2-UPS/RPR并联机构运动学分析

周毅钧,陈建鹏,李特奇

(安徽理工大学 机械工程学院，安徽 淮南 232001)

2R1T少自由度并联机构由运动副与各个构件组成，其结构较为简单，因此具有载荷比高、误差小、精度高、动力充足等优点，且相对传统串联机构更有效，结构更紧凑，适用于工业生产、产品分拣等领域。针对2R1T少自由度机构,赵传森等提出了一种2-RPU/RPS并联机构,并求出其工作空间与奇异位形；李清等提出了一种SPR+UPS+UPR非对称并联机构，并利用三维动态法求解其工作空间；杨路等提出了一种2-UPS/RRP机构，并分析其运动学性能；王新宇等提出了一种2-PSR/UPU并联机构，并进行实例分析；张志良等提出一种3-PSP空间并联机构，并利用位置正逆解求其空间位置。研究提出的2-UPS/RPR并联机构可以用于贴码的喷涂。传统贴码喷涂由于其结构的限制，只适用于喷涂固定表面以及位置不变的产品，而本机构具有两转动一平移3个自由度，可适用于曲面等非平面产品的光滑喷涂。

1 机构的结构分析

1.1 机构描述

2-UPS/RPR并联机构由定平台、动平台、虎克副、移动副、球副、转动副组成，定平台与动平台之间通过两条UPS支链和一条RPR支链连接。UPS支链自下而上依次为虎克副(U)、移动副(P)、球副(S)。以第一条支链为例，虎克副(U)与定平台之间成一定的夹角，定平台与虎克副(U)相连，虎克副(U)上方连接一个方向向上的移动副(P)，移动副(P)上连接一个球副(S)，球副(S)与动平台相连。定平台是底边边长为2a,顶角为90°的等腰直角三角形。动平台是底边边长为2b的等腰直角三角形(b并联机构的模型图如图1所示。由图1可知，并联机构共有3条支链，其中底边两条支链为相同的UPS支链，顶边为RPR支链，RPR支链中两个R副空间位置相互垂直。为了方便分析该机构的正反解，规定定平台左端顶点为

A

，逆时针分布得到

A

、

A

；动平台左端顶点为

B

，逆时针分布得到

B

、

B

。其中，

A

、

A

、

A

分别为

U

、

U

、

R

的质心点；

B

、

B

、

B

分别为

S

、

S

、

R

的质心点。以定平台底边中心为定坐标系原点建立坐标系

o

-

xyz

，

x

轴与定平台底边重合，

x

轴方向指向第二条支链底端

U

的质心处，

z

轴方向与定平台方向垂直，

y

轴方向由右手螺旋定则确定；以动平台底边中心为动坐标系原点建立坐标系

o

-

x

y

z

,

x

轴与动平台底边重合，方向指向第二条支链顶端

S

的质心处，

z

轴方向与动平台方向垂直，

y

轴与动平台高重合，方向指向动平台顶点，

x

轴根据右手螺旋定则确定。2-UPS/RPR机构简图如图2所示。

图1 2-UPS/RPR机构模型图2 2-UPS/RPR机构简图

1.2 自由度运算

给定螺旋

$

=(

L

,

M

,

N

;

P

,

Q

,

R

)与螺旋

$

=(

L

,

M

,

N

;

P

,

Q

,

R

),则两螺旋的互易积表示为：

$

○

$

=

L

P

+

M

Q

+

N

R

+

L

P

+

M

Q

+

N

R

,

(1)

若两螺旋的互易积为0，则两螺旋互为反螺旋。在并联机构中，各分支运动螺旋数目与其对应的约束螺旋数目之和为6。对于2-UPS/RPR并联机构，先求得3条支链的运动螺旋系，然后根据互易积理论可得到与其对应的约束螺旋系，接着将3条支链的约束螺旋系合并后得到动平台的约束螺旋系，最后对其求反螺旋系，从而得到动平台的运动螺旋系。

第一条UPS支链共有6个运动螺旋，组成的运动螺旋系可表示为：

(2)

式中，

l

、

m

、

n

中的

ij

表示第

i

条支链的第

j

个运动副;

l

表示该运动副位置矢量的方向余弦;

X

1、

Y

1、

Z

1为

$

的位置矢量。从式(2)中还可看出，UPS支链的6个运动螺旋线性无关，因此该运动螺旋系不存在与之对应的约束螺旋系，即该支链对动平台无约束力与约束力偶。第二条支链的构型与第一条支链构型相同，且相对于机构几何中心点呈对称分布，因此第二条支链也无约束螺旋系。

第三条RPR支链在定坐标系中的运动螺旋为：

(3)

根据互易积公式，RPR支链的约束螺旋系有3个约束螺旋：

(4)

根据3条支链的约束螺旋系得到动平台的运动螺旋系为：

(5)

如果机构中运动螺旋数目超过6，则超出部分为并联冗余约束，所以过去常用的Grübler-Kutzbach(以下简称G-K)公式无法对所有机构求得正确的结果，因此对G-K公式加以修正,修正后G-K公式如式(6)所示。

(6)

式中,

dof

为机构自由度；

m

为刚体自由度;

N

为构件数量(定平台也看作为一个构件)；

J

为关节的数目；

f

为第

i

个关节的自由度数;

ζ

为机构中全部过约束的总数;

υ

表示并联冗余约束;本机构属于单环机构，因此无并联冗余。对于2-UPS/RPR并联机构，

m

与

λ

之和为6，公共约束

λ

=0，即

m

=6-

λ

=6，构件数量

N

=11，关节数目

J

=12。其中转动副的自由度为1，移动副的自由度为1。虎克副的自由度为2，冗余自由度

υ

=0，过约束自由度

ζ

=0。将其代入修正的G-K公式可得：

dof

=6×(11-12-1)+(6×2+3)+0-0=3，

由G-K公式计算得出2-UPS/RPR并联机构的自由度为3，与螺旋理论计算出的结果一致。

2 机构的运动分析

2.1 位置反解

在动平台位姿确定后求其他构件运动状态为位置反解。将动平台中心点的位置设为

P

，因机构只能绕

x

、

y

轴转动，沿

z

轴移动，所以3个姿态角中绕

z

轴转动的角度

γ

为0，设绕

x

轴转动的角度为

α

，绕

y

轴转动的角度为

β

，根据以上参数可求得支链上的3个驱动副的位移距离。

(7)

将动坐标系原点

O

表示为定坐标系中的坐标矢量

P

：

P

=(

x

,

y

,

z

),

(8)

(9)

式中,

s

表示

sin

；

c

表示

cos

。动平台在固定坐标系中的坐标矢量为

OB

，将

OA

与

OB

的矢量差长度设为

l

，可得：

(10)

l

=|

OB

-

OA

|,

(11)

代入计算得：

(12)

2.2 位置正解

位置正解即根据驱动值求解动平台中心点位置参数，该方法是位置反解的一种逆运用。本例为一般构型，采用方法为数值分析法，将位置反解方程式整理得到动平台坐标系原点位置的求解方程：

(13)

该方程为多元非齐次线性方程，常规求根公式无法求得该方程的解析解，但该方程在单根附近平方收敛，因此采用牛顿-拉夫逊迭代法对函数进行更新迭代，从而求得近似解，牛顿迭代公式如下：

(14)

已知3个移动副伸缩量

l

、

l

、

l

，初始向量

T

，经过不断更新迭代后得到最终向量

T

，同时计算得到3条支链移动副移动的距离，该方法可求得动平台最终的位姿变化。

3 速度雅可比矩阵分析

选取并联机构3条支链的移动副作为驱动向动平台输入速度，输出速度由雅可比矩阵来映射到动平台上。将位置逆解分别对

α

、

β

、

z

求一阶导数，求得的参数代入雅可比矩阵中，雅可比矩阵

J

为：

(15)

其中,

(16)

对位置逆解方程两侧同时求导并加以整理得到：

(17)

4 运动学仿真

为了分析2-UPS/RPR机构在输入3个驱动函数下动平台变化的规律，在3条支链上的3个移动副设置驱动函数进行驱动，驱动函数如下：

(18)

设定仿真时间为30 s,步数为500，机构开始运动后得到动平台运动仿真曲线云图。位移、角速度、速度、加速度变化曲线图分别如图3、图4、图5、图6所示。由图3、图4可知，Adams仿真云图呈周期性变化，周期为12.5 s，动平台在

x

轴方向位移变化较小，角速度变化较大；在

y

轴方向位移变化较大，角速度变化较小。由图5、图6可知，动平台在

z

轴方向速度与加速度变化高于

x

轴、

y

轴。因为

z

轴为移动，另外两轴为转动，而移动副行程较长，从位置反解中也能体现出角度变化率比杆长变化率小。总体来看，动平台参数变化曲线光滑连续，中间无断点与突变，表明机构能平稳运行。综上，2-UPS/RPR并联机构的运动性能良好。

图3 位移变化曲线图

图4 角速度变化曲线图

图5 速度变化曲线图

图6 加速度变化曲线图

5 结论

基于螺旋理论求得2-UPS/RPR并联机构存在绕

x

轴、

y

轴转动与沿

z

轴移动自由度，表明该机构可调节不同角度对不规则曲面产品进行喷涂。运用封闭矢量法与坐标转换法求得并联机构反解方程与正解方程，对其运用微分法求得雅可比矩阵，从而得到其运动学特性。利用Adams动态仿真得出机构的运动变化曲线图，从曲线良好的运动学性能可看出该机构在进行喷涂工作时平稳流畅，具有一定的实用价值。