高中数学建模教学中的评价策略——基于职前教师的测评实例分析

黄 健

（华东师范大学教师教育学院 上海 200062）

随着时代的发展与科技的进步，数学正在以空前的广度与深度向不同领域渗透，数学建模也成为各领域研究与实践必不可少的工具。如今，数学建模教学受到了越来越多的关注与重视，各国数学课程标准纷纷将其列为关键的培养目标，由经济合作与发展组织（OECD）开展的国际学生评估项目（PISA）也一直把数学建模作为数学素养测评框架中的关键能力。我国数学课程标准同样与时俱进，《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》把数学建模列为六大数学核心素养之一，并且首次将其归为必修课程，可见高中数学建模教学势在必行。

然而，许多实证研究与实践经验都表明，数学建模很难进行教学评价。Frejd[1]分析了瑞典国家课程考试（Swedish National Course Tests）中的测试项目，并得出结论：已有的数学建模测评在不同方面（环节）存在不平衡现象，如较关注能否使用已有数学模型进行计算并得到结果，而对模型建立的前提与模型的检验却有所遗漏或轻视。根据Blomhøj与Kjeldsen的观点[2]，“我们将数学建模定义为一种具体能力的教学理念”正是希望突出数学建模的整体性，即应该完整地看待数学建模过程，而非聚焦在其中的某个环节上。因此，若将数学建模能力的评价等同于求解应用题能力的评价，数学建模教学便失去了其原有的教学理念。那么，数学建模教学的评价要如何开展呢？如何更好地评价高中生的数学建模素养呢？本研究将在总结已有数学建模评价策略的基础上，提出一种完整数学建模素养的评价模式，并结合案例进行分析。

一、 数学建模能力与测评

要对数学建模进行测评，首先要回答数学建模是什么、可以从哪些方面进行评价。目前，数学建模在数学教育研究界还没有一个单一的明确定义，不同研究中所使用的定义或给出的描述均取决于所采用的理论观点[3]。不过，数学建模所包含的大致环节与特征都是相似的。数学教育研究文献中一般认为，数学建模是周期形式的循环过程。而这个周期必然是在现实世界与数学世界之间不断进行转换以求利用数学解决实际问题的。

2007年Blum等提出的七阶段建模流程框架[4]（见图1），被相关数学建模研究广泛引用。该框架中，建模过程包含六种状态（states）和七个环节（stages）。

图1 七阶段建模循环模型

我国数学课程标准中规定，“数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养”，即数学建模过程主要包括“在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题”，并给出数学建模框架图（见图2）。最新版数学课程标准中对数学建模的定义与国际数学教育研究中对数学建模的相关定义高度一致，建模周期同样符合Blum提出的七阶段建模循环模型[5]。

图2 课程标准数学建模框架图

基于数学建模的定义，国际上已有许多数学建模的评价策略，大致可以分为两大类。一是将数学建模能力划分为多项子能力，再分别测评各子能力以评价数学建模能力。目前国际上大部分的纸笔测试都选择用子能力维度去测评数学建模能力，因为这部分研究者认为在有限的时间内完成完整的数学建模任务是困难的。如Haines等人[6]便开发了一套完整的数学建模子能力评价量表，Hankeln团队[7]也通过测试数学建模各子能力去综合评估学生的数学建模能力。但正如定义所示，数学建模虽然分为多个环节，却是一项完整的能力，因此，能否仅通过各子能力测评学生建模能力还需进一步的实证研究。二是把数学建模作为一个完整的能力进行测评，换而言之，学生完整地解决某个数学建模问题后，教师才能对其进行系统的评价[8]。

完整数学建模能力的评价也有许多不同的分析框架，不同研究与教学的关注点是不同的。如Henning和Keune[9]在PISA评价框架的基础上进行修改，将数学建模能力分为三个水平等级，其中水平1为识别和理解建模（描述建模过程），水平2为独立建模（解决建模过程并解释结果），水平3为建模中进行元反思（批判性地分析和反思建模过程）。邵光华与蒋周渠[10]在我国数学课程标准提供的数学建模素养三水平划分的基础上，构建了三个水平四个方面（情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思）的二维数学建模评价框架。徐斌艳[11]则根据Blum的数学七阶段建模循环模型，将数学建模能力划分为六个水平：水平0的学生无法理解具体的情境或不能识别出任何问题；水平1的学生能认清给出的现实情境，尝试将情境结构化，以便找出数学模型，但是无法找到与数学相关的线索；水平2的学生能提出一个合理的假设，并且能够找出一个数学模型，但是不知道如何转化为数学问题；水平3的学生不仅能找到某个现实模型，而且能够将其转化为数学问题，并尝试解决那个数学问题，但是最终不能找到满意的答案，或者不能准确地解决数学问题；水平4的学生能够从现实情境中找出数学模型，并且在数学世界中解决问题，但是忽略了与现实情境的联系；水平5的学生能够经历完整的数学建模过程，并且结合现实情境，检验数学问题解答的合理性。

综上所述，数学建模评价策略复杂且多样，各国研究团队都在尝试构建更加全面且有效的评价模式。然而，国外经验虽有助于本土研究的借鉴与参考，但由于国情与基础的差异，我国高中的数学建模教学评价仍然需要更多的实践与探索。

二、 完整建模问题的设计

对于我国高中数学建模的评价，必不可少的便是完整数学建模问题的纸笔测试。那么，设计合适的数学建模问题便是数学建模评价的第一步。我国的数学教学长期强调数学的应用价值，复杂多变的应用题教学也是我们的一大教学特色，这便是如今数学建模教学的有力基石。但数学建模问题不等同于数学应用题，我们在选取与设计建模任务时必然要有所调整。

数学建模问题与数学应用题相似之处在于，都是以现实背景为载体的数学问题，都需要构建数学模型进行求解，但两者的差异也是明显的。首先，数学应用题是在学生学习完相关数学知识后用于练习巩固的，目的在于提高学生对数学知识的运用能力，即从数学知识指向数学问题；而数学建模问题一般是没有明确的知识导向的，一个数学建模问题往往有多种解决途径或数学模型，因此数学知识的运用并不唯一，学生可以根据需求选择任意数学知识，即从数学问题指向数学知识[12]。其次，数学建模问题的背景更加真实，所使用的数据往往都是未修饰的，如数学应用题中可能会出现某人以5米/秒的速度快速奔跑的条件，而建模问题中更有可能出现的是某人跑100米花了19.2秒，至于奔跑速度是多少，需要学生先自行假设这个人匀速直线运动再用“路程=速度×时间”的数学模型进行求解。另外，数学建模问题一般更加开放，包括条件开放（信息冗余或缺失）、思路开放（可用多种数学模型或数学知识）、结论开放（一般没有绝对的标准答案，与提出的问题与假设有关），而数学应用题一般是较为封闭的。因此，在设计数学建模问题时，应该把握其关键特征，综合考虑学生的知识储备与题目难度，设计出合适的测试题。

基于以上要求，研究团队设计了多个符合我国高中生水平的数学建模问题，并形成测试卷。下面以“汽车加油问题”为例进行分析，该题改编自德国数学教育标准中的一道例题[13]：

三、 建模测评的案例分析

（一） 分析框架

有了合适的数学建模问题后，还需要有与之匹配的评价框架。在各学段的数学建模竞赛上，我们对学生的数学建模评价会更多地考虑数学模型的严谨性、适用性、创新性等，但对于普通高中生而言，我们势必要适当降低数学难度要求，评价上也应该更加关注学生是否掌握了数学建模的过程与思维方式，即如何用数学的眼光观察世界、用数学的思维分析世界、用数学的语言描述世界。因此，结合Henning和Keune提出的三维度框架和徐斌艳的六水平框架，我们可以从过程维度、能力维度、创新维度三方面结合定量与定性的方法评价学生的数学建模素养水平。

过程维度主要评价学生能否识别和理解数学建模，即关注学生是否知道数学建模的主要环节，能否进行到相应的步骤。如对于汽车加油问题，该维度评价学生是否提出了数学问题，建立了数学模型，并进行求解和检验等，但该过程不涉及正确性评价，即“学生所建模型不合理，依旧进行到了后续阶段，便可以认定学生在过程维度上表现良好”。当然，过程维度也可以细分为六个水平，定量地进行评价[14]。能力维度则参考徐斌艳的六水平框架，考虑学生建模过程中的正确性，以此评价学生处于哪一水平。如某个学生完整地构建、求解并检验了数学模型，但在求解模型的过程中出错，那么可以评价该生在过程维度上优秀，但能力维度上处于水平3。最后的创新维度是一个加分项，希望教师更多地进行定性评价，学生在问题提出、模型构建、模型检验等环节均有可能出现创新点，教师应该给予高度肯定。

（二） 案例分析

基于已设计的高中数学建模测试卷，我们对12名职前数学教师进行数学建模素养测评，并结合评价框架分析其数学建模素养的表现。这一方面检验了数学建模测试题的合理性和信效度；另一方面也为分析数学建模问题提供了评价案例参考。

以汽车加油问题为例，我们发现12名职前教师皆有良好的过程维度表现，有66.7%的职前教师能进行完整的一轮数学建模过程，其中有2名被试甚至进行了两轮完整的数学建模过程，即模型检验后发现模型的不足，对其进行优化并重新建模。而剩下33.3%的职前教师缺少检验环节，可见，数学建模过程中的模型检验环节即使在教师层面也经常会被忽略。能力维度上，被试中有25.0%达到最高的水平5，58.7%达到水平4，一名达到水平3，另一名由于所建模型不够合理仅停留在水平2。

最后创新维度上的评价需要更加全面地审视各建模方法的特征。基于此，我们根据完整进行了一轮建模的8名被试所构建数学模型的不同，把所有的建模求解过程分为四大类进行讨论。

模型一：直接计算加一定量油（如加满或40L等）时两个加油站所花费用之差，再计算两个地点耗油量所产生的费用之差，由此比较花费与节省的金额大小判断是否前往加油。

模型一是一个较为简单的模型，直接利用假设的加油量计算结果进行比较得到结论，较为符合高中生的思维习惯。A、B、C三名职前教师所构建的模型皆为模型一，虽然构建的数学模型相同，但数学建模素养的表现却有所不同。首先，三位职前教师在模型求解上都出现了一些问题，如职前教师A在模型求解过程中出现计算错误（把算出的耗油量当作耗油费用），导致模型求解出错；而职前教师B与职前教师C在计算耗油费用时都只计算了单程的费用。另外，三种解法最大的差异在于模型检验环节。职前教师B仅比较了花费之差便得出结论，虽然对数学结果进行了解释（应用到实际问题中），但缺少验证环节；职前教师A则进行了一定的检验讨论，考虑到实际背景下到黄浦区加油所得到的优惠金额较小且存在其他方面的消耗，因此给出与数学结果相反的现实结论；职前教师C进一步分析了时间成本对该模型的影响，借此改进模型，构建了综合考虑费用与时间的评价模型解决问题。综上所述，对相同数学模型的不同求解过程进行比较，很快可以发现数学建模素养水平的差异。虽然职前教师C优化后得到的模型较为粗糙，但考虑到纸笔测试时间有限，该模型相对而言已有一定的参考价值，创新维度上应该给予充分的肯定。

模型二：通过建立两个加油站加油总费用与汽车所剩油量之间的函数关系，比较函数值大小判断是否前往加油。

* 结果保留两位小数

模型二较为合理，能够通过函数之间的关系回答数学建模问题，而最终的结果与汽车剩余油量有关。但该模型在实际构建过程中也有容易被忽视的部分。如职前教师D虽然试图构建模型二，但仅仅用加油费用进行比较，未考虑因路上的耗油量而产生的费用差异问题，导致所构建的模型在合理性上存在问题。职前教师E所构建的模型二相对完整，以实际加油费用与来回路上耗油费用之和作为因变量进行比较，所得结果较为准确。不过，职前教师E的建模过程中模型检验环节可以进一步优化，如考虑优惠幅度大小。

模型三：通过建立两个加油站加油总费用与加油量之间的函数关系，比较函数值大小判断是否前往加油。

* 结果保留两位小数

模型三与模型二的构建方式是类似的，但自变量选择不同，关注点有一定差异。被试在建模过程中也存在一些问题，如职前教师F仅考虑单程油量，因此得到的结果合理性一般，模型有待进一步优化；而职前教师G考虑较为周全，构建的模型良好，且过程完整，过程维度与能力维度上皆为优秀，若在模型检验上更加细致一些将更上一层楼。

模型四：通过建立两个加油站加满油后回到家时所剩油量的单位价值与原剩余油量之间的函数关系，比较函数值大小判断是否前往加油。

模型四较有新意，职前教师H考虑到在不同加油点加满油后回到家时所剩油量是不同的，因此针对最终的油量构建一个单位价值模型，由此比较更划算的方案。不过该建模过程中最大的问题依旧是缺少模型检验环节。

通过对以上四类模型的分析可以发现，该数学建模问题符合开放性原则，被试可以有多种不同的建模方式。对于各种模型的构建与解答过程，我们自然不能一概而论地进行评价，过程维度只能反映被试解答的完整性与对数学建模的基本认知水平，能力维度仅能反映被试在该问题上求解的合理性、严谨性与问题解决程度，但这两个维度并不能完整地描述被试的数学建模素养水平。如职前教师C的解答过程，从过程维度上看必然是优秀的；不过，其在初建模型时没有考虑到来回加油站的双程耗油费用，导致模型构建不合理，能力维度上仅达到中等水平；数学建模素养还应该考虑到被试的完整建模表现，从模型优化方面看，职前教师C的过程是具有明显创新性的，是需要鼓励和肯定的，因此，该维度上的表现亦是不容忽视的。

四、 数学建模评价策略反思与建议

基于已有研究的发现与本案例的分析，可见数学建模测评依旧是研究与实践的一大难点，虽然数学教育界并没有较为公认与统一的评价标准，但在不同的研究中我们总能找到一些可取长补短的借鉴点。

（一） 关注完整问题的解决

数学建模的测评应该更多地关注完整的数学建模能力，在学生完整解决某建模问题的基础上对其进行评价才能更加全面地评测其数学建模素养水平。考虑到测评时间有限，每次进行纸笔测试的题量不宜超过3道，因此，设计出合适的建模问题是数学建模测评的关键。但教师并不是从零开始的，教材中有着丰富的数学应用题，这些都是数学建模问题改编的有效资源。如何把数学应用题改编为合格的数学建模问题便是每位数学教师都需要提升的教学能力之一。

（二） 注重定量与定性相结合

数学建模问题不同于经典的数学测试题，很难从纯定量的角度对其进行评价，因为学生对某一建模问题的解答途径是开放的，教师很难预设学生的所有建模策略，而且不同建模问题的过程与难点也是截然不同的，因此现阶段难以构建出一套适用于所有问题的评价体系。这方面的探索依旧是目前数学教育研究领域的焦点，而在一线教学中，教师应该更多地结合定量与定性方法去评价学生的数学建模素养。以上的案例分析已为我们提供了一种有效的途径，即先以不同数学模型对解答过程进行分类，再在同一模型下评价学生建模过程的优劣，进而在不同模型间评价其创新性等。

（三） 重视多个维度并行评价

数学建模测评所关注的维度必然不是唯一或单一的，本研究中所呈现的三个维度便是不同测评点的整合。正如前文所言，课程标准要求培养全体学生的数学建模素养，并不是要求把所有学生都培养成数学建模专家，而是希望学生都能拥有用数学知识解决实际问题的能力与意识。因此，在数学建模教学与评价过程中，我们应该适当降低建模过程中的数学维度要求，更多地关注数学建模中过程维度与创新维度的评价。能够用复杂的数学知识解决实际问题固然是最理想的教学目标，但我们也要承认大部分的中学生仅能使用较为基础的数学知识分析和一定程度上去解决现实问题。在此前提下，我们的目标不是让学生用更加高级的数学去解决问题，而是让学生能够顺利地把现实问题简化为数学问题，能够合理地用数学知识分析问题，能够多角度地反思数学结果与现实结果之间的差距并尝试优化模型，并且能够大胆且有创造性地去解决问题。因此，在教学实践中，我们应该更加全面地评价学生的数学建模过程，多维度评价更有利于学生认识到数学建模的价值与自身的不足，从而促进学生数学建模素养水平的提升。

数学建模测评的研究与实践没有终点，研究者与教育者都在不断探索更加有效的评价策略与途径。但难测评并不是无法测评，本研究为数学建模测评提供了一种有效的评价策略。教师应该克服唯分数论的教学评价思维，更多地从形成性评价的角度去认识数学建模测评，因为评价的目的不仅仅是为学生的能力水平定一个具体的分数，而是为了更好地促进学生的学习和教师的教学。一个数学建模教学评价策略的有效性，一方面取决于其能否全面准确地评估学生的数学建模素养；另一方面取决于其能否为下一步的数学建模教学提供有力的证据与明确的方向。

本研究也能从另一个侧面反映出职前教师数学建模素养的水平，该群体具有较好的数学建模素养，但依旧可以看到不少问题。如过程维度上，仍有少量被试忽视了模型检验环节，这也是实际教学中需要强调的。而在能力维度上，往往容易出现计算错误或变量缺失的情况，这是由于实际问题背景下的信息较为复杂，解决问题过程中容易造成遗漏，这也是教学过程中需要特别关注的。总之，只有在教师群体都具有较高数学建模素养水平的前提下，我们才能进一步探讨对学生数学建模能力的培养，而教师群体中出现的问题与不足也往往都是实际教学中容易被忽视的难点，值得我们进一步重视与研究。