方差累积和控制图的改进

郭莹莹

（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛066004）

一、引言

控制图的提出，最初目的是对过程均值是否发生变化进行监控，之后逐渐用于过程方差的监控，因为尽管产品质量与目标值相差不大，其方差也具有较小幅度的偏移。在产品生产过程中，由于系统因素，样本在均值特性上可能没有明显变化，但在方差特性上会有很大偏移，如果方差的偏移量超出了规定要求，就必须对过程方差进行监控，过程方差增加会导致产品质量降低。当前对过程方差监控最普遍使用的控制图是休哈特（Shewhart）R图，S图和S2图。传统的休哈特控制图在过程发生比较大的偏移时敏感，在发生小偏移和中等偏移时不敏感。另外，当样本容量很小时，监控工艺效率低下。为了优化这些问题，学者们研究了带有运行规则的监控过程方差的控制图。

为了提高过程方差发生中、小偏移时监控的灵敏度，Page E S[1]于1954年提出了累积和控制图，一些数理统计学专家先后对累积和控制图进行了深入研究。Guoyi Zhang[2]针对传统休哈特S图的不足，提出了修正的S图，并介绍了改进的休哈特R图和S图；Rakitzis和Antzoulakos C等[3]提出了监测过程方差的运行和控制图；薛丽[4]对累积和控制图的参数K和H进行了研究和分析，讨论了基于三种不同原则的参数选取方法；胡灵雪和王志远等[5]建立了同时监控均值和方差的累积和控制图，提出基于马尔可夫链理论的新控制图的平均运行链长计算方法；孙明超和宋向东等[6]提出基于累积和控制图改进的累积得分控制图，设置改进控制图的初始响应值，改进了控制图与传统累积和控制图比较方法；杨静和宋向东等[7][8]对方差控制图进行改进，检测效率明显提高。

对于方差发生小波动的生产过程，累积和控制图相比休哈特控制图的监控效率更高。过程方差一旦发生小的偏移，累积和控制图就能迅速检测出来。在产品制造过程中，累积和控制图是一种很有效的监控工具。因此，对它的优化尤为重要。传统的休哈特控制图是在3σ原则上建立的，而累积和控制图是以序贯概率比检验为依据的。本文将累积和控制图与常规控制限联合使用，基于累积和方法，加入了常规控制限思想，根据总体服从正态分布时的方差特性设置了上控制限系数，并讨论了上单侧联合的常规-累积和S2图的平均运行链长表现，有效地提高了监控方差向上偏移的灵敏度，这在监控过程方差方面有一定的借鉴作用。

二、累积和控制图原理

（一）累积和控制图原理—序贯概率比检验

下面给出一个重要命题：

在使用时可近似取

其中α为犯第一类错误的概率即当H0为真时拒绝H0的概率；β为犯第二类错误的概率即当H0不真时接受H0的概率。

（二）累积和控制图的常用方法

1.截顶V型模板法

截顶V型模板运用于实践中，操作比较容易。决定截顶V型模板的形状有两个参数：f和h，f称为参考值，h称为判定距。如图1所示，f是截顶V型模板边界的斜率，h是截顶V型模板中点O处垂直高度的一半。

图1 截顶V型模板示意图

判断过程方差是否发生偏移时，把截顶V型模板放在累积和控制图上，中心点O与最新得到的点重合，直线OA与样本序号轴平行。若之前描的点均在透明模板的两条斜线内，则判断过程方差没有发生异常偏移；若有一点恰好在截顶V型模板的下斜线上或超出下斜线则判断过程方差异常增大；若有一点恰好在截顶V型模板的上斜线上或超出上斜线，则判断过程方差异常减小。

2.列表法

监控过程偏移的累积和控制图可看作重复的序贯概率比检验，构造累积和控制图的两个参数为K和H，K称为参考值，H称为决策值。检验过程方差是否发生偏移是检验统计量是否落入原假设H0的拒绝域。

监控过程方差向上偏移的累积和控制图检验统计量表达式为：

D+m=max{0，D+m-1+sm2-K}，初始值 D0+=0

当D+m>H时，说明过程发生了向上的偏移，拒绝原假设H0，控制图发出警报，停止抽样。

（三）控制图的性能指标ARL

对于控制图，通常称从过程检测开始到它发出失控的报警信号为止，抽取的平均样本组数为平均运行链长（ARL）。

平均运行链长是评价累积和控制图性能优劣的一个重要指标，设计控制图时一般都希望在过程受控时平均运行链长不低于预设值，在过程失控时平均运行链长越小越好。要比较不同控制图的性能，通常是固定受控时的平均运行链长，失控时的平均运行链长较小的控制图控制性能更加优良。常用的计算平均运行链长的方法有马氏链法、积分方程法和随机模拟法，本文采用随机模拟的方法计算平均运行链长。

三、上单侧联合的常规-累积和S2图

在过程方差的监控中，过程方差增大说明产品的合格率下降。在某些产品的生产过程中，原材料劣质、机器零件不合格或磨损、操作工人操作失误等都会造成过程方差变大。可以使用上单侧联合的常规-累积和S2图监控过程方差向上的偏移，尽快发出警报，提高生产过程性能。

（一）上单侧联合的常规-累积和图设计

设过程质量特性X∶N（μ，σ2），样本量大小为m。我们希望当过程方差σ2由σ02偏移到σ12（σ12=ρσ02，ρ>1为偏移倍数）时，控制图能尽快发出警报。为了检验过程方差向上的偏移，将常规控制图上控制限（UCL）思想加入到累积和控制图中，取当前的观测值即样本方差si2，检验si2是否大于Bσ02，其中σ02是已知的过程方差，B为上常规控制限系数。如果si2不大于Bσ02，就将其按惯例加入累积和，如果 si2大于 Bσ02，则发出状态失控的信号。

上单侧联合的常规-累积和S2图将0直限作为控制下界，0直限到控制限上界的距离为控制距H，0直限到警戒限的距离为警戒距K。横轴表示样本组序号m，纵轴表示样本方差si2（i=1，2，3，…，m）与警戒距K的的累积和Cm（K）。设初始值为0，则有累积和：

（二）上常规控制限的确定

下面计算上常规控制限系数，计算过程中将系数记为B。

当过程上偏时，不发出失控信号的的随机事件表示为S2

若用F（x）表示自由度为n-1的卡方分布的概率分布函数，则发出失控信号的概率为：

p=p（ρ）=1-F[（n-1）（B/ρ）]

平均运行链长即为L（ρ），对于错误报警率α=0.002，当ρ=1即过程方差处于受控状态时，平均运行链长L（ρ）有 L（1）=500，计算 S2统计量的上常规控制限系数结果如表1：

表1 不同样本容量的上常规控制限系数表

将上述求得的控制限系数作为上单侧联合的常规-累积和S2图的上控制限系数，即先检验每组的样本的S2统计量是否大于Bσ02，若大于此值则发出报警信号，不大于此值则按上述标准计入累积和。

（三）上单侧联合的常规-累积和S2图检验统计量

假定观测值服从正态分布，且总体均值相同，即xi∶N（μ，σ2），i=1，2，3，…。用 f表示概率密度函数，则两个假设可表示为：

H0：σ02～f（σ02），i=1，2，3，…

H1：σi2～f（σ12），i=1，2，3，…

第m次抽样，从而H1对H0的似然比为：

其中，K为上参考值，H为决策值。

可以定义上偏的联合的常规-累积和s2图的检验统计量为：

zj=max{0，zj-1+sj2-K}，j≥1

（四）平均运行链长表现

用下面的标准来判断检测过程是否正常：

1.检验 sj2是否大于 Bσ02，如果 sj2大于 Bσ02，则发出状态失控的信号，如果sj2不大于Bσ02，就将其按惯例加入累积和；

2.当Cm（K）≤0时，认为过程方差波动正常，但此阶段累积和计算中断，接下一个阶段的累积和计算；

3.当0

4.当Cm（K）≥h，认为过程方差向上偏移，发出报警信号。

采用随机模拟方法计算平均运行链长，并绘制平均运行链长曲线与传统的方差控制图的比较：

从表2可以看出，当过程方差发生上偏时，上单侧联合的常规-累积和S2图较传统的方差控制图有较短的平均链长，说明对于方差向上偏移的过程，上单侧联合的常规-累积和S2图检测效率优于传统的方差控制图。

表2 n=10时过程上偏的联合的常规-累积和S2图平均链长表现

图2 上单侧常规-累积和S2图与传统的方差控制图平均链长比较

图中给出了n=10时偏移从1倍到3倍时上单侧联合的常规-累积和S2图与传统的方差控制图平均链长比较，当方差偏移倍数在1.1倍到1.6倍间可以看出上单侧联合的常规-累积和S2图具有优越性，当方差偏移倍数大于2.5倍时，上单侧常规-累积和S2图几乎立即报警，说明联合的常规-累积和图在检测较小偏移时有较高灵敏性。

四、结论

本文研究过程方差检测的累积和方法，将累积和控制图与常规控制限联合使用，基于累积和方法，加入了常规控制限思想。利用随机模拟方法计算联合的常规-累积和S2图的平均链长，并与传统的方差控制图的平均运行链长进行比较。结果发现，联合的常规-累积和S2图在检测向上偏移的方差过程具有更高灵敏性。因此，它的进一步研究是有实际价值的。◆