从数学史的角度看中国经典题目的教学
2021-08-03黄野娟张昆
黄野娟 张昆
【摘 要】通过课堂教学的设计和实施促进学生思维水平发展,是培养学生核心素养最有价值的途径之一。从数学史的角度看中国经典题目“鸡兔同笼”问题的教学,利用数学史料认识这一问题中相关知识点的教学价值,并将数学史融入教学活动,既能丰富课堂教学内容,又能有效促进学生思维水平的提升。
【关键词】鸡兔同笼;数学史料;生活经验;提升思维
一、问题的提出
苏教版教材六年级下册“解决问题的策略”学习内容中的“练一练”,引入了简化版的“鸡兔同笼”问题,提供了两个相关的素材。
素材一:鸡和兔一共有8只,它们的腿有22条。鸡和兔各有多少只?(根据下面的提示,选择一种方法找出答案)(教材第29页)
(1)按照下面的步骤画图。
①画8个圆,表示一共有8只动物。
②假设8只都是鸡,给每只鸡画2条腿。算一算画出的腿比22条少多少条。
③一只兔比一只鸡多2条腿,给其中的几只动物添上2条腿,使画出的腿正好是22条。
④鸡有( )只,兔有( )只。
(2)先假设鸡和兔同样多,再调整。(注:为了行文方便,将这种方法称为“系统实验法”)
素材二:“鸡兔同笼”问题是我国古代的数学名题之一。它出自唐代的《孙子算经》。书中的题目是这样的:今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何?你能算出这道题中的鸡和兔各有多少只吗?(教材第32页)
素材一的特点是数据较小,所以容易得到两条途径探究解题思路:(1)首先,指导学生利用拟似的实物(这里的①,即画圆)直观表示动物的数量;其次,假设8只全部是鸡(②),发现这8只鸡的腿总数为16条,比已知条件中的22条少了6条;最后,由于每只兔比每只鸡多2条腿,所以需要3只兔补充少的6条腿。(2)假设鸡兔各占一半,即鸡和兔都是4只,并向学生提供表1,引导学生发现,如果鸡和兔各4只的话,将得到24条腿,比条件中的22条多了2条,因此假设中的情况是多了一只兔。这两种方法都可以解决问题。
但在实际教学中发现,学生解决本题时,呈现出多种解题方法,不仅仅是教科书提供的两种途径。特别值得注意的是,有大约三分之一的学生采取先将22条腿折半为11条,然后与8只动物比较,发现腿的数量还多3条,说明兔子有3只,鸡有5只。(注:为了行文方便,将这种方法称为“折半法”)
值得思考的是,学生萌生使用这种“折半法”解题的思路究竟来源于何处?如何利用数学史资料优化“鸡兔同笼”问题的教学设计及其课堂实施呢?故此,我们进行了研究与探索。
二、相关数学史料与分析
任何想法都不是凭空产生的。在以往的学校学习中,学生并没有接触过类似“折半法”的解题方法,应该并不具备这种解题方法的学习经验。那么学生绕过教科书的提示,萌生出用“折半法”解决问题,也就未必是他们创造性思维的成果,而更可能与学生生活中所处的文化氛围相关。因为,正如教科书所言,“鸡兔同笼”问题是古代数学名题之一,因此,这道题存在于学生的生活之中,部分学生无须进入学堂,就可以获得解题的线索。
这道题来源于《孙子算经》卷下第三十一题:今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足。问雉兔各几何?
答曰:雉二十三,兔一十二。
术曰:上置三十五头,下置九十四足,半其足得四十七。以少减多,再命之,上三除下四,上五除下七;下有一除上三,下有二除上五。即得。
又术曰:上置头,下置足。半其足,以头减足,以足减头,即得。
当今社会中的成年人,不会采用这种古文之乎者也的方式讨论“鸡兔同笼”问题的解法,但会使用现代白话语言,选择解决这道题的策略,这也就是说,“折半法”流传于生活中,因此,学生在接受教科书的提示以前,就可能已经接受了“折半法”的解题途径。通过访谈发现,很多学生都有意无意地听大人说过这个问题,甚至有部分学生说,在三、四年级时,他们的家长就以“鸡兔同笼”问题问过他们,要求他们解答,如:兔子野鸡三十九,一百条腿地上走。多少野鸡多少兔?而家长给出答案时介绍的方法就是“折半法”。
因此,教师的教学应该要考虑学生受到的文化氛围的影响,并利用这些因素,因势利导、顺水推舟地利用学生在生活现实(而非学校教育教学)中所积累的数学观念、数学方法(可能掺杂着某些瑕疵)等,将这些文化中的有利因素与课堂目标要求的某些要素整合起来,促進学生形成具体的探究解决问题的方法与策略。
通过访谈发现,学生虽自觉不自觉地形成了用“折半法”解决“鸡兔同笼”问题的解题思路,但他们只是接受了成人提供的“折半法”的具体解题方法,却未必了解其背后的道理。也就是知其然而不知其所以然。因此,教师必须先理解古人解决这道题的“术”的具体内涵,从中吸收启发性成分,以便更好地组织教学。
先看这段话“上置三十五头,下置九十四足,半其足得四十七”。古人使用算筹进行数学计算。这段话说的是先用算筹标示出35(表示头),然后在它的下方用算筹标示出94(表示足)。取足数的一半得到47只足。“以少减多,再命之,上三除下四,上五除下七。” 就是说从多的中拿去少的,即用较大的数减去较小的数,47-35得到(足)12。这个12就是兔的数量。“下有一除上三,下有二除上五”就是35再减去12可以得到23,这个23就是兔的数量。通过理解解题方法(术)的具体内容认识到,在这几个解题操作环节中,最难形成的操作行为指令就是第一步,即“半其足”,《孙子算经》的作者是如何想到这一步计算指令的,这一步也实实在在地构成现在教学设计及其课堂实施的疑难点。
于是,在教学准备工作中,首先推测古人萌生“半其足”这种计算指令的来源,前文中对古文的内容说得很清楚,这里的“上置三十五头,下置九十四足”,是解题者使用算筹(如图1,现在使用的是阿拉伯数字)摆出来的。请注意图1中第一个环节的两个具体数字(35;94),古人肯定试探了两种途径,其一,将上面的35翻倍到70,当然可以解决问题,但后述步骤相对于将下面的94折半的途径要复杂得多(相对于古人筹算而言)。之后,将下面的94折半,结果发现后述计算要简单得多,正如前文所描述与揭示的。
但这一内容只介绍了方法,却没有讲解理由。这或许就是教科书没有引导学生采用“半其足”的方法解决问题的原因吧。
三、“鸡兔同笼”问题教学设计及课堂实施
钱理群说:“教育思想者和现实存在有着潜在的本性上的对抗性,思想者所关心的是‘应该怎样,而不是‘实际怎样。思想者与实践者之间是应该有区别,有分工,而且是存在着不同的逻辑的:思想者着眼于新的教育理念的建设,并从自己的教育理念出发,对现行教育的弊端作出批判,从而形成一种思想、舆论的压力,为其呼唤的改革提供思想资源,因此,要求思想的彻底,并具有一定的超前性,因而带有理想主义的色彩,而不考虑现实的操作。而实践者面临的是教育的现状,不仅感受到改革的必要性和迫切性,更要考虑在现实的主客观条件下,改革的可能性和有限性,因而奉行‘逐步推行的改良策略,这其中也包括必要的妥协,而不可能像思想者那样彻底。”[1]所以,关于“鸡兔同笼”问题的教学设计及其课堂实施,需要考虑以下两方面的问题。
一方面,学生在五年级就学习过“简易方程”,已经能够用数学符号表示具体数据,因此可以使用设未知数引入符号的方法表示鸡和兔的只数,从而替代如图1中的具体数据体系,也就是替代古人方法中使用算筹表示的具体数据,这将有利于启发学生产生“半其足”的行为。
另一方面,皮亚杰在《发生认识论原理》一文中指出:“随着在将近十一岁到十二岁时开始形成的形式运演的出现,达到了运演发展过程的第三个重要阶段。形式运演超越现实本身,把现实纳入可能性和必然性的范围之内,从而无须具体事物作为中介了。”[2]处于六年级学龄段的学生正从“具体运演阶段的水平”过渡到“形式运演阶段的水平”。教学设计及其课堂实施要考虑到学生思维升级的需要,更有针对性地促进学生的数学发展。
基于这两方面的考量,构成关于“鸡兔同笼”问题的教学设计。
师出示问题:今有鸡兔同笼,上有三十五(35)头,下有九十四(94)足,问鸡兔各几何?
(注:学生出现了各种各样的想法,包括教科书提供的“系统试验法”,对总头数的加倍法与总足数的“折半法”,这些想法都有价值。但是,教学设计所设置的目标在于,通过引入符号表示问题中的具体数据,从而构成数据体系,进而启发学生萌生“半其足”的数学计算指令。)
师:大家基本上是采用假设的途径,获得了解题思路,在这些思路中,对于总足数的“折半法”给人印象深刻。你们可以解释一下,是如何想到采用“折半法”的呢?
(注:学生的回答都说是这道题他们曾经听人说过,通过记忆使用了这种方法。)
师:同学们已经学习过设未知数、列简易方程解应用题。对于这个问题,也可以使用方程试一试吗?
生:设兔x只,则鸡(35-x)只。由题中的数量关系得到方程:4x+2(35-x)=94。
师:很好。大家仔细观察方程,你会怎么解这个方程呢?
生:第一步,将这个方程的两边同时除以2,得2x+(35-x)=47。
师:你能结合题目说一说这一步的实际意义吗?
生:就是将鸡和兔的总足数折半。(后述的课堂实施环节略)
(注:使用“折半法”解决“鸡兔同笼”问题时最为关键的一步就是“半其足”这种行为指令是如何产生的,数学史料中呈现的是数学家经由实验、试探、检验而形成的一种直接领悟。对处于六年级下学期的学生来说,使用列方程的符号表达式更利于“折半法”的产生。)
四、结语
在某个数学知识点的教学上,一个好设计的形成,需要数学教师做出许多方面的努力。其一,教材分析。在这个环节中,教师必须依据数学知识的具体特点,吸收方方面面的營养,例如,“鸡兔同笼”问题就需要吸收数学史史料的营养。其二,学情分析。在这个环节中,最重要的一点就是教师必须理解学生数学思维发展所达到的层次,据此充分利用学生思维上的“最近发展区”,从而通过教学设计及其课堂实施促进学生思维水平的提升。其三,教学法分析。教师要选择合适的教学方法,提升教学的有效性。[3]对此,一线数学教师必须思之再思,慎之又慎。
参考文献:
[1]钱理群.直面存在困境:读梁卫星教育随笔[J].名作欣赏,2010(7):79-81.
[2]皮亚杰. 发生认识论原理[M]. 王宪钿,译. 北京:商务印书馆,1981:51-52.
[3]张昆,曹一鸣.完善数学教师教学行为的实现途径[J]. 数学教育学报,2015,24(1):33-37.
(1.安徽省庐江县城北小学 231000
2.淮北师范大学数学科学学院 235000)