多少？” 这一实际问题，引导学生通过数学测量活动解决。期间，学生小组合作，经历了开题（查阅资料、设计方案）、做题（准备工具、实施测量）、结题（总结经验、吸取教训）、评价等过程。

（1）开题。课前，学生小组合作，设计两套以上测量方案。课上，学生小组代表汇报测量方案。有的小组提出：测量旗杆顶部的仰角，借助锐角三角函数知识计算旗杆的高度。教师提醒学生选擇实用的测量仪器。有的小组提出：将平面镜置于平地上，人后退至能从镜中看到旗杆顶部的位置， 测量人与镜子、镜子与旗杆底部的距离，借助相似三角形知识计算旗杆的高度。教师提醒学生注意精确性。有的小组提出：在太阳光下，测量旗杆和人的影长，按照比例，利用人的身高计算旗杆的高度。教师提醒学生注意测量时间，以及旗杆和人的影长是同时测量还是先后测量好。还有小组提出：用照相机拍一张旗杆和人的合影，按照比例， 利用人的身高计算旗杆的高度。教师提醒学生注意人站的位置，以及与旗杆的位置关系。通过汇报与交流，学生清楚了测量细节及计算模型，完善了测量方案。然后，教师引导学生设计出表2，用于记录。

（2）做题。教师安排特定时间， 带学生来到操场，让学生实施测量。期间，教师关注学生的态度，关注小组的分工合作，关注测量的过程、数据的记录以及误差的处理，提醒学生写好测量报告; 在学生遇到困难或出现问题时，启发学生寻找原因，探求办法。

（3）结题。课上， 教师遴选测量结果比较准确、测量过程完整清晰、误差处理比较合理、测量报告比较规范以及测量结果出现明显误差的小组，通过照片、模型、PPT 等形式汇报成功的经验和失败的教训。不管用什么方法，其结果与实际值相比都会有一定的误差，尤其是失败的方法。教师重点引导学生分析误差产生的原因。学生发现：自制的量角工具精确度不够高，测量用的皮尺、标杆不够长，步长测量长度，肉眼记录位置，影子没有全部落在一个平面上，用身高代替眼高等，都可能造成测量误差;甚至画图不够准确，也会造成计算误差。学生还对“用照相机拍出照片”的方法进行了反思，认为其原理是有问题的。

（4）评价。课上， 教师引导学生评价活动的过程和结果。主要的评价点有：测量工具的合理性， 计算模型的有效性，测量结果的准确性，测量方法的创造性，减少误差的意识和做法，测量过程中工作的状态，测量过程中解决困难的机智，成果汇报、讨论中的表现等。

在测量学校旗杆这一底部可及的物体高度的基础上，教师继续引导学生测量城市电视塔这一底部不可及的物体的高度。

有的小组采用两次观察镜面的方法：如下页图2所示，先确定人眼距离地面的高度h，再在对准（经过）电视塔底部的直线上选取间隔一定距离

“学校旗杆的高度是多少？” 这一实际问题贴近学生生活。教学中，教师引导学生联系已有知识和方法，打开思维视角，进行有条理、合逻辑的思考，最终确定适当的方案，展开测量计算活动， 应用数学知识和方法分析和解决实际问题。而“测量城市电视塔的高度”这一变式问题，更是促进了学生对刚刚获得活动经验的灵活迁移运用， 提升了学生的实践创新。特别值得一提的是，“结题”环节中成功经验和失败教训的总结，尤其是误差的分析，让学生充分内化了活动经验，感受到纸“上得来终觉浅，绝知此事要躬行”，真正理解了失“之毫厘，谬以千里”，深刻认识到在分析和解决问题的过程中，只有不断跨越障碍、克服困难，才能实现自我提升。

三、在动手制作类“做数学”活动中催化实践创新

动手制作类“做数学”活动是指，针对某个具有现实意义的主题（任务）， 利用数学知识，探索制作方法并选择制作材料和工具，通过动手制作得到相应的作品（实物或图形）。它在完成现实任务时有着广泛的应用。

例如，教学初中的“轴对称图形”和“中心对称图形”后，教师介绍：剪“纸是有悠久历史和深厚底蕴的民间艺术，深受人民喜爱。剪纸时，通常是将纸折叠剪出部分图案，展开得到完整图案。实际上，剪纸与数学有着密切的关系，是数学文化的重要组成部分。然”后，教师提出“剪纸得到图3—图5所示的图案”这一制作任务，引导学生利用数学知识完成。

首先，教师引导学生分析得到：图3所示的图案是轴对称图形;图4所示的图案是轴对称图形，也是中心对称图形;图5所示的图形是中心对称图形。从而想到：可以先研究折纸与对称的关系，弄清怎样折叠可使展开后得到轴对称图形、中心对称图形;再利用这些方法，将纸折叠剪出部分图案，展开得到与之对称的其他部分图案。

然后，教师让学生用长方形纸做试验。学生将长方形纸对折，用大头针随意扎出2个（或更多）孔，展开后发现：纸上有4个孔，这4个孔关于折痕轴对称（如下页图6）。学生又将长方形纸对折再对折，用大头针随意扎出2个（或更多）孔，展开后发现：纸上有8个孔，这8个孔关于折痕轴对称，关于折痕的交点中心对称（如下页图7）。怎样折叠可以扎出展开后仅具有中心对称关系的若干个孔呢？ 学生犯难了。教师引导学生：两次互相垂直的对折可以得到绕折痕交点旋转180 度的关系，即中心对称的关系。学生多次尝试后发现：将长方形纸两端留出一部分，斜着对折再对折，在留出的这部分（只有两层纸）上用大头针随意扎出2 个（或更多）孔，展开后纸上有4个孔，这4个孔仅关于折痕的交点中心对称（如下页图8）。

于是，教师让学生利用这些方法，剪纸得到相应的图案。学生将长方形纸对折，画出半个图3 所示的图案（如图9）并剪下，展开即得到完整的图3所示的图案。学生又将长方形纸对折再对折，画出四分之一个图4所示的图案（如图10）并剪下， 展开即得到完整的图4所示的图案。对于怎样得到图5所示的图案，学生感到要用图8所示的方法，但一时想不到具体怎么办。教师引导学生注意该图案中间有一个小正方形，而图8中的两条折痕是一个正方形的两条对角线。有学生想到： 如图11，在正方形纸片中间画一个小正方形，将正方形纸片沿虚线（两条弧线和小正方形上下两边， 关于正方形的中心成中心对称）剪开，再沿对角线对折两次，沿小正方形被剪开的边展开正方形的两层，画出半个图5所示的图案并剪下，展开即得到完整的图5所示的图案。

“剪纸得到相应的图案”这一现实任务能够很好地激发学生的学习兴趣。教学中，教师引导学生分析图案的数学特征，操作发现折纸与对称的关系，归纳得到将纸折叠剪出部分图案后展开得到完整图案的方法，最终展开动手制作活动，应用数学知识和方法分析和完成实际任务。这样的活动对学生来说具有曲折性和创造性，既体现了数学的发现，又体现了数学的应用，能够提高学生的几何直观能力和逻辑推理能力。从中，学生还能感受到几何学的神奇以及对称图案的美，感受到数学的文化和魅力。

參考文献：

[1]董林伟，等.初中数学实验的理论与实践研究[M]. 南京：江苏凤凰科学技术出版社，2016.

[2]董林伟.走向学科育人：“做数学”的时代建构与实践创新[J]. 教育发展研究，2021（8）.

（赵维坤，江苏省盐城市毓龙路实验学校原校长。特级教师，正高级教师。中国教育学会中学数学专业委员会理事、学术委员。苏科版初中数学教材核心编写人员。主持江苏省六大人才高峰项目1 项、江苏省基础教育前瞻性教学改革实验项目1 项、江苏省教育科学规划课题4项。获得国家教学成果奖（基础教育类）二等奖项目1项，江苏省教学成果奖（基础教育类）特等奖项目1项、2等奖项目1项。侯正永，江苏省南京市鼓楼区教育局副局长、鼓楼区教师发展中心主任。特级教师，正高级教师。江苏省“333”工程培养对象，江苏省基础教育先进个人。南京师范大学、江苏第二师范学院、南京晓庄学院特聘研究生导师。）