基于等效电流法的永磁轴承分析

丁建刚

（陕西煤业化工集团孙家岔龙华矿业有限公司，陕西 榆林 719000）

0 引言

永磁轴承是利用永磁体之间的磁力作用实现转子稳定悬浮的一种被动磁轴承。永磁轴承具有体积小、无摩擦、结构简单等优点。此外，高性能永磁材料的出现也极大地促进了永磁轴承的发展与应用。永磁轴承既可用作径向轴承，又可用作推力轴承；根据磁环的磁化方向及相对位置的不同，永磁轴承可分为多种磁路结构[1]。

承载能力与刚度的分析是永磁轴承研究与设计过程中的一个重要环节。目前，关于永磁轴承的分析设计主要是基于等效磁荷法建立的数学模型[2－3]或者是利用商业软件进行仿真分析。此外，也有学者根据磁路法或者是有限元法对永磁轴承进行分析与计算。王洪昌等[4]基于分子电流法推导得到了永磁轴承轴向力的计算公式，利用蒙特卡洛算法进行了数值计算，并与ANSYS仿真结果作了对比。本文基于等效电流法建立了永磁轴承的数学模型，并利用Matlab对承载力与刚度进行了数值计算，绘制出了其随位移变化的特性曲线，将计算结果与基于等效磁荷法的结果进行对比后发现，基于等效电流法与等效磁荷法的计算结果非常接近，且与实测值的误差保持在较小的范围之内。最后，通过对径向采取主动磁悬浮轴承、轴向为永磁轴承的转子系统在轴向的承载力及刚度特性进行了试验研究，得出了一些关于永磁轴承特性的基本结论。

1 基于等效电流法的数学模型

根据安培的分子电流观点，如果忽略永磁体的端部效应及磁化的不均匀性，永磁体内部分子环流的环绕方向一致，这样在永磁体内部的任意一点总有两个方向相反的分子电流通过，在效果上相互抵消；只有在截面边缘处，分子电流未被抵消，形成与截面重合的圆电流，如图1所示。对永磁体整体而言，未被抵消的分子电流是沿着永磁体表面的[5]。

图1 永磁体中的分子电流

下面以轴向磁化的轴向永磁轴承为例，基于等效电流法建立其数学模型。图2所示为用等效电流法表示的永磁轴承示意图。设i1与i2分别为内、外磁环表面上单位长度的磁化面电流；P、Q分别为圆柱面2和4上的两点，其空间位置如图3所示。将P、Q处的电流环投影到XY平面，得到Q处电流环的XY平面投影图，如图4所示[6]。根据毕奥—萨伐尔定律，内磁环P处的电流微元i1dzdl1在外磁环Q处产生的磁感应强度为：

图2 永磁轴承的等效电流模型

图3 P、Q的空间位置

图4 P、Q处电流环的XY平面投影

由图3可知：

式中：Sr为内、外磁环在径向的相对位移；Sa为内、外磁环在轴向的相对位移；h为Q在外磁环上的高度（见图2）。

把式（2）～（3）代入式（1），将dB沿着整个内磁环的外表面积分可得到内磁环外表面等效电流在外磁环点Q产生的磁感应强度：

式中：H1为内磁环的轴向刚度。

根据安培定律，Q处电流源i2dhdl2所受的力为：

式中：dl2=-R4sinβdβi+R4cosβdβj

把式（4）代入（5）并积分，得出内、外磁环外表面间的作用力为：

式中：Den=(R4cosβ-R2cosα-Sr)2+(R4sinβ-R2sinα)2+(h-z+Sa)2。

同理可以求得F14、F23和F13。其中磁化面电流i在计算时可以取矫顽力Hc的值[6]。

根据图2中等效电流的方向，整个永磁轴承内、外磁环间的作用力为：

根据对称性Fy＝0，所以永磁轴承的径向力Fr＝Fx，轴向力Fa＝Fz。

上述只对轴向磁化的轴向永磁轴承建立了承载力的计算公式，从数学模型的建立以及公式的推导过程可知，式（6）同样适用于轴向磁化的径向永磁轴承的计算。

2 永磁轴承磁力的数值计算

由式（6）可知，基于等效电流法建立的永磁轴承的磁力计算公式是四重积分，计算量比较大。这里利用Matlab强大的数值计算能力，编程计算了轴向永磁轴承的承载力Fa与刚度K，其中刚度的计算是通过对承载力做差商运算得到的。设永磁轴承的参数为R1＝10.7 mm；R2＝13.3 mm；R3＝13.8 mm；R4＝16.3 mm；H1＝H2＝8.1 mm；Br1＝Br2＝0.82 T。在内外磁环同轴的情况下，轴向力及刚度的位移特性曲线如图5所示。图中，点A刚度最大，点B为最大承载力点，在点C永磁轴承由吸力型变为斥力型；部分轴向力的计算值如表1所示，其中实测值与等效磁荷法的计算值分别由Yonnet[7]实验与孙立军等[8]计算得到。

表1 轴向力的计算值与实测值

图5 轴向永磁轴承的承载力及刚度特性曲线

从表1可以看出，基于等效电流法和等效磁荷法计算出来的值基本相等；计算值与实测值的误差在3%以内。

若内、外磁环轴向对齐而只有径向产生相对位移，永磁轴承的参数为R1＝20 mm，R2＝26 mm，R3＝29 mm，R4＝35 mm，H1＝H2＝5 mm，Br1＝Br2＝0.9 T。基于等效电流法与等效磁荷法[8]的结果如表2所示。

表2 不同模型时径向力的计算值

3 轴向永磁轴承的力学特性试验

为了进一步验证理论计算的正确性，这里对径向为主动磁悬浮轴承、轴向采取轴向磁化吸力型永磁轴承的转子—轴承系统进行了试验研究。图6所示为装置的实物图及结构简图。其中，永磁轴承外环的内、外径分别为12.9 mm和17 mm，轴向长度为5 mm；实心转子部分的直径为10 mm，轴向长度为6 mm，永磁体的剩磁为1.1，矫顽力为868 kA/m。

图6 实验装置原理

转子在径向悬浮的情况下，通过百分表与电子测力计配合，分别测出永磁轴承转子部分的轴向位移及对应的拉力，试验结果与理论计算的对比如图7所示。从图中可以看出，试验值与计算值基本吻合，该永磁轴承的最大承载力约为9.5 N，原点处刚度约为7 000 N/m。

图7 Fa－Sa的试验数据与计算值对比

4 结束语

本文对基于等效电流法的永磁轴承进行了分析，得出结论如下。

（1）基于等效电流法的承载力计算结果与等效磁荷法得到的数值非常接近，这也进一步说明了基于等效电流法所建立数学模型的正确性以及这两种观点的等效性。

（2）轴向磁化吸力型永磁轴承的磁力先随着位移的增大而增大，达到最大承载力后，随着位移的增大而减小；刚度在原点处最大，此后随着位移的增大而减小直至负值，最终趋于0。