马氏漏斗黏度计测定钻井流体流变参数新方法的建立

李照川，郑力会，吴通，黄维安

（1.中国石油大学（北京）石油工程学院，北京 102249；2.中国石油大学（华东）石油工程学院，山东青岛 266580）

0 引言

漏斗黏度作为一个时间参数，它反映的是钻井流体流动性，而非钻井流体流变性；漏斗黏度是条件黏度的一种，需要结合钻井流体密度等参数才能与动力黏度相比较[1-4]。因此，仅参考漏斗黏度无法满足钻井流体流变学的设计需求。表观黏度、塑性黏度及动切力是钻井流体重要的流变参数，是衡量钻井流体性能的重要指标，通过旋转黏度计测得。虽然旋转黏度计数据读取精确，但其结构复杂、携带不便且需要电源，限制其在现场中的应用[5-7]。马氏漏斗黏度计构造简单、操作方便、数据易读，其能够准确、简便地测得钻井流体的流变参数，对保障钻井安全施工、快速钻进具有重要意义。

Pitt 是马氏漏斗黏度计流变学研究的先驱，借助Fortran 语言、Skelland 方程研究了幂律流体以层流形式通过马氏漏斗时的流变特性，得到了表观黏度与漏斗黏度、流体密度之间的数学模型，并通过室内实验进行了验证[8]。Pitt 的工作虽然存在不足之处，例如引用牛顿流体的剪切速率来计算幂律流体的表观黏度，但为后续研究者指明了研究思路，即结合理论分析、实验测量与数值模拟来揭示马氏漏斗内钻井流体流变性的变化情况，借助马氏漏斗自身参数与钻井流体已知参数建立与钻井流体流变参数之间的数学关联。刘孝良从流体静力学方程出发，研究了非恒定静压作用下幂律流体、塑性流体垂直下落的流动规律，得到了表观黏度与流体自由下落时间、摩阻消耗时间、管嘴处流速之间的数学模型；该模型较Pitt 模型适用范围更广，但其准确度不高且需要借助计算机进行迭代处理，这限制其在现场的应用[9-10]。针对马氏漏斗黏度计是否可作为流变仪来使用，Roussel 与Le Roy 进行了系统研究[11-12]。首先，他们指出马氏漏斗黏度计在应用上存在两处弊端，一是如果待测流体黏度过小则漏斗黏度与表观黏度之间不呈现相关性，二是如果流体具有较大的动切力则可能不发生流动；其次，通过Buckingham–Reiner 方程，得到了宾汉流体漏斗黏度与塑性黏度、动切力、液面高度之间的数学模型，但该模型计算过程繁琐，不适用于现场；最后，针对马氏漏斗单点测试的局限性，提出可配合不同直径的导流管来完成多点测试。Nguyen 对赫巴流体流经马氏漏斗黏度计进行了研究，首先借助流体静力学分析了赫巴流体在导流管出口处的流动特性，然后针对出口处Poiseuille 流无法求解的问题，使用Fluent 6.1 软件进行了流体动力学数值模拟，进而得到了漏斗黏度与赫巴流体流变参数之间的数学模型，后续Sadrizadeh 的研究工作与之类似[13-14]；经验证Nguyen 模型的计算误差小于15%，但是需要满足的计算条件苛刻，不适用于现场。Balhoff和Guria 研究了应用马氏漏斗黏度计来测定钻井流体的流变参数，一方面通过流出体积与出口流速推算了壁面剪切应力与壁面剪切速率，进而得到了漏斗黏度与表观黏度、塑性黏度之间的数学模型，另一方面通过钻井流体在漏斗中的滞留液面高度推算了动切力[2-3]。该研究对使用马氏漏斗黏度计来测定钻井流体流变参数进行了深层次探讨，较之前仅参考漏斗黏度而言考虑了流出体积、出口流速以及滞留液面高度与钻井流体流变参数之间的关系。在此基础上，Sedaghat 引入Bernouli 方程进一步优化了壁面剪切速率与壁面剪切应力的数学模型，提高了计算准确度，实验结果表明，马氏漏斗黏度计的测定值与旋转黏度计的测算值相比误差小于15%，但计算过程繁琐[4]。尽管学者们针对使用马氏漏斗黏度计来测定钻井流体的流变参数进行过很多研究，但所提出的数学模型均无法满足现场需要。一方面虽然某些数学模型计算过程简单，但是准确度低，另一方面计算准确度高的数学模型，求解过程繁琐。为满足施工现场钻井流体流变学的设计需求，笔者分析了钻井流体流经马氏漏斗时的受力情况，研究了导流管出口处壁面剪切应力与壁面剪切速率之间的相互关系，针对表观黏度、塑性黏度以及动切力提出了准确、简便的数学模型，建立了使用马氏漏斗黏度计测定钻井流体流变参数的新方法。

1 数学模型建立

图1 为标准马氏漏斗的结构示意图[15]。

图1 标准马氏漏斗的结构示意图

图1 中滤网半径尺寸RC为6.985 cm，滤网至导流管高度HC为27.94 cm，导流管半径RT为0.238 cm，导流管高度HT为5.08 cm；某一时刻，马氏漏斗内钻井流体的液面高度为h，液面半径为r。

1.1 马氏漏斗流速系数

钻井流体流经马氏漏斗时属于黏性流动，出口流速的数学关系见式（1）[4]。

式中，v为出口流速，m/s；g 为重力加速度，m/s2；f为流速系数，是一个无因次量，该值与钻井流体性质以及漏斗尺寸有关。

在dt流动时间内，从马氏漏斗中流出dQ体积钻井流体，钻井流体液面下降dh，根据守恒定律得到关系见式（2）[16]。分离变量、化简方程后可以得到式（3）。

由马氏漏斗的几何关系可以得到液面半径r与液面高度h的关系见式（4）。

为方便书写，用a1和a2分别代替0.2422 和0.00 992 632。在此重点研究面高度在导流管之上（HT+HC≥h≥HT）的情况。将式（4）代入式（3）得到式（5）。

根据边界条件，方程两边分别进行定积分求解：

从式（7）可知，只要测得马氏漏斗中全部钻井流体流出的总时间TF，便可直接求得流速系数f。

1.2 壁面剪切速率与壁面剪切应力

剪切速率与剪切应力是钻井流体流变学研究的重要内容，本节推导了牛顿型钻井流体、非牛顿型未加重钻井流体以及非牛顿型加重钻井流体的壁面剪切速率与壁面剪切应力的数学模型，该内容是下一节表观黏度、塑性黏度与动切力所对应数学模型推导的基础。针对出口处的壁面剪切应力，Sedaghat 推导出的数学模型为式（8）[4]：

式中：τw为壁面剪切应力，Pa。

Treloar 根据圆管内充分发展的稳定流推得壁面剪切速率的数学模型见式（9）[17]：

针对牛顿型钻井流体，Sedaghat 根据马氏漏斗尺寸关系提出了几何修正因子，优化后壁面剪切速率与流量的数学模型见公式（10）[4]。

式中，AT为导流管横截面积，m2。将式（8）、（11）带入式（10）可得牛顿型钻井流体壁面剪切速率的数学模型见式（12）。

由式（8）、（12）可得牛顿型钻井流体的流变曲线见式（13）。

从式（13）可知，牛顿型钻井流体流变曲线的斜率即牛顿流体黏度是一个定值，仅与钻井流体密度、流速系数有关。

针对非牛顿型未加重钻井流体，根据Sedaghat推荐的几何修正因子，优化后壁面剪切速率的数学模型见式（14）[4]：

将式（8）、（11）代入式（14）可得式（15）。

由式（8）、（15）可得非牛顿型未加重钻井流体的流变曲线见式（16）。

非牛顿型加重钻井流体，笔者推荐的几何修正因子，优化后的壁面剪切速率数学模型见式（17）[18]。

将式（8）、（11）代入式（17）可得。

由式（8）、（18）可得非牛顿型加重钻井流体的流变曲线见式（19）。

从式（16）、（19）可知，非牛顿型钻井流体流变曲线的斜率不仅与钻井流体密度、流速系数有关，还与液面高度息息相关。

1.3 钻井流体流变参数

在评价钻井流体的性能时，采用旋转黏度计600 r/min 下剪切应力与剪切速率的比值作为表观黏度（μa）[19]：

当出口处非牛顿型未加重钻井流体的剪切速率为1020 s-1时，由式（15）推导可得式（21）。

将式（22）代入式（8）得式（23）。

将式（23）代入式（20）可得非牛顿型未加重钻井流体表观黏度的数学模型见式（24）。

塑性黏度（μp）是塑性流体流变曲线中直线段的斜率，约定旋转黏度计600 r/min 和300 r/min 所对应的剪切应力在直线段上，因此得式（25）。

当非牛顿型未加重钻井流体的壁面剪切速率为510 s-1时壁面剪切应力见式（26）：

将式（23）、（27）代入式（25）可得非牛顿型未加重钻井流体的塑性黏度数学模型。

根据宾汉模式，动切力的表达式为式（29）。

将式（24）、（28）代入式（29）可得非牛顿型未加重钻井流体的动切力数学模型为：

同理，可得非牛顿型加重钻井流体的表观黏度、塑性黏度以及动切力的数学模型如下。

2 实验结果分析

2.1 牛顿型钻井流体分析

选择矿物油、合成油及燃料油进行研究。由上节内容可知，借助马氏漏斗黏度计并结合本文模型式（13）可求得牛顿型钻井流体的流变曲线，在此与HAAKE MARS Ⅲ流变仪测得的流变曲线进行对比分析（见图2）。可知，模型下矿物油的表达式为y=0.2004x，HAAKE MARS Ⅲ流变仪下矿物油测量数据的拟合方程为y=0.2027x，两条曲线之间的皮尔逊相关系数（PCO）为1，这说明两曲线之间具有很强的正相关性，曲线间相似度很高，且均属于牛顿型流体；模型下合成油的表达式为y=0.6003x，HAAKE MARS Ⅲ流变仪下矿物油测量数据的拟合方程为y=0.6120x，两条曲线之间的皮尔逊相关系数为1，这说明两曲线之间具有很强的正相关性，曲线间相似度很高，且均属于牛顿型流体；本文模型下燃料油的表达式为y=0.0495x，HAAKE MARS Ⅲ流变仪下矿物油测量数据的拟合方程为y=0.0482x，两条曲线之间的皮尔逊相关系数为1，这说明两曲线之间具有很强的正相关性，曲线间相似度很高，且均属于牛顿型流体。实验结果表明，使用马氏漏斗黏度计可以准确表征牛顿型钻井流体的流变曲线。

图2 牛顿型钻井流体在本文模型与HAAKE MARS Ⅲ流变仪下的流变曲线

借助马氏漏斗黏度计并结合本文模型式（13）可求得牛顿型钻井流体的黏度（牛顿黏度），在此比较本文模型、Guria 模型和Sedaghat 模型以及ZNN-6 旋转黏度计下的矿物油、合成油以及燃料油的测量黏度（见图3），并对不同模型之间的误差进行分析（见表1）。

图3 不同模型下牛顿流体的黏度测量值

表1 牛顿流体黏度测量值的误差分析

本文模型下矿物油、合成油与燃料油的黏度值分别为200.4、60.0 与48.0 mPa·s，ZNN-6 旋转黏度计的测量值分别为203.5、61.0 与48.5 mPa·s，以ZNN-6 旋转黏度计的黏度测量值为基准，3 种流体在本文模型与ZNN-6 旋转黏度计下的测量误差分别为1.52%、1.64%与1.03%，平均值为1.40%。因此，本文模型的测量准确度与ZNN-6 旋转黏度计相符。同样结果，Sedaghat 模型的测量准确度也与ZNN-6 旋转黏度计相符。与之相反的是，矿物油、合成油与燃料油在Guria 模型下的测量值与ZNN-6旋转黏度计的测量值之间的误差较大，3 种流体的测量误差分别为23.69%、29.18%与34.64%，平均值为29.17%，因此Guria 模型对牛顿流体黏度的测量准确度较低。

2.2 非牛顿型钻井流体分析

多数钻井液、水泥浆、前置液等钻井流体属于非牛顿型，本文择选绒囊冲洗液及其加重体系、甲酸盐钻井液及其加重体系进行研究。由上节内容可知，借助马氏漏斗黏度计并配合式（8）、（15）可求得非牛顿型未加重钻井流体的流变曲线、配合式（8）、（18）可求得非牛顿型加重钻井流体的流变曲线，同样与HAAKE MARS Ⅲ流变仪测得的流变曲线进行对比分析（见图4）。

图4 非牛顿型钻井流体在本文模型与HAAKE MARS Ⅲ流变仪下的流变曲线

可知，本文模型下未加重绒囊冲洗液流变曲线的拟合方程为y=0.3762x0.7283，HAAKE MARSⅢ流变仪下流变曲线的拟合方程为y=8.0172+0.3623x0.7154，拟合曲线之间的皮尔逊相关系数为0.99，这说明两曲线之间具有很强的正相关性，曲线间相似度很高；本文模型下已加重绒囊冲洗液流变曲线的拟合方程为y=1.6672x0.5964，HAAKE MARS Ⅲ流变仪下流变曲线的拟合方程为y=11.8852+1.5625x0.5861，拟合曲线之间的皮尔逊相关系数为0.98，这说明两曲线之间具有很强的正相关性，曲线间相似度很高；本文模型下未加重甲酸盐钻井液流变曲线的拟合方程为y=1.4118x0.6012，HAAKE MARS Ⅲ流变仪下流变曲线的拟合方程为y=9.2736+1.3419x0.5617，拟合曲线之间的皮尔逊相关系数为0.97，这说明两曲线之间具有很强的正相关性，曲线间相似度很高；本文模型下已加重甲酸盐钻井液流变曲线的拟合方程为y=1.7062x0.6065，HAAKE MARS Ⅲ流变仪下流变曲线的拟合方程为y=11.8527+1.6891x0.5883，拟合曲线之间的皮尔逊相关系数为0.96，这说明两曲线之间具有很强的正相关性，曲线间相似度很高。实验结果表明，使用马氏漏斗黏度计可以表征非牛顿型钻井流体的流变曲线，但是单凭该流变曲线无法求得非牛顿型钻井流体的动切力。

从上节内容可知，非牛顿型未加重钻井流体的表观黏度、塑性黏度以及动切力可由式（24）、式（25）和式（29）求得，非牛顿型加重钻井流体的表观黏度、塑性黏度以及动切力可由式（31）、式（32）和式（33）求得。在此比较绒囊冲洗液及其加重体系、甲酸盐钻井液及其加重体系在本文模型、Guria 模型、Sedaghat 模型以及ZNN-6 旋转黏度计下流变参数的测量值（见图5），并对不同模型之间的误差进行分析（见表2）。

图5 不同模型下非牛顿型钻井流体的流变参数测量值

表2 非牛顿型钻井流体流变参数的误差分析

本文模型下未加重绒囊冲洗液、已加重绒囊冲洗液、未加重甲酸盐钻井液以及已加重甲酸盐钻井液的表观黏度分别为38.48、74.49、47.34 与84.42 mPa·s，ZNN-6 旋转黏度计的测量值分别为40.00、78.00、50.00 与87.50 mPa·s，以ZNN-6 旋转黏度计的黏度测量值为基准，4 种钻井流体在本文模型与ZNN-6 旋转黏度计下的测量值误差分别为3.80%、4.50%、5.32%与3.52%，平均值为4.29%；本文模型下4 种钻井流体的塑性黏度分别为31.57、55.13、39.16 与65.48 mPa·s，ZNN-6 旋转黏度计的测量值分别为32.00、58.00、40.50 与66.50 mPa·s，4 种钻井流体在本文模型与ZNN-6旋转黏度计下的测量值误差分别为1.34%、4.95%、3.31%与1.53%，平均值为2.78%；本文模型下4 种钻井流体的动切力分别为6.91、19.36、8.18与18.94 Pa，ZNN-6 旋转黏度计的测量值分别为8.00、20.00、9.50 与21.00 Pa，4 种钻井流体在本文模型与ZNN-6 旋转黏度计下的测量值误差分别为13.62%、3.20%、13.89%与9.81%。由此可知，本文模型下非牛顿型钻井流体流变参数的测量值与ZNN-6 旋转黏度计的测量值很接近，其中表观黏度黏度、塑性黏度的误差平均值小于5.00%，动切力的误差平均值在10.00%左右，这说明本文建立的数学模型可以准确测定非牛顿型钻井流体的流变参数。

Sedaghat 模型对非牛顿型未加重钻井流体流变参数的计算准确度较高，这与本文模型相类似，但对非牛顿型加重钻井流体流变参数的计算准确度较低，其中已加重绒囊冲洗液的表观黏度、塑性黏度及动切力的误差分别为52.24%、49.26%与60.90%，已加重甲酸盐钻井液的表观黏度、塑性黏度及动切力的误差分别为51.76%、53.20%与47.19%，误差均在50%左右。Guria 模型对非牛顿型钻井流体流变参数的计算准确度非常差，常常无法求得动切力。

3 结论

笔者对使用马氏漏斗黏度计来测定钻井流体的流变参数进行了深入研究，通过理论分析与实验测量笔者论证了马氏漏斗黏度计可以作为流变仪来使用，建立了测定钻井流体流变参数的新方法。

1.针对牛顿型钻井流体与非牛顿型钻井流体，笔者提出了优化了流速系数、壁面剪切速率、壁面剪切应力及其流变关系的数学模型，得到了测定牛顿黏度、表观黏度、塑性黏度以及动切力的新数学模型。

2.本文模型下矿物油、合成油、燃料油、绒囊冲洗液以及甲酸盐钻井液的流变曲线与HAAKE MARS Ⅲ流变仪所测得的流变曲线之间存在很强的正相关性、相似度很高，这表明使用马氏漏斗黏度计可以准确表征钻井流体的流变曲线；本文模型下矿物油、合成油、燃料油、绒囊冲洗液以及甲酸盐钻井液的牛顿黏度、表观黏度以及塑性黏度的测量值与ZNN-6 旋转黏度计下测量值之间的误差分别为1.40%、4.29%与2.78%，动切力的误差为10.13%，这表明本文模型的计算准确度与ZNN-6旋转黏度计相符。

3.在钻井作业现场，只需要测得钻井流体的密度以及流速系数，便可准确、简便地求得牛顿黏度、表观黏度、塑性黏度以及动切力等重要流变参数，这对保障安全、快速钻进具有重要意义。