“做数学”的理论基础分析①

摘要：知行结合是“做数学”的认识论基础，强调数学体验中的知与行、数学实验中的知与行、综合实践中的知与行。建构知识是“做数学”的学习论基础，强调“做数学”是学生的个体行为，“做数学”不是知识传递的模式，“做数学”是合作学习的方式，“做数学”是用情境支持知识理解。情境认知是“做数学”的教学论基础， 强调“做数学”体现了在情境脉络中学习，践行了在实践共同体中教学，实现了在行动中学习知识。

关键词：“做数学”;理论基础;知行结合;建构知识;情境认知

一、知行结合：“做数学”的认识论基础

在批判传统学校教育的基础上，杜威提出了“从做中学”这个基本教学理念。杜威认为，由于人们最初的知识和最牢固地保持的知识是关于怎样做的知识，因此，教学过程应该是“做”的过程。在他看来，“从做中学”也就是“从活动中学”、从经验中学，使得学校里知识的获得与生活过程中的活动联系了起来。由于儿童能从那些真正有教育意义和有兴趣的活动中学习，因此，那些活动就有助于儿童的生长和发展。如果儿童没有“做”的机会，那必然会阻碍儿童的自然发展。

传统哲学一向把人类和自然界分离开来，把个人和社会分离开来，把心与身以及知和行分离开来，形成二元认识论。杜威把人类视为自然界的组成部分，认为有机体经常谋求对环境的适应， 个人是通过参加社会活动而得到发展的。知与行相互依赖，这种认识论应用在教育上，便是“教育即生活”，应用到教学上，便是“从做中学”。杜威认为，在理想的教学过程中，教师应当鼓励儿童在活动时开动大脑，运用观察和推测、实验和分析、比较和判断，使他们的手、足、耳、目和头脑等身体器官成为智慧的源泉①。

事实上，杜威的“从做中学”理念得到了具身认知理论的支持。传统教育观对身体的忽视与认知主义二元论有关。认知主义接受笛卡儿以来的二元论观点，认为身体和认知是两种不同性质的实在。笛卡儿曾经主张，包括身体在内的“物”占有空间，但是不能思维;而“心”的特征是能思维， 但是不占有空间。具身认知理论反对认知主义二元论。具身认知理论认为，心智是身体的心智，认知是身体的认知。这一理论有几个基本观点②。首先，身体的结构和性质决定了认知的种类和特性，认知并非可以脱离身体的抽象符号运算。有什么类型的身体，就有什么类型的认知。身体结构和性质限制和制约了有机体能获得的概念和范畴。其次，认知过程具有非表征特点，思维、判断等心智过程也并非抽象表征的加工和操纵。认知是身体与环境互动的结果。认知发生于身体作用于环境的实时动力系统中，并不存在表征和表征加工过程。再次，认知、身体、环境是一体的。认知是身體的认知，而身体的结构和性质又是进化的产物，是环境塑造出来的。这意味着认知、身体和环境是一个紧密的联合体。最后，身体和环境是认知系统的构成成分。身体和环境对认知的作用不限于因果影响，身体和环境在认知加工中扮演了某种构成性的角色。例如，我们使用纸张和铅笔进行计算，纸张和铅笔不是计算过程的因果因素，却是完整计算过程的有机组成部分。

毫无疑问，“从做中学”理念对于科学学科学习过程及价值的解释是容易理解的。譬如，物理、化学、生物的学习离不开实验，通过实验去学习本身就是“从做中学”。那么，在数学学习中如何理解“做数学”？ 数学能“做”吗？

广义地理解，做数学研究、做数学练习、解答数学问题、动手操作去发现规律或验证规律等过程，均可谓“做数学”。但本研究所谓的“做数学”， 是指学生运用材料和工具，在协同动手动脑的过程中，理解数学知识，发现数学规律（关系）， 创造性地解决问题，发展数学核心素养。从外延看， “做数学”包括：（1）数学体验，即通过操作、观察、感悟、理解来学习数学。就是让学生动手操作，在操作中体验数学。由此，学生可以获得大量的感性知识。（2）数学实验，即通过操作、观察、探究、发现及论证来学习数学。就是引导学生利用一定的工具（实物或软件）， 通过操作感受、观察思考、归纳抽象等过程建构数学概念、验证数学结论、探索数学规律、解决数学问题。（3）综合实践，即通过思考、实践、运用、解决问题来学习数学。它以经验与生活为核心，强调学生通过实践，增强问题和创新意识，学习科学研究的方法，发展综合运用知识的能力。

数学体验中的知与行。小学生对数的认识， 始于对具体事物数量的抽象。例如，通过数小棒认识自然数，然后逐步脱离小棒，用头脑中形成的表象来表征对象，最后再将其转化为符号表征;通过对小棒数量增减的操作，形成自然数加减的直观认识，逐步过渡到表象表征，最后习得符号表征。这些过程的起始阶段都是动手操作的行为。布鲁纳认为，在人类生长期间，有三种表征系统在起作用，就是动作表征、表象表征和符号表征，即通过动作或行动、表象或图像以及各种符号等抽象形式来认识事物。这三种表征系统相互作用，是认知生长或智慧生长的核心③。在儿童发展的早期，他们从完全采用动作表征过渡到开始使用表象表征，即“心理映象”作为某些事物的代用品。事实上，在小学阶段，学生学习数学概念大多是由动作表征开始的，离不开感性的数学体验。

数学实验中的知与行。数学实验强调操作与观察，这当然是在“做数学”。其实，数学家做数学研究也是在做实验，不过这种实验更多的是思维实验，即借助符号表征来完成实验过程。对于小学生和初中生来说，他们具备的知识量有限，思维也没有上升到能够完全依托符号表征来完成实验的水平，因而在发现知识、理解知识方面仍需要动作表征或表象表征的支持。例如，小学生对分数的认识，需要通过对具体实物的切割，或者用对具体物体切割的操作，或者利用图片在头脑中形成对具体事物切割的表象;初中生直接发现并证明三角形中位线的长等于第三边的一半这个结论是有困难的，但通过测量则很容易得到这一结论。数学概念或命题是一种静态形式，呈现的是“知” 的状态，然而，这些知识的形成往往是“做”在先“知”在后。例如，从知识产生的过程看，合并同类项是先有同类项概念，还是先有合并同类项的方法？ 显然，是后者先出现，前者后出现。人们发现，在多项式的运算过程中，可以利用分配律来简化运算过程，然后再将字母及其次数相同的项称为同类项。概念的产生在方法之后，而寻找这个方法就是“做”也是实验的过程。

综合实践中的知与行。将数学知识用于实践，解决与现实生活或其他学科相关的问题，这个过程也是与“做数学”密不可分的。以数学为工具去解决现实生活或其他学科中的问题，是一个数学建模的过程，需要收集真实的数据，分析建立适当的数学模型。收集数据是动手操作或手脑并用的活动。例如，要知道一个建筑物的高度，需要到现场测量有关的距离与角度;要设计一个交叉路口的红绿灯开放时间，需要到现场调查每个时段的车流量。整个过程都是在“做数学”。儿童及至青少年学习数学不能脱离“做”，这是一个基本的认识论观点。

二、建构知识：“做数学”的学习论基础

与客观主义把学习解释为人脑对客观知识的复制不同，建构主义认为，人的学习过程不是简单的刺激与反应的联结，不是对客观知识的直接写照，而是将人的经验、理解、交流、协商都纳入学习中。其显著的样态在于有了自己话语权的解放， 个人的热情、主张、观点、意见都能参与学习，学习不再是一种对知识顶礼膜拜从而无条件地接受和信仰的过程①。

简单地说，知识建构就是学习者借助自己已有的知识和经验，主动地认识知识、理解知识从而抽象出知识内核的过程。这个过程既有个人独立的思考、辨析与抽象，也有学习共同体之间的相互协商与交流。建构主义的基本要义是：（1）知识的建构性。个人对知识的建构，是个人创造有关世界的意义，而不是发现源于现实的意义。建构通过新旧知识的相互作用来实现，认知的功能是适应。（2）知识的社会性。除了个体对知识的建构外，知识的建构离不开共同体，更多的是共同体互动、协商、交流的结果。（3）知识的情境性。人的思维不能脱离情境，在适当的情境和实践共同体中，知识的建构才能达成②。

“做数学”是一种知识的建构过程，对此应当有明晰的认识。

首先，“做数学”是学生的个体行为。显然， “做数学”不是由教师演示操作规程，学生模仿来完成的，而是由教师提供目标、暗示方向，学生自己设计路径、制订方案来完成的。因此，在“做数学”的过程中，学生作为独立的个体，通过自己的思考、自己的行动来实现学习目标，本质上就是自我建构知识的过程。正因为如此，学生在“做数学”的过程中，就可以提出自己的见解，将个人的热情、自我的主张融入学习中。这与建构主义的主旨是一致的。

其次，“做数学”不是知识传递的模式。客观主义强调知识的客观性，认为知识是客观存在的， 科学研究的任务是发现这些客观规律，不能带有科学家自身的价值观;同时，发现的结果只能是对现实存在的真实写照，不能带有代表社会群体意识和利益的价值意向。因此，人的学习过程是个体认识这些客观事物，将客观知识转化为主观知识的过程。学习的本质是通过建立客观现实与个体头脑的映射，将客观知识复制到头脑中，成为一种无条件的接受。教师的任务是为学生构建一个知识复制的场域，提供一种知识传递的情境，将教学设定为利用证实的思维解读教材，目的是要学生相信这些事实并接受它。与此不同，“做数学”不是教师告诉学生这个知识是什么，而是要学生通过自己的感知和具体的操作来认识事物的特征，建构知识的雏形，然后通过论证来确立知识的合理性。这显然更符合建构主义学习的基本要义。

再次，“做数学”是合作学习的方式。在真实教学中，教师往往采用分组方式来组织学生“做数学”，小组成员之间可以相互讨论，充分发表自己的看法和意见，在交流中完成学习任务。建构主义将建造房子作为教学的一种隐喻：教师的主要工作是搭建脚手架，学生的工作是站在脚手架上添砖加瓦。显然，这个工作需要小组合作来完成： 有的人搅拌混凝土，有的人运送砖块，有的人砌砖。如果说这种隐喻强调合作学习中分工的角色和作用，那么合作学习另一个更重要的功能在于： 交流本身就是学生思维差异的取长补短，这也正是社会建构主义的内核所在。

最后，“做数学”是用情境支持知识理解。关于这个问题，我们在下面的讨论中详细阐述。

三、情境认知：“做数学”的教学论基础

学习的情境认知理论关注物理的和社会的场景与个体的交互作用，认为学习不可能脱离具体的情境而产生，情境是整个学习中重要而有意义的组成部分。情境认知理论注重语言、个体和群体活动、文化的意义和差异、工具等因素以及这些因素之间的联系与互动。

威尔逊和迈尔斯列了一张表，对与学习环境相关的情境认知原则做了梳理，对情境认知理论做了比较详细的阐述①，主要观点有：（1）情境脉络中的学习。思维和认知只有在特定的情境中才有意义，所有的思维和认知都是处在特定的情境脉络中的，不存在非情境化的学习。个体认知心理常常产生于构成、指导和支持认知过程的环境中，认知过程的本质由情境决定，情境是一切认知活动的基础。（2）实践共同体中的学习。人们在实践共同体中行动和建构意义，学习被看作是与他人、工具和物质世界互动的辩证过程。认知与行动不可分———不论是直接的身体和外显的行动，还是有意的反思和内部行动。（3）行动中的知识学习。知识存在于个体和群体的行动中，是随着个人参与到新的情境中，并在基于新情境的協商中产生的。而知识和能力的发展发生于在真实情境中不断利用知识的活动中。

情境认知理论的突出特点是把个人认知放到更大的物理和社会的情境脉络中，这个情境脉络是互动的，包含了文化性建构的工具和意义。从教育层面看，它是一种理念;从教学层面看，它是一种模式。教学模式的基本要素包括理论基础、教学目标、教学程序、教学策略、教学评价。而情境认知本身就是一种学习理论，依据这一理论的教学目标是发展学生的实践能力与合作交流能力;同时，情境认知理论也框定了教学的基本流程，提出了具体的教学策略。因此，不能简单地把情境认知理论理解为只是在教学中设置情境的一种教学手段。“做数学”与情境认知有密不可分的联系，对此应当特别关注。

第一，“做数学”体现了在情境脉络中学习。无论是数学体验、数学实验，还是综合实践，“做数学”都需要设置恰当的情境。情境可为“做数学”提供先行组织者。这个先行组织者不是一些简单的文字材料，而是一个操作的平台，通过实际操作来辅助对新知的认识。同时，情境又可以沟通数学知识的来龙去脉。以现实问题为背景创设问题情境，通过“做数学”，学生了解知识产生的根源;以数学问题为背景构造问题情境，通过“做数学”，学生明了知识之间的联系，把握知识的生长趋势。因此，无论创设怎样的情境，都是一种对知识的梳理，学生可以借助情境把握知识脉络，加深对知识的理解。小学生与初中生的数学学习，需要情境来支撑对知识的理解，因为无论是动作表征还是表象表征，都是建立在对具体事物的感知基础上的，而具体事物往往伴随着情境显现。“做数学”的过程是先在情境中做，然后脱离情境抽象出数学概念或原理，形成符号表征。因此，情境设置是“做数学”的必要条件，也是“做数学”的理论基础。

第二，“做数学”践行了在实践共同体中教学。教学实践共同体的蕴义是指学习者与他人、工具和物质世界互动。从教学过程来看，一方面，“做数学”的一个基本特征是工具性，工具包括纸张、剪刀、模型、测量工具、作图工具、计算机等①，学生通过对工具的操作来探究结论或验证结论，实验的过程实在地贯通了学生与工具的互动;另一方面，“做数学”又是一种共同合作、共同协商的活动，小组成员可以畅所欲言地表达自己的观点，通过相互交流来达成共识，体现出学生与他人的互动行为。

第三，“做数学”实现了在行动中学习知识。“做数学”的另一个特性是操作性，学生是活动的主体，他们通过动手操作去体验、探索、领悟，在“做”中学习数学。“做”是一种行为，是学生主体的行为，因此，数学实验的操作性特征的直接效果是使学生在行动中学习知识。更有价值的是，在行动中学习知识事实上构造了一种教学模式。传统数学教学的模式是“先学后做”，即教师向学生讲授知识，学生在理解知识的基础上模仿教师去解决问题，最后过渡到独立解决问题。“做数学” 则提倡“先做后学”“在做中学”，即在实践去学习， 这种实践以“做”为支架，从而形成一种有别于传统的教学模式。

（喻平，南京师范大学数学科学学院教授， 博士生导师，南京师范大学课程与教学研究所所长。全国数学教育研究会副理事长，全国教育论专业委员会理事，江苏省数学教育专业委员会副主任委员。主要从事数学课程与教学论、数学教育心理学的教学与科研工作。出版《教学认识信念研究》《数学教育基本问题研究》等专著6本，主编《中国数学教育研究30 年》丛书4本，主编高校教材、中学教材5本，在国内外学术期刊上发表论文200 多篇。）