例谈辅助圆的生成条件及应用策略

张兴旺

【摘要】在初中几何题中有这么一种类型的题，从已知条件和结论中看，都没有牵涉到图形圆，但如果抓住已知条件中的某些能构造辅助圆的特征，构造出辅助圆，然后利用圆的性质去推导或计算，一些烦琐或不易的问题便迎刃而解。文章把这些题型进行分类，总结出几种构造辅助圆的方法。

【关键词】例谈;辅助圆;构圆法;模型

【基金项目】福建省教育科学“十三五”规划，2019年度常规课题，课题名称“基于数学核心素养的‘关键教学点教学校本化研究”，编号：FJJKXB19-644。

在初中几何题中有这么一种类型的题，从已知条件和结论中看，都没有牵涉到图形圆，若直接从已知条件出发去推导或计算，要想得到想要的结果会比较烦琐，甚至有的无从下手。对于究竟怎样的几何题该选用此法，以及如何快捷地构造辅助圆等，都没有做出明确而全面的归纳总结。笔者根据自己多年的教学心得，把这些能巧用辅助圆解题的题型按能生成辅助圆的条件进行分类，总结出以下几种构造辅助圆的方法，希望能给大家在解题中带来帮助和惊喜。笔者把归纳的方法辅以例题加以分析，以便大家更好地体会构造辅助圆解题的策略在解题中的实用性与高效性，感受数学中逻辑思维与构造辅助圆的统一美。

一、定义构圆法

例1：如图1所示，已知，，求的大小。

常规思路分析：图中有三个等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质，易求得，接下来经过设元或引进参量，再利用三角形或四边形内角和等数量关系，得到相应等式，进而方可求解。具体解法如下：

解法一：，，.

不妨设与相交于点，设，，

，

，，

又，，

在△中，，

在△和△中易知：，

，

，

解得：，即.

此题按以上方法来解，对学生来说确实有一定难度。但我们知道，到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆。如果从某定点出发引出的线段都相等，那么这些线段的另一个端点一定在同一个圆上，于是过这些点就可以构造出辅助圆，再利用圆的性质解题，就会发现一些复杂的问题变得如此简单。

构圆法思路分析：上述根据圆的定义构造圆的方法称作定义构圆法，此题根据定义构圆法作辅助圆⊙A，再根据圆的性质“同圆中，同弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半”，很快得出结果。具体解法如下：

解法二：，

、、三点在以点为圆心、长为半径的⊙A上（如图2示），

.

对比上述两种方法的解答过程，可以看出，根据圆的定义构造出辅助圆来解题比常规思路方法简捷得多，同时也从侧面诠释了掌握构圆法解题的必要性。

二、四点共圆模型构圆法

同学们在利用构圆法解题的实践过程中常遇到要判断某四点是否共圆。那有哪些办法能帮助我们快速做出判断呢？笔者把同学们经常遇到的四点能共圆的情形归纳为以下两种数学模型，以便帮助同学们能更快速高效地做出判断。

（一）对角互补的四边形模型

教材中明确指出，圆内接四边形对角互补。反过来，对角互补的四边形，四顶点共圆吗？答案是肯定的。我们用反证法便不难证得：一组对角互补的四边形，四个顶点共圆。

故我们在做题时，一旦看到有一组对角互补的四边形时，就要立马联想到这个四边形的四个顶点是共圆的，再利用圆的性质来解决相关问题，思路就会豁然开朗。

例2：如图3，在四边形中，，，，求的正弦值。

分析：先根据“对角互补的四边形模型”构造出辅助圆，再根据“同圆中，同弧所对的圆周角相等”，可得，所以在Rt△中求出的正弦值即可。

解：，

、、、四点在以为直径的圆上（如图3示）

（同圆中，同弧所对的圆周角相等）

在Rt△中，

（二）蝶翅同向角相等模型

如图4所示的图形如同蝴蝶的双翅，当同向角（或）时，则、、、四点共圆。我们用反证法证明如下：

作△的外接圆⊙，假设、、、四点不共圆，则点不在⊙上，必在⊙的内部或外部。

或，这与已知条件矛盾。

、、、四点共圆。

例3：如图5，已知△是等腰直角三角形，，点是边的中点，将△绕点逆时针旋转角度得到△。其中，点是点的对应点，点是点的对应点，与交于点;当从变化到时，求点运动的路径长。

分析：本题要求出点运动的路径长，必须先弄清楚点的路径是什么，通过已知条件不难证得△∽△，，、、、四点共圆，又，所以点在以为直径的圆上，运动路径是，再利用弧长公式即可求解。

解：△繞逆时针旋转得到△

，，

△∽△，

、、、四点共圆（根据蝶翅同向角相等模型可得）

又，是边的中点

，点在以为直径的⊙上，运动路径长就是的长

，，，

点运动的路径长为。

三、三点含动构圆法

这类题常常牵涉三个点之间的关系，其中一定包含满足某些条件的一个或两个动点，题目条件介绍这样的三个点，题目的要求是要我们确定满足条件的动点的位置或求某些量的最值或取值范围等。解题策略是，作出由此三点（不共线）组成的三角形的外接圆或根据已知条件确定该外接圆的具体位置，然后利用圆的性质或根据与圆的交点情况来确定动点的具体位置或确定某些量的最值或取值范围。类似这类三点含动的题型，部分会牵涉到定弦或定角问题，定弦或定角的存在就提示我们要过哪些点构造圆。

总之，一道几何题能否用构圆法来解，关键是看题目条件是否符合上述三种类型的构圆条件，只要符合其中一种便可以尝试找出圆的背景，构圆辅助圆进行解题。通过上述一些例题，相信同学们已初步体会到了构圆法解题的实用与高效。本文难免挂一漏万，但若能抛砖引玉，亦甚感欣慰。

【参考文献】

郭源源.“定量”构建动点轨迹“隐圆”巧解最值问题[J].中学数学杂志（初中版），2018（05）：42-44.

谢春华.巧用“隐形圆”模型，突破中考综合题[J].初中数学教与学，2018（03）.

王少华.再探利用隐圆破解最值问题[J].中学数学杂志（初中版），2016（03）：65-66.

张芳.新课标下中考数学“隐形圆”的问题浅析[J].招生考试之友，2016（01）：26-27.