数学核心素养视角下概念课的思考

谢风连

摘 要：高中数学概念课是高中数学教学的重要组成部分。通过对《独立重复试验与二项分布（第1课时）》概念课的设计和实施，笔者认为要在数学概念课中提升学生数学核心素养，应该要“吃透”教材，充分研究教材、活用教材，在此基础上精心设计课堂问题，重视教学评价，并关注学生在不同阶段的发展。

关键词：核心素养;数学概念;概念教学

一、数学核心素养视角下，“吃透”教材是概念教学的基本点

教材是数学学习的重要教学资源。在教学中要充分研究教材、做到活用教材，让学生感悟数学概念形成与运用的过程。

笔者在本节课中活用教材的引入，设计投硬币游戏：同桌甲、乙两人抛硬币，甲连续抛5次硬币，乙猜正面朝上或反面朝上，若乙猜对至少3次则乙胜，否则甲胜。让学生尝试从概率的角度判断该游戏规则是否公平，每次乙猜對的概率是多少，每次猜测的结果是否相互独立。让学生亲身体验“相互独立”含义，让学生感受到学习数学的乐趣。

通过简略介绍伯努利试验的由来，让学生了解数学发展史，感受概念是从实践中来，又应用于生活实践。通过整合课本的例题与课后习题，引导学生探索超几何分布与二项分布的区别与联系，引导学生辨析、深入理解不同的概率模型，提升逻辑推理、数学建模、数学运算、数据分析等核心素养。

二、数学核心素养视角下，课堂问题的设计是落实概念教学的关键点

合适的问题对创设情境、理解概念、形成定理、实际应用都是十分重要的。问题能驱动情境开展，能引导学生思考，能保证课堂效率，引领探究与发现。

（一）设计问题指向明确

设计问题1：这些试验有什么共同的特点？（1）投一枚质地均匀的硬币，共投了15次。（2）某人射击一次，击中目标的概率是0.8，共射击10次。（3）盒子装有大小相同的3个红球和2个黑球，从中有放回地依次抽取4个球。

针对问题1，笔者设计了四个追问：（1）上面各个试验的条件如何？（2）每次试验的关系如何？（3）每次试验有哪些可能的结果？（4）若事件A发生的概率为p，每次试验的概率如何？

创设简单的生活实例，以问题串的形式提示学生归纳试验的共同特点，抽象形成独立重复试验的数学概念，在归纳过程中提升学生的数学抽象和数学建模素养。

（二）设计问题注重梯度

由于教材的思考题难度比较大，学生理解有所困难，笔者将教材的问题分解成由浅入深的小问题，降低思考难度，顺应了学生的认知特征。

设计思考1：投掷一枚图钉，针尖向上的概率为p，则针尖向下的概率为q=1-p，连续掷3次，求恰有1次针尖向上的概率。

针对思考1，笔者设计了三个追问：（1）连掷3次图钉，恰有1次针尖向上共有几种情况？（2）这几种情况存在什么关系？它们的概率分别是多少？（3）投掷3次，恰有1次针尖向上的概率是多少？

设计思考2：投掷一枚图钉，针尖向上的概率为p，则针尖向下的概率为q=1-p，连续掷3次，出现k（k=0，1，2，3）次针尖向上的概率是多少？设计思考3：投掷一枚图钉，针尖向上的概率为p，则针尖向下的概率为q=1-p，连续掷n次，恰有k（k=0，1，2，3）次针尖向上的概率是多少？思考2是思考1的推广，思考3是思考2的推广。设计有梯度的问题，符合学生的认知规律，落实数学建模、逻辑推理素养的提升。

（三）设计问题注重关联性

在实际问题背景并不明显地反映模型的特征时，学生在选择正确的概率模型中存在困惑，易产生畏惧心理。教学中，教师要重视概率模型的区分。

设计题组一：

1. 设诸葛亮解出题目的概率是0.9，三个臭皮匠各自独立解出的概率都是0.6，皮匠中至少一人解出题目即胜出比赛，诸葛亮和臭皮匠团队哪个胜出的可能性大？

2. 在某批含有4件次品的10件产品中，（1）有放回地依次抽取3件，计算恰好抽出2件次品的概率;（2）无放回地依次抽取3件，计算恰好抽出2件次品的概率。

3.（拓展延伸题）某批n件产品的次品率为2%，现从中任意地依次抽出3件进行检验，问：（1）当n=500，5000，50000时，分别以放回和不放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率各是多少？（2）根据（1），你对超几何分布与二项分布的关系有何认识？

先通过第1题加深学生对二项分布概率公式的理解，掌握解题的一般步骤，巩固基础知识。再通过第2题让学生探究二项分布模型与超几何分布模型的区别：在产品总数比较小时，有放回依次抽取是二项分布模型，无放回依次抽取是超几何分布模型。以第2题为铺垫，结合学生的认知水平设计第3题，引导学生深度思考二项分布模型与超几何分布模型的联系：在产品的总数很大时，无放回可近似看成有放回，超几何分布可近似看成二项分布。通过这两题的对比，循序渐进地引导学生理解超几何分布与二项分布的区别与联系，让学生加深对新概念的理解，促进数学建模、逻辑推理核心素养的提升。

另外，笔者整合课本的例4、课后练习3和习题B组1设计了题组二：

1. 某射手每次射击击中目标的概率为[13]，求这名射手在5次射击中，（1）恰有3次击中目标的概率;（2）至少有3次击中目标的概率;（3）前2次未击中目标，后3次击中目标的概率;（4）第5次射击完成时，恰好3次击中目标的概率。

2. 甲、乙两名选手参加羽毛球比赛，每局比赛甲胜的概率为0.6，不出现平局，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛），甲打完4局才胜的概率为（  ）。

A. C32×0.63×0.4   B. C32×0.62×0.4

C. C43×0.63×0.4   D. C42×0.62×0.42

3.（拓展延伸）甲乙两名选手参加羽毛球比赛，每局比赛甲胜的概率为0.6，不出现平局，规定5局3胜制。（1）求甲获胜的概率;（2）若比赛还可以规定3局2胜制，试比较3局2胜制和5局3胜制，哪个对甲更有利？你对局制长短的设置有何认识？

第1题让学生在相同的背景下，分析不同的概率模型，不仅能培养学生对概率模型的识别能力，还能通过概念来挖掘概率模型的深度，有利于掌握不同的概念之间的关联。第2题为第3题做好铺垫，让学生在综合性的、情境化的数学活动中协同运用数学核心素养，灵活地解决问题，逐步学会用数学思维解决实际应用问题，同时提升数学建模、逻辑推理、数学运算等核心素养。

三、数学核心素养视角下，教学评价是反馈概念教学的落脚点

数学课堂教学，应把数学学科核心素养的教学与评价作为显性的主线来指导和贯穿数学教学过程。通过教学评价，诊断、改进学生的学习行为，进而改进教师的教学行为，促进学生数学核心素养的达成。

本节课中笔者主要采用：教师发起——学生回应——教师评价的模式。通过课堂提问、课堂观察、课堂练习及课后作业的方式，及时了解学生的进展与学习目标之间的差距，诊断学生的问题及需要加强的地方，调整和改进自己的教学。在探究二项分布的概率公式时，通过课堂提问，让学生展示想法，即时诊断部分学生对二项分布的概念理解存在困难，笔者及时将思考题分解成由浅入深的小问题，帮助学生循序渐进地思考与理解，最终达成教学目标。通过题组的练习，展示个别学生的解法，了解学生对二项分布模型的解题思路及方法的掌握情况，及时改进学生的学习方法与思维习惯。同时关注学生有没有积极参与到教学活动中，以及学生是否“听懂了”。另外，利用课后作业巩固基础知识及解决部分学生在课堂中仍存在的问题，为调整和改进第二课的教学做准备。通过教学评价，笔者诊断学生可以基本掌握新知与技能，落实数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算等核心素养的提升。

四、数学核心素养视角下，关注学生的发展是概念教学的根本点

学生的知识掌握、数学理解、学习自信、独立思考等是随着学习过程而变化和发展的，只有通过观察学生的学习行为和思维过程，才能发现学生思维活动的特征及教学中的问题，及时调整教学的行为，改进学生的学习方法和思维习惯。

在本节课的教学中，在游戏情境、实例探究和課堂小结等环节，教师创设学生自由思考和交流、自我发现和自我发展的数学活动，关注和照顾学生兴趣和能力的差异，尊重课堂的生成，加强师生之间和生生之间的交流，这极大地帮助了学生理解概念的形成和本质，对提升学生的数学核心素养也极有意义。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]章建跃，程海奎.高中必修课程中概率的教材设计和教学思考——兼谈“数学核心素养如何落地”[J].课程·教材·教法，2017（05）.