小学数学教师提升数学史素养的意义与路径

【摘   要】小学数学教师提升数学史素养是理解数学学科育人丰富内涵之本，也是提高课堂教学质量、发展学生数学素养的实践能力之源。教师的数学史素养在知识、史观、能力三个方面的内涵界定是教学实践的指南与教学评价的依据。以“竖式乘法”教学为例，阐述在数学史料学习、数学史融入教学的实践、数学史育人价值观念的形成等方面提升教师数学史素养的具体实施路径。为如何以数学史素养的提升作为教师专业发展的抓手提供参考与启发。

【关键词】数学史;数学史素养;育人价值;竖式乘法

近年来，HPM的理论与实践探索在我国开创了繁荣发展的局面，这源于教育界对于数学学科教育的评价观与育人观念的更新与共识，认可数学史在数学学科育人方面发挥的重要且多维度的价值;在改观数学课堂教学的同时，数学史对于教师数学素养的提升具有明显的促进作用，成为教师专业发展稳定有向的路径之一。教师数学史素养的提升逐渐进入教育者的研究视野以及一线教师或显或隐的需求中。教学实践中，教师需要的数学史“是什么，从哪里来，怎样用”，已成为令人关注的“灵魂三问”。笔者以数学史视野下的“竖式乘法”教学为例，通过实践来尝试回答上述问题，为教师发展自身数学史素养提供启发。

一、教师的数学史素养内涵

教师的数学史素养包含知识、史观、能力三个方面，具体指：数学史知识的储备与增长;辩证、联系、发展的数学史观;数学史的解读、提炼能力;数学史料的运用、加工、评价能力。教师的数学史素养基本维度与内涵如表1所示。

以上从三个维度界定了教师的数学史素养的内涵，这是对教学实践的指南与进行教学评价的依据。

二、提升教师数学史素养的实践

教师数学史素养内涵对教师的数学史知识储备与实践提出要求，相应地，提升教师数学史素养的实践路径包含三个基本环节：数学史（扩展到科学史）的学习、数学史融入教学的实践、数学史育人的价值思考与探索。学习实践的高效方式是通过研修共同体[1]，在交流分享中互鉴互学互促。

（一）数学史料的选择与解读

以“竖式乘法”为例，来谈谈选择什么样的数学史，怎样解读。现今，“竖式乘法”采用笔算形式，用纸笔为工具、依据位值原则、数的组成与分解、运算规律和性质，通过阿拉伯数字和符号书写进行演算[2]。教师在了解“竖式乘法”的历史前，需要确定文献的寻找范畴：五大文明古国（古巴比伦、埃及、希腊、中国、印度）与阿拉伯的数学经典著作（后面随文介绍）中与主题相关的数学史与数学教学的研究文献，从中考察乘法历史、乘法笔算历史、竖式乘法的发展。因为笔算与位值、数的组成分解、运算性质密切相关，所以我们需要关注的问题有：不同的文化中采用的数系系统是什么？依据各自的数系系统发展起来的乘法运算如何进行？采用什么工具、什么方式进行乘法运算？竖式乘法规则在目前各个国家是否统一？

对于古巴比伦、古埃及的乘法发展情况只能从数学通史类著作中寻找[3-5]，古埃及纸草书中记载了乘法的方法——倍乘法。两个数相乘，先将其中较大的数加倍，然后根据较小数组合不同的倍数和，得到结果。比如[32×13=416]的计算过程如图1所示。这种算法在几千年笔算乘法的历史中体现出旺盛生命力。但如果乘数很大时，分解乘数为倍数和的技巧就要高，且计算步骤烦琐。

中国自汉代起已经熟练使用算筹计算，一直沿用至宋元时期算盘出现。在摆放算筹时有横纵两种形式，个位从纵式开始，随位数增加纵横交错摆放，以区分数位。算筹乘法从高位算起，两个乘数分别放在上位和下位，乘积放中位，0用空位表示。比如[32×13=416]的筹算过程如图2所示。高位算起，遇有进位，增添算筹便捷。

印度的乘法是在一块覆盖沙子或面粉的板子或者小黑板上进行演算，被冠以不同名称：格栅（gelosia）算法、格子乘法、四边形乘法等。格栅算法究竟起源何时何地还未知，学者推测印度是可能的起源地，并传到中国和阿拉伯。传至中国时被称为“铺地锦”。两个乘数分别置于格子上方和右侧（也可以是上方和左侧，但内部斜格方向与乘數书写顺序不同），各部分乘积各占一个方格单元，斜排的数字相加，结果从格子的底部和左侧读出。仍以[32×13=416]为例，格栅算法如图3所示。

中世纪时期（529—1436）的数学出现交流传播融合的局面，随着中国 “丝绸之路”与中亚乃至欧洲的学者们进行了活跃的知识交流，中国古代辉煌的数学知识传至印度获得发展后，在中世纪传至欧洲。在12世纪，最重要也最有原创性的欧洲数学家集中于意大利，意大利地区是通向欧洲的丝绸之路的终点，是东西文化的熔炉，代表人物是斐波那契（约1180—1250），他于1202年完成了一部数学史上的经典著作《算盘书》（Liber abaci，也称《计算之书》《算经》），印度-阿拉伯数字在此书中被大力提倡。他的这部著作可以说是中国、印度、希腊、阿拉伯数学的合金[6]。紧随中世纪之后的文艺复兴初期，意大利的帕乔利（1445—1514）在1487年出版的《算术、几何、比及比例概要》成为最有名的数学材料编撰著作，内容涉及算术、代数、欧氏几何、复式簿记。这两部经典著作中的乘法计算方法，都可以看到数学文化交流融合发展的痕迹。如果要了解初等数学在中世纪及文艺复兴时期的发展情况，这两部文献是重要的学习资料。《计算之书》中的乘法计算既有纸笔算，也有手指算，同时有2～9的乘法表，仍以[32×13=416]为例，“对角线法”计算过程见图4，进位用手指辅助记忆;同时，也有格栅算法（同图3，此处略）;帕乔利的著作《算术、几何、比及比例概要》中提出了八种笔算乘法的方法，其中六种方法沿袭发展了斐波那契的方法，另外两种方法有了竖式形式，但是从乘数的高位算起，“分解乘数法”如图5所示。

乘法结果的检验方法“弃九法”（也称“舍九法”），在印度、意大利的著作中均有出现。

从历史中看出不同文明中的乘法算法与算理的异同之处，以[32×13=416]为例说明其中的原理，如表2所示。

表2显示，所有算法体现了两个共同特点：第一，依据乘法分配律;第二，乘数的加法分解（除埃及的乘数按2倍分解为加数外，其余均依十进制分解）。从乘法计算的发展过程中可以看出，计算的困难在于随着乘数位数增多，进位变多容易出错，只有格栅算法保留了计算过程帮助检验步骤，但格子本身画起来十分烦琐，且每一个乘数均要分解，效率不高。在最大程度压缩步骤和尽可能保留过程的需求中平衡，最终形成现代样式的竖式乘法，即便是现代竖式也有细节上的差别。中国筹算改变乘数与积的位置，保留过程中随乘随减相消的数，筹算形式直接转化为阿拉伯数字笔算形式，遇有进位可做标注等，这些变化经历了漫长的时间，而这个过程是人类数学文化的共同创造、交流、借鉴与发展。即便是现代形式的竖式，计算中进位也是易错之处，但斐波那契明确教导我们：“计算要用心用脑！”

历史启发我们，自古以来，计算就是一种人类的活动。中国的位值制的书写方法是计算的基础，再辅以印度-阿拉伯书写数字系统更加方便计算并记录结果。今天学校里学习用纸笔进行加减乘除计算，是人类计算发展到成熟阶段的结果，学生可能出现的各种计算错误与数学每一步的发展是密切相关的，比如位值思想不清晰、十进制转化不灵活、数的分解与组合策略不熟练等，可以说，这些错误根源是不同文明中数学弊端的体现，如果我们了解漫长曲折的计算发展历史，对学生出现的“错误”不会过分苛责，辅以“用心用脑”的训练提高计算力和理解力，以及对于书写不规范的“错误”无错可言，给予一定的时间经过自己的体会“慢慢”规范;另一方面，历史上不同乘法计算能在各自民族中通用很久也有其适用的道理，表2呈现的不同算法，可以用作特殊乘法的巧算原理，比如“对角线法”用来解决[37×37]这类两位乘数相同的乘法，比竖式乘法更为便捷，因此可以通过解读并比较历史算法的适用性来帮助学生理解传统算法蕴含的智慧并启发灵活应用。现今我们笔算的“竖式乘法”带有中国古代数学算法程序化特点的传承，计算工具、计算表、计算法则使得计算变得更加便利。当归结为竖式计算时，最终运算归为20以内加减法，所有乘法归结为表内乘法，重要依据是乘法对加法的分配律——此为“竖式乘法”的数学之“源”;位值制为“竖式乘法”的数学之“本”;而将乘数分解为加数之和的策略多样，若乘数特征突出，选择数的分解策略（数的组成与分解）巧算速算，若乘数并不突出，乘数按位值分解（十进制数的构成方式），前者可以是历史上曾经出现的多样算法，后者是经过发展沉淀为现今竖式乘法的一般形式，更为通用，竖式的重要意义在于算法的程序化、机械化，数学始终在寻找解决问题的一般化、最优化——此为数学发展之“流”。

对教学的数学史进行解读，既要从显性的史料中寻找“人类曾经有什么样的数学”，思考现在所学的数学何以成为这样，又要挖掘不同文化中数学事件蕴含的隐性脉络，思考“人类发展的数学本质是什么，数学演进的规律”，关注历史中的“人”“事件”，遇到的障碍、做出的创新、对数学的情感及观点等，纳入育人的素材库。

（二） 数学史融入课堂教学的实践

课堂教学的设计扎根于对历史的深入解读，正如上文中梳理出丰富的历史启发，教师则需要根据历史，结合数学学科逻辑序、学生认知序进行取舍[7]，精心设计来凸显数学本质与人文性。通过关键性问题设计教学思路，增加数学阅读与审辨性思维和人文情感发展。教学中以“竖式乘法的历史之旅”开展教学，探究代表性文明中的乘法理解与算理探究，通过方法比较，根据笔算“尽可能保留步骤又达到最简洁”原则来“创造”竖式形式。为将上文中获得的育人启发发挥于教学中，教师需要让学生思考以下问题：

（1） 如何理解代表性的古代文明中乘法计算的算理？

（2） 乘法计算从古至今发展到现在竖式形式的过程中，需要哪些数学准备？现在使用竖式乘法是否还有可能再压缩、简练步骤？

（3）课中介绍的古代乘法计算方法现今是否完全弃之不用？除了课中介绍的方法，你还知道乘法计算的其他方法吗？

（4）中国的筹算乘法与现代竖式乘法相比，有何不同与相同之处？算法有什么特点？

（5）五个文明古国出现数学著作的年代都发生了什么重要事件，对数学发展有何影响？有哪些代表性的数学人物？

当然，教师可根据对每一主题的历史的深入解读，设计更能激发学生兴趣、强化拓展数学阅读、问题解决能力及创新应用的问题。

（三）数学史育人的价值思考与探索

教育界学者与教育实践者始终致力于对新时代背景下数学课程承载育人目标与内涵的探索，汪晓勤教授指出，数学史发挥的教育价值体现在知识之谐、方法之美、探究之乐、能力之助、文化之魅、德育之效六个维度[8]。上文的历史解读可借鉴此六个维度归类分析，发挥数学史的教育价值。诚然，这些价值并非在一节课中全面覆盖，要根据教学目标进行合理取舍。此外，数学史发挥的育人价值在新时代“立德树人”根本要求下，一線教师仍需在数学史的学习及融入教学的实践中不断体会、发掘数学史能够发挥的育人价值维度与内涵。

三、提升教师数学史素养的意义

实践后再重新审视教师提升数学史素养的意义，更加深刻地体会到数学史的学习与实践，对于提升教师数学观、教育观及学生观发挥重要的作用和意义。

首先，教师通过数学史学习，提高自身对数学的洞察力和对数学的了解，增长面向教学的数学知识。从数学之源中体会数学学科的特征：数学的抽象形式，追求高度精确可靠知识、对宇宙和人类社会探索中最大限度追求一般性模式或一般性算法的倾向以及数学在创造性活动中对美的追求。

其次，教师通过应用数学史，改善数学教学观念与行为。从数学历史发展的关键片段中了解数学方法之间的关联与本质、数学与多学科的联系，将学生带到历史经典事件中，通过自己的思考与实践，建构数学意义，创生数学知识，实现学生的“再创造”。

再次，教师通过数学史的学习—实践—反思，更新数学学科的育人观。学生通过数学学科的学习究竟获得什么？在逻辑思维和理性精神之外，还有对人类数学文化的包容理解与尊重以及对数学学科的人文情感等。

值得说明的是，一线小学数学教师常常更期待能有直接融入教学的史料，或有将史料融入教学的“屠龙之技”，但是，数学史融入课堂教学发挥育人价值，需要建立在教师自身对数学史知识有丰富的储备与理解的基础上。将学术形态的数学史转变为教育形态的数学史，研究者始终在路上，只有进行时没有终结时，对数学教育本质的理解将从数学发展的历史中获得启迪。

参考文献：

[1]岳增成，沈中宇，王鑫，等.影响小学数学教师HPM实践的叙事研究[J].数学教育学报，2020，29（6）：74-79.

[2]蔡宏圣.数学史走进小学数学课堂：案例与剖析[M].北京：教育科学出版社，2016.

[3]李文林.数学史概论：第3版[M].北京：高等教育出版社，2011.

[4] KATZ V J.数学史通论：第2版[M].李文林，邹建成，胥鸣伟，等译.北京：高等教育出版社，2004.

[5]博耶.数学史[M].秦传安，译.北京：中央编译出版社，2012.

[6]斐波那契.计算之书[M].纪志刚，等译.北京：科学出版社，2008.

[7]潘丽云.数学史视野下小学教师数学素养提升的实践研究[J].课程·教材·教法，2020，40（6）：96-101.

[8]汪晓勤.HPM视角下的小学数学教学[J].小学数学教师，2017（7/8）：77-83.

（北京教育学院初等教育学院   100120）