在“做数学”中促进深度理解①

摘要：对数学知识的深度理解是数学学习的永恒追求。在“做数学”中获得丰富的表征方式，可以帮助学生深度理解数及计数法;在“做数学”中经历图形的构造过程，可以帮助学生深度理解图形性质;在“做数学”中明晰运算的原理，可以帮助学生深度理解运算法则;在“做数学” 中直观感知数学概念的要义，可以帮助学生深度理解抽象的数学概念。

关键词：“做数学”;计数法;图形性质;运算法则;数学概念

就数学学习而言，是否理解数学知识以及理解到何种程度，无疑是至关重要的。在数学学习过程中，学生所运用的学习素材，所采用的学习方式，所经历的学习过程，所进行的数学思考，都在一定程度上决定了其对数学知识的理解深度。“做数学”是学生运用材料和工具，在动手动脑相协同的过程中，通过操作体验、数学实验、综合实践等活动，理解数学知识、探究数学规律、解决问题的一种数学学习方式，是发展数学核心素养、实现数学学科育人的一种范式②。“做数学”的过程， 丰富了知识的表征方式，还原了知识的产生过程， 触及了知识的基本原理，为抽象的数学知识直观化、可视化创造了条件，成为促进学生深度理解数学知识的一条重要路径。

一、在“做数学”中丰富表征方式，深度理解数及计数法

对数学知识的理解，需要避免简单记忆和机械运用，重要的是通过多样而准确的表征方式，丰富知识的外延，指向知识的内涵。“做数学”的过程必然伴随着对数学材料或数学工具的操作，数学材料、工具的丰富性与典型性，以及操作过程中学生多样化和个性化的操作结果，为丰富知识的表征方式提供了可能。

以认识自然数为例，基于小学生以动作和表象为主要特征的表征方式，紧扣抽象出数和掌握十进位值制计数法这两个关键环节，让学生经历“做数学”的过程，帮助学生实现对数及计数法的深度理解。

认识自然数是学生学习数学的起点，也是数学知识体系基础中的基础：不仅是后续学习数学知识的基础，其中抽象出数的过程所蕴含的数学思想方法以及由此所获得的数学活动经验，同样构成了后续学习的基础。

史宁中教授认为，数量是对现实生活中事物量的抽象，数是对数量的抽象，对应是实现这种抽象的方法之一，也是适合小学生认知水平的方法①。怎样引导学生运用对应的方法逐步抽象出数？ 可以设计如下“做数学”的過程：第一步，从实际场景中分离出计数对象;第二步，用小棒一一对应地表达数数的过程;第三步，观察摆出的小棒， 将同样的情况归类;第四步，判断生活场景中还会有哪些物体也可以用同样的小棒表示;第五步，对照小棒的多少，尝试用同一数字符号表示。上述过程大致如图1所示。

上述活动的关键在于，在符号化之前，通过“做”的过程对“对应”形成了真切而具体的体验， 同时感知了数的丰富表征。这样，学生对数概念的理解就不会停留在机械地数数，更不会只是抽象地读数和写数，而是赋予了数现实的意义，体会到数与现实之间的紧密联系。进一步地，为了丰富学生对10 以内数的结构的认识，我们还可以让学生运用如图2所示的特定计数工具来表示数， 让学生体会同一个数的不同表征方式，进而帮助学生形成良好的数感。

对于十进位值制计数法的理解，可以借助计数器的操作来实现。计数器作为半抽象的表征工具，可以很好地帮助学生由具体过渡到抽象，或解释抽象的数所表示的具体含义。利用计数器实现对计数法的深度理解，其中具有典型意义的是以下两个操作过程：

一是从方块（小棒）的具体表征，过渡到计数器的半抽象表征。其价值在于，从方块（小棒）计数过渡到计数器计数时，引入数位概念，并在对应数位上用几粒算珠表示几个十（百、千……）， 这就为学生搭建了一个半抽象的桥梁，从而在“做数学”的过程中直观地感知位值计数。其过程如图3所示。

二是利用计数器体会“满十进一”。对于“满十进一”的理解，较为典型的操作过程是：在计数器上表示出999 后，如果继续添上1，如何从个位拨起，逐步向前一位进一，最后拓展出千位，并表示出1000 。其操作过程如图4所示。

上述过程，一方面丰富了数的表征方式，另一方面通过计数器等具有半抽象特性的工具操作， 在“做数学”的过程中，让静态的数学知识得到动态的呈现。这样的过程，有助于学生对数及计数法的深度理解。

二、在“做数学”中经历构造过程，深度理解图形性质

理解并掌握图形的性质是认识图形的核心内容。对图形性质的认识并不是仅基于图形的定义进行推理的结果，更重要的是从图形本身出发所获得的发现。这种发现的过程可以设计成“做数学”的过程，让学生通过构造图形发现有关图形的特征。这种发现有助于学生对图形性质的深度理解。例如，对于三角形而言，任“意两边之和大于第三边”是其重要的特性。为了帮助学生在自主探索中获得相关的发现，可以设计如下的“做数学”过程：

（1）提出数学问题：任意选取三根小棒，能围成一个三角形吗？

（2）通过对具体材料的操作，  确定研究对象：尝试从长度分别为8厘米、5厘米、4厘米、2厘米的四根小棒中，任选三根围三角形。

（3）对操作产生的结果进行初步的观察并分成两类：不能围成三角形的与能围成三角形的。

（4）对比、归纳并获得初步的发现，产生猜想： 从小棒长度的关系出发，分析研究不能围成三角形的原因以及能围成三角形的规律。

（5）重复实验， 验证猜想： 测画任意的三角形， 量验证其三条边之间的关系。

（6）探究原理： 为什么三角形任意两边长度的和大于第三边？

（7）得出结论。

显然，上述过程是一个在“做”中发现的过程， “做”中产生的现象构成了直观的分析对象，让学生的数学思考有所依托，也为后续数学原理的探究奠定了基础。有了上述过程，学生对三角形的抽象特性就有了具体而深刻的理解。

再如，对于四边形与其对角线的关系，同样可以通过构造图形的过程，让学生自主发现：第一步，通过实际操作，分析作为四边形对角线的两条线段相交的各种情况（如图5）; 第二步，对是否平分、是否垂直、是否相等進行分类研究，提出初步的猜想;第三步，通过对材料的具体操作初步验证猜想;第四步，尝试给出严格的证明。

上述“做数学”的过程，实质是让学生在“做” 中发现，“做”的素材与“做”的过程，成为学生进行数学思考的基础。正是经历了“做”后的猜想、验证、发现的过程，学生实现了对图形性质的深度理解。

三、在“做数学”中明晰运算原理，深度理解运算法则

《义务教育数学课程标准（2011 年版）》指出： 在“基本技能的教学中，不仅要使学生掌握技能操作的程序和步骤，还要使学生理解程序和步骤的道理。”①数学运算虽然最终表现为一个程序化的操作过程，但程序的形成及其选择需要建立在对运算的理解基础上。这种理解，不仅有助于学生在进一步运用算法的过程中进行自我监控，从而提高算法形成的质量，也有助于学生在追问原理的过程中形成初步的理性精神。

以多位数除法的笔算为例。学生在列竖式计算时，从高位算起的运算顺序，与先前学习整数加法、减法、乘法时从个位算起完全不同。是告知学生按规定必须如此去做，还是让学生在理解除法运算基本原理的基础上，自主作出从高位算起的选择？ 显然，无论是着眼于数学知识教育价值的实现，还是着眼于学生数学素养的培养，都应该选择后者。通过操作表征具体数量的小棒（方块）学具，探索平均分的具体方法，让学生经历“做数学” 的过程，帮助学生建立运算过程的表象，从而为进一步理解并掌握较为抽象的算法奠定基础。

比如，对于非表内除法的两位数除以一位数， 可以让学生用分小棒（方块）的方法分别探索"46÷2"“52÷2”“52÷4”的算法，逐步理解除法笔算算法的基本原理以及运算程序的合理性。探索“46÷2”的算法是第一层次。主要是让学生体会将46 平均分成2份，要有步骤地将组成数的每一部分平均分：可以先分4个十，再分6个一;也可以先分6个一，再分4个十。探索“52÷2”的算法则构成了第二层次。在继续尝试应用前述两种分法时，重点探索十位上平均分成2份后余下的1 个十如何处理：先分5个十，再将余下的1个十与2个一合并后再分;先分2个一，再分5个十，其中1个十需要打散再分。由此，学生初步体会到两种分法的优劣。探索“52÷4的”算法则进入第三层次。学生在操作时体会到，从个位上分起有时无法进行，从十位上分起适合各种类型的除法，从而在比较中自主得出：两位数除以一位数一般从十位上除起。最后，让学生用除法竖式表示每一步分的过程，除法笔算的程序由此自然产生。

上述过程的实质是让抽象的思维过程变得清晰可见，历经从实物操作到表象操作再到符号操作的过程，契合了学生的年龄心理特征，实现了学生对运算法则的深度理解。

再以隔位退位减为例。退位减法是整数、小数减法计算的难点之一，而隔位退位减又是难点中的难点。所谓“隔位退位减”，是指形如204-108 这样的减法，列竖式笔算时，个位上不够减，需从十位上借“1当”十，而十位上是0，则需从百位上借“1”至十位当十，再在其中借“1”至个位。这一过程对于学生而言，不仅理解有困难，实际计算时033也比较容易出错。借助计数器，通过拨珠的过程， 可以帮助学生理解算理，也有利于学生从中提炼出具体的计算方法。

比如，对于204-108，具体相减时，从高位上借“”的过程如图6所示。随后竖式计算的过程，则可以视作这一过程的符号化操作。

正是有了前述直观的操作过程，抽象的符号化过程就有了依托，学生在书写竖式时，头脑中如动画般逐步闪过上述过程，实现了对算理的深度理解，有效化解了计算难点。

此外，分数乘分数的计算过程相对比较简单， 但其算理理解却并不容易。借助折纸表示相应分数乘法意义的过程，是帮助学生理解算理的有效办法。可以从分数单位相乘开始，逐步过渡到任意分数相乘。具体过程如图7所示。这样的过程，让学生借助分数乘法计算过程的清晰表征，逐步理解分数与分数相乘为什么可以用分母相乘做分母、分子相乘做分子。

可见，“做数学”过程中的操作体验，以及对操作材料的具体感知，为学生的数学思考提供了丰富的素材支撑：一方面，学生通过形象直观的素材和具体清晰的操作过程，理解了运算的算理;另一方面，理解算理时所经历的“做数学”过程，也为后续怎样具体计算，即运算法则的形成提供了有效的支撑。这样的过程，给原本枯燥的、按部就班的计算过程赋予了意义，让学生既实现了对运算法则的深度理解，也体会到数学的严谨与理性。

四、在“做数学”中直观感知要义，深度理解数学概念

早在20 世纪90 年代，陈重穆先生就提出“淡化形式，注重实质”的主张，并得到了数学教育界的广泛响应。他指出：“概念要靠直观演示、具体操作，使学生领悟。要通过学生实际去‘做，具体去‘用，形成实惠，加深领悟，才能逐步掌握。”① “做数学”的过程，往往就是这种“做”和“用”的过程，通过精心设计的实验工具，帮助学生在操作活动中，直观地感知数学概念的要义，从而触及数学概念的本质。

以函数概念为例。学生从初中到高中学习了很多函数知识，高中教材也相应给出了由“非空集合、对应法则、定义域、值域”等要素组成的函数定义，但学生从中却未必能深刻理解“对应”与“变化”的思想内涵。对此，可以专门设计实验工具“函数发生器”，让学生在操作活动中直观感知“对应”与“变化”的要义。

“函数发生器”，可以是借助计算机技术设计的简单程序，也可以是利用相关材料制作的有模拟输入、输出端口的实物工具。具体操作时，从输入端口具体输入一个数（数字卡片）， 在输出端口就会产生一个对应的数（数字卡片）。如此反复， 学生进一步体会到输入和输出之间存在着对应关系，并且这种对应关系符合某一法则。与此同时， 随着输入的变化，输出也在相应变化。具体如图8 所示。

这样，抽象的“对应”与“变化”便以直观的形式呈现在学生面前。这种直观，給学生留下的印象正是函数的实质。运用这样的工具，即便是小学生，也可以通过“做数学”的过程，体验到“对应” 与“变化”的思想，只不过暂时不必给出函数的概念。

与此相类似的是数学归纳法的学习。可以借助“多米诺骨牌”来理解其要义：通过“第一张骨牌倒下”和“任意一张骨牌倒下都会导致其后续一张倒下”这两个事件发生会导致“所有骨牌倒下”事件的发生，直观理解由“n=1时命题成立”和“假设n=m时命题成立，可以推导出n=m+1 时命题成立”，获得“命题对于所有正整数都成立”的结论。

抽象如函数与数学归纳法，可以通过“做数学”实现对概念要义的直观感知。而小学数学中某些貌似简单的概念，也可以借助“做数学”直观理解其形式背后的实质。

例如，对于公倍数和公因数，虽说用“两个数公有的倍数（因数）是它们的公倍数（公因数）即”可准确描述概念，但其实这并没有反映出概念的实际意义及其背后的实质。

对此，可以设计一个用小长方形去铺正方形的活动（过程如图9所示）， 让学生在操作活动中体会长方形的长和宽与能否正好铺满的正方形的边长的关系，从而通过几何直观感知公倍数的现实意义。

与此类似，可以设计一个用小正方形去铺长方形的活动（过程如图10所示），让学生在操作活动中体会正方形的边长与能否正好铺满的长方形的长和宽的关系，从而通过几何直观感知公因数的现实意义。

用文字或符号来描述一个数学概念，是数学教学中的常见做法。但如果仅就此描述，只从字面上作出解释，则难免停留于形式而不能触及本质。通过“做数学”的方式展开学习过程，借助典型的数学材料以及对材料的有序操作，让抽象的概念直观化、隐形的思维可视化，可有效帮助学生直观感知概念的要义，实现对数学概念的深度理解。

五、结语

数及计数法、图形的性质、运算法则以及一些重要的数学概念，虽非数学的全部内容，但毫无疑问都是数学的核心内容。正是经由“做数学”的过程，实现了学生对这些数学核心内容的深度理解。由此，我们可以看到“做数学”的一般路径及其在促进数学理解方面的独特价值。我们还可以看到，无论是从指向数学知识实质的角度，还是从符合儿童认知发展特点的角度，乃至从学生数学素养发展的角度，“做数学”对数学教学实践而言都具有重要的意义。

（郭庆松，江苏省中小学教学研究室。江苏省教育学会小学数学专业委员会秘书长。研究方向：小学数学课程、教学、评价等。）