让有理数减法新授课更有“数学味”*

刘东升 (江苏省海安市城南实验中学 226601)

看到这个标题，有人可能会说数学课要有“数学味”，难道数学课还有“其他味”？是的！如今不少数学常态课给人的感觉是习题味太重、应试味更浓．以七年级有理数的减法(第1课时)为例，有些教师认为有理数的减法法则太简单了，往往新知出现“一带而过”，开门见山，对于有理数减法法则的教学过程“轻轻滑过”，然后就安排减法转化为加法的“程序化”训练，甚至提前安排有理数加、减混合运算.这样的教学就是典型的习题味重、应试味浓．本文是笔者最近在一所农村初中执教的有理数减法(第1课时)教学记录，阐释教学立意，供分享和研讨．

1 “有理数减法新授课”教学记录

教学环节1 复习加法运算，引出减法运算

复习引入：前面几节课我们学习了有理数、绝对值、相反数等概念，又学习了有理数的加法运算，接下来学习哪种运算？(生齐答：减法)下面我们来看一组减法运算的算式．

问题计算：

(1)5-2=，5+(-2)=；

(2)(-1)-2=，(-1)+(-2)=；

(3)(-5)-(-3)=，(-5)+(+3)=．

教学组织：学生虽然没有学过减法运算，但都能想出以上三组运算的结果是一致的，接下来就是请学生来解释他们是如何思考的．

生1：5-2可以看成数轴上表示5的点向左移动2个单位，到达3，所以5-2=3．

生2：(-1)-2可以看成数轴上表示-1的点向左移动2个单位，到达-3，所以(-1)-2=-3．

生3：(-5)-(-3)这个算式后面的“-(-3)”可以根据相反数的定义化简为+3，于是(-5)-(-3)=(-5)+3=-2．

师：讲得很好！形象生动，算法依据也是可靠的．现在我们可以发现以下等式是成立的，

(1)5-2=5+(-2)；

(2)(-1)-2=(-1)+(-2)；

(3)(-5)-(-3)=(-5)+(+3)．

从这组算式，同学们发现有理数减法运算可以怎么计算？有怎样的算法规律？

生4：减去一个数，等于加上这个数的相反数．

师：很好！(将学生的这个发现板书在黑板主板区)刚才同学们针对三组加法、减法运算题运用不同的方法进行解释，发现了“减去一个数，等于加上这个数的相反数”这个减法的运算规律．现在让我们再从加法与减法互为逆运算的角度来解释同学们发现的这个规律．我先来示范一下如何解释第一组算式.

师：从算式5-2=？出发，我们根据加法与减法互为逆运算，

可得？+2=5，

所以？=3，

所以5-2=3．又5+(-2)=3．

所以5-2=5+(-2)．

生5：从算式(-1)-2=？出发，根据加法与减法互为逆运算，

可得？+2=-1，

所以？=-3．

所以(-1)-2=-3．又(-1)+(-2)=-3，

所以(-1)-2=(-1)+(-2)．

生6：从算式(-5)-(-3)=？出发，根据加法与减法互为逆运算，

可得？+(-3)=-5，

所以？=-2．

所以(-5)-(-3)=-2．又(-5)+3=-2，

所以(-5)-(-3)=(-5)+(+3)．

师：讲得很好！同学们从加、减互为逆运算的角度清楚解释了“减去一个数，等于加上这个数的相反数”，我们将这个规律明确为有理数的减法法则(板书中把“猜想”修改为“法则”)．

教学环节2 有理数减法法则的例题讲评

例1计算：

教学组织：第(1)题由教师示范，如何运用有理数减法法则进行计算，后面3道题由学生独立先做，安排一个中等左右的学生上台板演，再请另一个较优学生上台批阅．接着给出一组练习，巩固新知．

练习题计算：

(1)6-9；(2)4-(-7)；(3)(-5)-(-8)；

(4)0-(-5)；(5)(-2.5)-5.9；(6)1.9-(-0.6)．

教学环节3 探究数轴上两点之间的距离

例2已知数轴上有两点A，B，分别对应着数a，b．

(1)当a=2，b=6时，求线段AB的长；

(2)当a=0，b=6时，求线段AB的长；

(3)当a=-6，b=2时，求线段AB的长；

(4)当a=-6，b=-2时，求线段AB的长．

教学组织：要求学生分别结合数轴列出算式进行计算，然后请一个做得较快的学生上台讲解方法，会发现学生使用的是“较大数”减去“较小数”.肯定学生的解法之后，进一步指出，以前在小学，减法运算必须是“较大数”减“较小数”，那是因为避免出现“不够减”的现象，如今我们有了负数，数系扩充到了有理数，“不够减”的麻烦就没有了．大家试试看，如果上面这组问题，换成“较小数”减去“较大数”，会有什么发现？随着学生发现与之前算法结果互为相反数时，就可引导学生总结出数轴上两点之间距离公式AB=|a-b|．(教师完善到主板区)

教学环节4 课堂小结，完善“结构化板书”

课堂小结时，与学生回顾一下开课阶段“生3”利用相反数性质将算式(-5)-(-3)化简为(-5)+ 3=-2．相对于使用有理数减法法则来理解，这种算法更有优势，值得同学们学习．这就说明，有理数的减法法则提供了两个有理数相减的一种通用法则，但并不是惟一算法，有时灵活变形可以追求算法的简化(板书“灵活变形求简化”)．最后，一边小结，一边将课堂推进过程中采集到的一些板书内容进行连接、勾画，得出如下的结构化板书(图1)．

图1

2 有理数减法新授课追求哪些“数学味”

2.1 追求“说理味”，突出运算法则“客从何处来”

近年来，章建跃博士对概念教学中存在“一个定义(法则)，三项注意，大量练习”现象进行过多次批评．以有理数减法的新授课教学来看，我们也见到不少教学存在有理数减法法则“来得太快”的课堂现象，然后就是大量练习．虽然经过密集训练，学生也能掌握有理数减法法则及运用，但是对于有理数减法法则的“客从何处来”没有深入研究，而这正是本课开课阶段花了较多教学时间在开展的环节．具体来说，先让学生解释几组算式(分别对应着减法算式与加法算式结果一致)，然后发现规律，进一步引导学生给出数学解释．他们往往能借助于数轴形象生动地解释，或者借助相反数的意义进行解释，但这些解释都不是“通法”，后来教师示范利用有理数加法、减法的逆运算就可以解释所有加、减算式结果的一致性．事实上，如果班级学情较好，还可以进行一般化的证明．比如解释a-b=a+(-b).

从算式a-b=？出发，我们根据加法与减法互为逆运算，可得？+b=a，

观察发现上面等式的左边有b，而右边没有b，联系相反数b，-b之和为零，于是想到？+b=a+ 0=a+[b+(-b)]=[a+(-b)]+b，所以？=a+(-b)．

2.2 追求“数形味”，探究数轴上两点间距离公式

进入初中，数系扩充到有理数后，就引出一个重要的数学工具——数轴．数轴尽显数形结合的魅力，成为贯穿代数不同分支学习的一个重要工具．作为有理数减法第1课时，我们没有安排太多的减法习题进行大容量的运算训练，而安排了“数轴上两点间的距离公式”的探究活动．对于4对不同的数组，学生很快想到用较大数减去较小数来求得两点间的距离，教师随后追问：同样的还是这两点间的距离，如果用较小数减去较大数，比较两次的结果，发现两次结果互为相反数，那若是用较小数减较大数表示距离的话，距离是不能用负数表示的，所以得加绝对值．最后归纳、概括出两点间的距离公式．该课评课阶段，有教师提出在有理数减法的第1课时就引出数轴上两点间距离公式是否超前的问题．我们认为，应以学生能否接受，是否能根据前面的情境自然而然导出为评判原则．从这节课中探究两点之间距离公式来看，学生只运用了减法运算，大数减小数是学生自然的想法，得出两点之间距离公式，而引导他们思考“为什么不用小数减大数”则得出前面做出来的相反数，于是，借助绝对值这个概念，获得不同减法的结果的一致性，发现了两点间距离公式可以用绝对值表示，这样也是自然的．但在新授期间，不宜出现大量的绝对值符号的化简问题，等在下一章“整式加减”学习了去括号后，可再跟进、拓展相关问题．

2.3 体现“思辨味”，让有理数减法的算法更灵活

有理数减法是加法的逆运算，这是本课新知生成和说理依据的出发点．生成有理数减法法则之后，跟进的例题讲评、习题训练都是严格执行有理数减法法则，将有理数减法转化为加法求解．这当然能保证计算结果正确(即板书上的经验分享“严守法则不出错”)，但是在课堂小结阶段，我们也结合学生在探究、解释有理数减法时的一个符号化简经验，指出了“灵活变形求简化”的经验，让学生感受到“小运算，大智慧”，有理数的运算并不是机械执行法则，而要认真观察算式特点，灵活变形，相机选用恰当算法，追求算法简化．但是这并不是有理数减法(第1课时)的重点，所以并没有突出强化，只是在小结阶段简要提及．再有，关于数轴上两点之间距离公式的探究活动，通过追问“较小数”减去“较大数”，既训练了有理数减法运算，同时得出的结果不能直接对应两点之间距离，但是通过引入绝对值符号，与相反数的结果保持了和谐一致，这也体现了数学的思辨味道．

3 写在后面

初中阶段有很多新授课内容看似简单，有些教师往往认为“不教自明”，而且因为不少学生在培训机构“超前学习”，使得这些看似简单的数学新知在新课教学时“学生都能齐答”，一定程度上掩盖了这些新知是如何生成的．于是这些内容简单的课常常就成为大容量习题课，学生只顾埋头刷题，偶尔互动一下、核对答案．长此以往，这些课的数学味就淡了，习题味就重了．本文关注的有理数的减法新授课教学提及到的这些“数学味”肯定有很多个性化理解，期待同行批评指正，让我们一起追求更有“数学味”的高品质数学课堂．