关于丢番图方程(na)x+(nb)y=(nc)z(c=181，845)的解

管 训 贵

(泰州学院数理学院，江苏 泰州 225300)

1 引言及主要结论

(an)x+(bn)y=(cn)z，x，y，z∈N*

(1)

仅有解(x，y，z)=(2，2，2).这是至今远未解决的数论难题，目前的结果大都集中在n=1的情形，而对于n>1，只有为数不多的特殊情形被解决[2-13].

定理1 对任意的正整数n，丢番图方程

(19n)x+(180n)y=(181n)z，x，y，z∈N*

(2)

仅有解(x，y，z)=(2，2，2).

定理2 对任意的正整数n，丢番图方程

(837n)x+(116n)y=(845n)z，x，y，z∈N*

(3)

仅有解(x，y，z)=(2，2，2).

2 若干引理

引理1[14]方程(1)适合(x，y，z)≠(2，2，2)以及n>1的解(x，y，z，n)必满足下列条件之一：

(ⅰ) max{x，y}>min{x，y}>z；(ⅱ)x>z>y；(ⅲ)y>z>x.

引理2[15]方程(1)没有适合max{x，y}>min{x，y}>z以及n>1的解(x，y，z，n).

引理3 设2|b，a为素数，Legendre符号(c/a)=-1.若有1z>x以及n>1的解(x，y，z，n).

证明当y>z>x时，方程(1)可写成

ax=nz-x(cz-byny-z).

(4)

由于z>x，a为素数，故gcd(n，a)>1.设n=aun1，u≥1，gcd(n1，a)=1，此时(4)式成为

(5)

由此可见n1=1且x=u(z-x)，故(5)式可化为

byau(y-z)=cz-1.

(6)

对(6)式取模a，有cz≡1(moda).由Legendre符号的性质得1=(cz/a)=(c/a)z=(-1)z，故z≡0(mod 2).又m|(c2-1)，所以m|(cz-1)，而mbyau(y-z)，因此方程(1)没有适合y>z>x以及n>1的解(x，y，z，n).

引理4 若(a，b，c)=(2k+1，2k(k+1)，2k(k+1)+1)(k∈N*，k≡1，2(mod 4))，且a为不等于3的素数，则方程(1)没有适合y>z>x以及n>1的解(x，y，z，n).

证明易知，2|b.由k≡1，2(mod 4)知，a≡3，5(mod 8)，故Legendre符号

因为c2-1=(2k(k+1)+1)2-1=4k(k+1)(k2+k+1)，故可取奇数m=k2+k+1，此时m|(c2-1).

又由a为不等于3的素数，所以

gcd(m，ab)=gcd(k2+k+1，2k(k+1)(2k+1))=gcd(k2+k+1，(4k+2)(k2+k+1)-4k-2)= gcd(k2+k+1，-4k-2)=gcd(k2+k+1，2k+1)=gcd(4k2+4k+4，2k+1)=gcd(3，2k+1)=1.

根据引理3，方程(1)没有适合y>z>x以及n>1的解(x，y，z，n).

由引理4可得：

引理5 丢番图方程(19n)x+(180n)y=(181n)z(x，y，z∈N*)没有适合y>z>x以及n>1的解(x，y，z，n).

引理6[16]若(a，b，c)=(2k+1，2k(k+1)，2k(k+1)+1)(k∈N*)，且n=1，则方程(1)仅有解 (x，y，z)=(2，2，2).

由引理6可得：

引理7 丢番图方程19x+180y=181z(x，y，z∈N*)仅有解(x，y，z)=(2，2，2).

引理8[15]设p为奇素数，则当(a，b，c)=(p2-4，4p，p2+4)时，方程(1)没有适合x>z>y以及n>1的解(x，y，z，n).

引理9[17]设m为奇数，则当(a，b，c)=(m2-4，4m，m2+4)且n=1时，方程(1)仅有解(x，y，z)=(2，2，2).

由引理9可得：

引理10 丢番图方程837x+116y=845z(x，y，z∈N*)仅有解(x，y，z)=(2，2，2).

3 定理的证明

定理1的证明

根据引理1—2和引理7，只需研究方程(2)在n≥2且min{x，y}

情形1x>z>y.此时方程(2)可化为

180y=nz-y(181z-19xnx-z).

(7)

由于z>y，故gcd(n，180)>1.设n=2r3s5tn1，r+s+t≥0，gcd(n1，30)=1，则(7)式成为

(8)

由(8)式可知n1=1，且有

181z-19x2r(x-z)3s(x-z)5t(x-z)=22y-r(z-y)32y-s(z-y)5y-t(z-y).

(9)

情形1.1 若r=s=t=0，则由(9)式得

19x+180y=181z.

(10)

根据引理7，方程(10)仅有正整数解(x，y，z)=(2，2，2)，与x>z>y矛盾.故(10)式不成立.

情形1.2 若r=s=0，t>0，则由(9)式得y=t(z-y)，且有

19x5t(x-z)=181z-36y.

(11)

对(11)式取模19，得(-9)z≡(-2)y(mod 19).由Legendre符号的性质得(-1)z=(-9/19)z=(-2/19)y=1，故z≡0(mod 2).令z=2z1，则(11)式成为

19x5t(x-z)=(181z1+6y)(181z1-6y).

注意到gcd(181z1+6y，181z1-6y)=1，有19x|(181z1+6y)或19x|(181z1-6y)，但

19x>19z=192z1=361z1>(181+62)z1>181z1+62z1>181z1+6y>181z1-6y

是不可能的，因此(11)式不成立.

情形1.3 若r=t=0，s>0，则由(9)式得2y=s(z-y)，且有

19x3s(x-z)=181z-20y.

(12)

对(12)式取模19，得(-9)z≡1(mod 19).由Legendre符号的性质得(-1)z=(-9/19)z=1，故z≡0(mod 2).对(12)式取模3，有1≡(-1)y(mod 3)，得y≡0(mod 2).令z=2z1，y=2y1，则(12)式成为

19x3s(x-z)=(181z1+20y1)(181z1-20y1).

注意到gcd(181z1+20y1，181z1-20y1)=1，有19x|(181z1+20y1)或19x|(181z1-20y1)，但

19x>19z=192z1=361z1>(181+20)z1>181z1+20y1>181z1-20y1

是不可能的，因此(12)式不成立.

情形1.4 若s=t=0，r>0，则由(9)式得2y=r(z-y)，且有

19x2r(x-z)=181z-45y.

(13)

对(13)式取模19，有(-9)z≡7y(mod 19)，由Legendre符号的性质得(-1)z=(-9/19)z=(7/19)y=1，故z≡0(mod 2).

当r=1时，z=3y，此时(13)式成为19x2x-3y=1813y-45y.易知，185 303|(1813-45)，故185 303|(1813y-45y)，而185 30319x2x-3y，所以r≠1.

当r=2时，z=2y，此时(13)式成为19x22(x-2y)=1812y-45y.易知，8 179|(1812-45)，故8 179|(1812y-45y)，而8 17919x22(x-2y)，故r≠2.于是r≥3.

对(13)式取模8，有5z≡5y(mod 8)，即5z-y≡1(mod 8)，故z≡y(mod 2).结合z≡0(mod 2)，得z≡y≡0(mod 2).令z=2z1，y=2y1，则(13)式成为

19x2r(x-z)=(181z1+45y1)(181z1-45y1).

注意到gcd(181z1+45y1，181z1-45y1)=2，有19x|(181z1+45y1)或19x|(181z1-45y1)，但

19x>19z=192z1=361z1>(181+45)z1>181z1+45y1>181z1-45y1

是不可能的，因此(13)式不成立.

情形1.5 若r=0，s>0，t>0，则由(9)式得2y=s(z-y)，y=t(z-y)，且有

19x3s(x-z)5t(x-z)=181z-4y.

(14)

对(14)式取模19，有(-9)z≡4y(mod 19)，由Legendre符号的性质得(-1)z=(-9/19)z=(4/19)y=1，故z≡0(mod 2).类似情形1.2的讨论知，(14)式不成立.

情形1.6 若s=0，r>0，t>0，则由(9)式得2y=r(z-y)，y=t(z-y)，且有

19x2r(x-z)5t(x-z)=181z-9y.

(15)

对(15)式取模19，有(-9)z≡9y(mod 19)，由Legendre符号的性质得(-1)z=(-9/19)z=(9/19)y=1，故z≡0(mod 2).类似情形1.2的讨论知，(15)式不成立.

情形1.7 若t=0，r>0，s>0，则由(9)式得2y=r(z-y)=s(z-y)，且有

19x2r(x-z)3s(x-z)=181z-5y.

(16)

对(16)式取模19，有(-9)z≡5y(mod 19)，由Legendre符号的性质得(-1)z=(-9/19)z=(5/19)y=1，故z≡0(mod 2).对(16)式取模3，有1≡(-1)y(mod 3)，得y≡0(mod 2).令z=2z1，y=2y1，则(16)式成为

19x2r(x-z)3s(x-z)=(181z1+5y1)(181z1-5y1).

注意到gcd(181z1+5y1，181z1-5y1)=2，有19x|(181z1+5y1)或19x|(181z1-5y1)，但

19x>19z=192z1=361z1>(181+5)z1>181z1+5y1>181z1-5y1

是不可能的，因此(16)式不成立.

情形1.8 若r>0，s>0，t>0，则由(9)式得2y=r(z-y)=s(z-y)，y=t(z-y)，且有

19x2r(x-z)3s(x-z)5t(x-z)=181z-1.

(17)

对(17)式取模19，有(-9)z≡1(mod 19)，由Legendre符号的性质得(-1)z=(-9/19)z=1，故z≡0(mod 2).易知，7|(1812-1)，故7|(181z-1)，而719x2r(x-z)3s(x-z)5t(x-z)，因此(17)式不成立.

情形2y>z>x.根据引理5知，此情形(2)式不成立.定理1得证.

定理2的证明

根据引理1—2和引理10，只需研究方程(3)在n≥2且min{x，y}

情形1x>z>y.由(837，116，845)=(292-4，4×29，292+4)及引理8知，此情形(3)式不成立.

情形2y>z>x.此时方程(3)可化为

837x=nz-x(845z-116yny-z).

(18)

由于z>x，故gcd(n，837)>1.设n=3u31vn1，u+v≥1，gcd(n1，93)=1，此时(18)式成为

(19)

由此可见n1=1.

情形2.1 若n=3u(u≥1)，则3x=u(z-x).于是(19)式可化为

22y29y3u(y-z)=845z-31x.

(20)

对(20)式取模3，有(-1)z≡1(mod 3)，得z≡0(mod 2).对(20)式取模4，有1≡(-1)x(mod 4)，得x≡0(mod 2).令z=2z1，x=2x1，则由(20)式得

22y29y3u(y-z)=(845z1+31x1)(845z1-31x1).

注意到gcd(845z1+31x1，845z1-31x1)=2.

① 当2|x1时，由4|(845z1-31x1)可知，22y-1|(845z1-31x1).

若29|(845z1-31x1)，则(22y-1·29y)|(845z1-31x1)，但

22y-1·29y>22z·29z=116z=1162z1=13 456z1>845z1-31x1

是不可能的.

若29|(845z1+31x1)，3|(845z1+31x1)，则有

845z1-31x1=22y-1.

(21)

对(21)式取模5，有-1≡22y-1(mod 5)，即(2y)2≡-2(mod 5)，这是不可能的.

若29|(845z1+31x1)，3|(845z1-31x1)，则有

845z1+31x1=2·29y.

(22)

对(22)式取模5，有1≡2·4y(mod 5)，即(2y+1)2≡2(mod 5)，这也是不可能的.

若29|(845z1+31x1)，则(22y-1·29y)|(845z1+31x1)，但

22y-1·29y>22z·29z=116z=1162z1=13 456z1>845z1+31x1

是不可能的.

若29|(845z1-31x1)，3|(845z1+31x1)，则有

845z1-31x1=2·29y.

(23)

对(23)式取模5，有-1≡2·4y(mod 5)，即(2y+1)2≡-2(mod 5)，这是不可能的.

若29|(845z1-31x1)，3|(845z1-31x1)，则有

845z1+31x1=22y-1.

(24)

对(24)式取模5，有1≡22y-1(mod 5)，即(2y)2≡2(mod 5)，这也是不可能的.

因此(20)式不成立.

情形2.2 若n=31v(v≥1)，则x=v(z-x).于是(19)式可化为

22y29y31v(y-z)=845z-27x.

(25)

对(25)式取模4，有1≡(-1)x(mod 4)，得x≡0(mod 2).再对(25)式取模8，有5z≡3x≡1(mod 8)，得z≡0(mod 2).令z=2z1，x=2x1，则由(25)式得

22y29y31v(y-z)=(845z1+27x1)(845z1-27x1).

注意到gcd(845z1+27x1，845z1-27x1)=2.

① 当2|x1时，由4|(845z1-27x1)可知，22y-1|(845z1-27x1).

若29|(845z1-27x1)，则(22y-1·29y)|(845z1-27x1)，但

22y-1·29y>22z·29z=116z=1162z1=13 456z1>845z1-27x1

是不可能的.

若29|(845z1+27x1)，31|(845z1+27x1)，则有

845z1-27x1=22y-1.

(26)

对(26)式取模5，有-2x1≡22y-1(mod 5)，由Legendre符号的性质得1=(-2x1/5)=(22y-1/5)=(2/5)=-1，矛盾.

若29|(845z1+27x1)，31|(845z1-27x1)，则有

845z1+27x1=2·29y.

(27)

对(27)式取模5，有2x1≡2·4y(mod 5)，由Legendre符号的性质得1=(2x1/5)=(2·4y/5)=(2/5)=-1，矛盾.

若29|(845z1+27x1)，则(22y-1·29y)|(845z1+27x1)，但

22y-1·29y>22z·29z=116z=1162z1=13 456z1>845z1+27x1

是不可能的.

若29|(845z1-27x1)，31|(845z1+27x1)，则有：

845z1+27x1=22y-1·31v(y-z)，

(28)

845z1-27x1=2·29y.

(29)

对(29)式取模7，有5z1-(-1)x1≡2(mod 7)，即5z1≡1(mod 7)，由Legendre符号的性质得1=(1/7)=(5/7)z1=(-1)z1，故z1≡0(mod 2).

将(28)与(29)式相加得

845z1=22y-2·31v(y-z)+29y.

(30)

对(30)式取模31，有8z1≡(-2)y(mod 31)，由Legendre符号的性质得1=(8/31)z1=(-2/31)y=(-1)y，故y≡0(mod 2).再对(29)式取模13，有-1≡2·3y(mod 13)，由Legendre符号的性质得1=(-1/13)=(2·3y/13)=(2/13)=-1，矛盾.

若29|(845z1-27x1)，31|(845z1-27x1)，则有

845z1+27x1=22y-1.

(31)

对(31)式取模13，有1≡22y-1(mod 13)，由Legendre符号的性质得1=(1/13)=(22y-1/13)=(2/13)=-1，矛盾.

因此(25)式不成立.

情形2.3 若n=3u31v(u≥1，v≥1)，则3x=u(z-x)，x=v(z-x).于是(19)式可化为

22y29y3u(y-z)31v(y-z)=845z-1.

(32)

对(32)式取模3，有(-1)z≡1(mod 3)，得z≡0(mod 2).因47|(8452-1)，故47|(845z-1)，但4722y29y3u(y-z)31v(y-z)，因此(32)式不成立.定理2得证.