在实践中逐步建构数学概念——以《分数的意义》教学为例

文 陆新强

《分数的意义》是在学生学完了整数和小数的基础上进行的学习，也是分数的再认识。本堂课的学习是对分数的深入学习和探究，教学目标为认识单位“1”、概括出分数的意义、较完整地建立分数的概念，是由感性认识到理性认识的飞跃。我也曾在《分数的意义》公开课中充分体现新课程的教学理念，让学生在动手操作、交流合作的过程中经历分数知识的形成过程。从课堂的效果看很不错，但是教学中发现学生容易对一些用分数表示的物体出错，特别是容易混淆数量与分的份数。部分学生对单位“1”的理解还不够，引导学生理解单位“1”是一个概念教学的过程，亦是由具体到抽象和概括的过程。本堂课从“一个圆的到多个圆的”进行研究，逐步拓展单位“1”的外延和内涵，试图通过画图操作、比较想象引导学生认识“谁”的。下面谈谈自己在教学中如何引导学生在操作中经历概念的形成过程，发展学生的数学抽象思维能力。

一、初次操作，感悟分数意义，感知一个整体

五年级的学生已经能从对图形的直观感知中理解平均分，会简单地用分数进行表示并能正确地读写分数。但让学生自己去寻找材料，用不同的物体表述已知的分数时，部分学生还存在困难，特别是有些学生还不清楚用线段、绳子、折纸等方法也可以表示分数；教学中还发现部分学生在操作过程中没有把图形平均分用分数来表示。由此看出，学生对分数的理解仍停留在表面，离真正建立分数的概念还有距离。教育心理学认为，学生获得一个数学概念要从动作表征开始，通过动作表征积累丰富的感性认识，为概念的抽象积累思维材料。课的开始我从学生熟悉的引入，唤起学生已有的认识，提供丰富的、典型的、直观的情境材料，引导学生在操作中建模的形成过程。

【教学片断一】

师：怎么分？

生：平均分。

师：请同学们用不同的材料，通过折一折、画一画等方法来表示一下，比一比谁的方法多。

师：谁来汇报一下你是怎么想的？

……

师：通过动手操作，你发现了什么？

在这个过程中，学生通过直观的实物，通过动手、动脑、动口，发现把一个物体平均分可以用分数来表示，在学生的展示和交流中，通过大量实物的呈现，使学生初步感知不同的物体都可以平均分成4 份，每一份就是它的。在这个过程中学生真真切切地感悟到的形成过程，同样是，却是不同物体的，让学生初步感知每一个物体都可以看作一个整体，逐渐理解分数的含义，在头脑中初步构建分数的概念模型，为后面研究“单位1”、真正建立分数的意义埋下伏笔。

二、再次操作，建立分数意义，感悟“单位1”

概念教学要帮助学生深入领会概念的内涵和外延，从而全面理解与把握概念。数学概念的抽象性决定了学生要想获得正确的概念必然要经历一个主动、复杂的思维过程，不是教师在教学中简单地“灌”或“塞”给学生，而是让学生经历知识的探索过程。为了让学生经历完整的概念形成过程，我在创造分数和不断反思的过程中逐渐生成对分数意义的教学，让学生在不断地操作过程中体验数学，丰富学生对分数意义的理解。学生把对单个物体看作一个整体已有一定的认识，但对把多个物体看作一个整体还比较抽象或模棱两可，这是本堂课的重点和难点。我为学生准备了《学习单》，要求动手操作表示4 个圆、8 个圆、12 个圆、40 个圆、x 个圆的，在操作交流中体验、经历分数意义的形成过程。

【教学片断二】

（学生操作，讨论交流，课堂气氛活跃，教师巡视，收集学生的作品进行展示）

师：在这里我们可以把4 个圆看作一个整体，平均分成4 份，每份是它的

师：谁会这样说？

生：把12 个圆看作一个整体，平均分成4 份，每份是它的

生：把40 个圆看作一个整体，平均分成4 份，每份是它的

师：同学们说得真好，把你的想法说给你的同桌听一听。

师：你发现了什么？

师：在这里我们可以把4 个圆、8 个圆、12 个圆、许多圆都可以看作一个整体，这个整体在数学上叫做单位“1”。

师：同学们在生活中还可以把什么看作单位“1”？

生：把一盒粉笔看作单位“1”。

生：把一条公路看作单位“1”。

生：把我们班级的人数看作单位“1”。

师：我们可以把生活中的许多物体都看作单位“1”，把单位“1”平均分成若干份表示这样的一份或几份都可以用分数来表示。

通过让学生动手分一分、动笔画一画、动脑想一想、动口说一说，进行实际操作，刺激学生多种感官的协同参与，从大量的具体实例出发，以学生的感性经验为基础，形成表象，初步建立分数的意义，会用语言来简单地表述分数的意义。再通过举例生活中的单位“1”，让学生直观感受一盒粉笔、一条公路、全班同学等都可以看作一个整体，感悟抽象的单位“1”，弥补抽象思维水平低的缺陷，有助于形成正确的概念。

三、深入操作，巩固分数意义，融会贯通

分数与以前学过的数有所不同，以前学过的数都是绝对的，比如4 个圆、12 个棋子等，但分数是相对的，是通过部分数与整体的比较产生的，具有“量”与“率”的双重属性。例如：把12 个苹果平均分成2 份，每份是这些苹果的；如果平均分成4 份，每份是这些苹果的。第一个问题学生往往填，第二个问题往往填，造成错误的原因是什么呢？错误的本质是学生未真正理解分数的意义，对分数“量”与“率”的双重属性不能正确表述。学生没有真正理解把12 个苹果看作单位“1”，每份是这些苹果的几分之几与分的份数有关，与苹果的数量没有关系。《数学课程标准（2011年版）》指出：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上，帮助学生在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。为了更好地巩固分数的意义，我又设计了一个让学生动手操作的机会，通过画一画、分一分创造自己喜欢的分数，并能在教师的引导下更好地理解分数的意义。

【教学片断三】

师：把《任务单》上的苹果分一分、画一画，创造出自己喜欢的分数，你是怎样想的？

（教师巡视，学生操作）

师：谁来说一说你是怎么想的？

生：我把12 个苹果看作单位“1”，平均分成2 份，其中的一份就是这些苹果的

生：我把12 个苹果看作单位“1”，平均分成3 份，其中的一份就是这些苹果的

师：你还有不一样的分数吗？

生：我把12 个苹果看作单位“1”，平均分成3 份，其中的两份就是这些苹果的

生：我把12 个苹果看作单位“1”，平均分成6 份，其中的五份就是这些苹果的

生：我把12 个苹果看作单位“1”，平均分成4 份，其中的三份就是这些苹果的

师：如果把12 个苹果改成一些苹果，又可以怎么表示呢？

生：我把一些苹果看作单位“1”，平均分成6 份，其中的两份就是这些苹果的

生：我把一些苹果看作单位“1”，平均分成12 份，其中的十份就是这些苹果的

师：你发现了什么？

在这个分数活动的过程中，学生通过动手分一分，认识到把12 个苹果通过不同的平均分可以表示不同的分数，不仅可以表示几分之一，还可以表示几分之几。同样把12 个苹果变为一些苹果，又是一次质的飞跃，通过平均分使学生真真切切理解分数的意义，沟通了具体与抽象、部分与整体、份数与分数之间的关系，凸显了分数的本质特性。在相互交流的过程中，学生结合自己的亲身体验，概括出分数的意义，在数学活动中感受到了数学与现实生活的密切联系，切实提高了自主探究的学习能力。

总之，《分数的意义》这节课，教师利用数与形之间的对应转化，搭建抽象思维和形象思维之间的桥梁，通过三次有效的操作，把概念教学由抽象变直观、由难变易，让学生在自主探究交流的过程中经历了数学知识的形成过程，对学生来说受益终生。