3-李代数的3种理想

白瑞蒲，周 檬，赵勇涛

(1.河北大学数学与信息科学学院，河北 保定 071002；2.河北省机器学习与智能计算重点实验室，河北 保定 071000；3.河北软件职业技术学院软件技术系，河北 保定 071000)

1 预备知识

3-李代数[1-3]在很多领域有着广泛的应用.本文对3-李代数的结构进行研究，在3-李代数中提出新的概念：Perfect理想、Near Perfect理想以及Upper Bounded理想，并对其结构进行了研究.

3-李代数[1]L是域F上具有线性运算[，，]：L∧L∧L→L的线性空间，且满足∀x1，x2，x3，y2，y3∈L，

[[x1，x2，x3]，y2，y3]=[[x1，y2，y3]，x2，x3]+[x1，[x2，y2，y3]，x3]+[x1，x2，[x3，y2，y3]].

如果L的子空间I满足[I，L，L]⊆I，则称I是L的理想.对任意自然数k，记：

L(0)=L，L(1)=[L，L，L]，…，L(k)=[L(k-1)，L(k-1)，L(k-1)]；

L0=L，L1=[L，L，L]，…，Lk=[Lk-1，L，L].

由上述定义可知L(k)和Lk分别为L的理想，且满足：

L(0)⊇…⊇L(k-1)⊇L(k)⊇L(k+1)⊇…；L0⊇L1⊇…⊇Lk-1⊇Lk⊇Lk+1⊇….

如果存在自然数k，使得L(k)=0，则称L为可解3-李代数；如果存在自然数s使得Ls=0，则称L是幂零3-李代数[2].当dimL<∞时，存在自然数a，b，使得L(a-1)≠L(a)=L(a+1)，Lb-1≠Lb=Lb+1，则称a为L的导序列长度，b为L的下降中心列长度.

2 主要结论

2.1 Perfect理想与Near Perfect理想

定义2.1 设I是3-李代数L的理想.若I满足I=[I，I，I]，则称I是L的Perfect理想.

例2.1 设L=A1⨁…⨁An是域F上4n维3-李代数，n≥2.{ei1，ei2，ei3，ei4|1≤i≤n}是L的一组基，其中ei1，ei2，ei3，ei4分别为Ai的基，1≤i≤n.L的乘法为[ei2，ei3，ei4]=ei1，[ei1，ei3，ei4]=ei2，[ei1，ei2，ei4]=ei3，[ei1，ei2，ei3]=ei4，[Ai，Aj，L]=0，1≤i≠j≤n.则每个Ai(1≤i≤n)都是A的Perfect理想.

定理2.1 如果I，J是L的Perfect理想，那么I+J也是L的Perfect理想.

证明因为I和J都是L的理想，所以I+J是L的理想，且[I+J，I+J，I+J]=[I，I，I]+[J，J，J]=I+J，所以I+J也是Perfect理想.

记L的极大Perfect理想为P(L).

定理2.2 设L的导序列长度为a，则L(a)=P(L).因此，L可解的充要条件是P(L)=0.

证明由L(a)的定义可知，L(a)是L的Perfect理想，所以L(a)⊆P(L)=[P(L)，P(L)，P(L)]⊆[L，L，L]=L(1).对k用归纳法，假设P(L)⊆L(k-1)，从而P(L)⊆[L(k-1)，L(k-1)，L(k-1)]=L(k).所以P(L)⊆L(a)，证得P(L)=L(a).

定理2.3 设I是L的Perfect理想，则在L/I的Perfect理想与L包含I的Perfect理想之间存在一一对应，且对包含I的理想J，J/I是L/I的Perfect理想，当且仅当J是L的Perfect理想.

证明对包含I的理想J，如果J是Perfect理想，易见J/I是L/I的Perfect理想.

反之，如果J/I是L/I的Perfect理想，任取y∈J，∃y1，y2，y3∈J，使得

y+I=[y1+I，y2+I，y3+I]=[y1，y2，y3]+I，

因此y=[y1，y2，y3]+u，u∈I.对于I⊆J，I=[I，I，I]，有y∈[J，J，J]，所以J=[J，J，J].

定理2.4 对任意3-李代数L，L/P(L)是可解3-李代数.

证明因为P(L)是L的极大Perfect理想，由定理2.3可知，L/P(L)没有真Perfect理想.因此P(L/P(L))=0.再由定理2.1可知，L/P(L)是可解的.

设d是商代数L/P(L)的导序列长度，即

(L/P(L))(0)⊇…⊇(L/P(L))(d-1)≠(L/P(L))(d)=0.

定理2.5 设a是L的导序列长度，d是L/P(L)的导序列长度，则a=d.

证明对自然数k用归纳法可知，(L/P(L))(k)=L(k)/P(L)，从而

(L/P(L))(d)=L(d)/P(L)=0，L(d)⊆P(L)=L(a)，

得到d≥a.又因为d≤a，所以a=d.

定理2.6 设L是特征为零的代数闭域F上非单的3-李代数，dimL=4，5，则P(L)=0.

证明利用文献[4]中引理3.1和定理3.2直接计算可得出结论.

定义2.2 如果L的理想I满足I=[I，L，L]，则称I是L的Near Perfect理想.

例2.2 设L是域F上具有乘法[e1，e3，e4]=e1，[e2，e3，e4]=e2的4维3-李代数，其中e1，e2，e3，e4是L的一组基.则I=Fe1和J=Fe2分别为L的Near Perfect理想.

与定理2.1的讨论类似，如果I，J是L的两个Near Perfect理想，则I+J也是L的Near Perfect理想.记L的极大Near Perfect理想为NP(L).

定理2.7 如果b是L的下降中心列长度，那么Lb=NP(L)，且L是幂零3-李代数的充要条件是NP(L)=0.

证明与定理 2.2的证明类似，此处略去.

定理2.8 设I是L的Near Perfect理想，则L/I的Near Perfect理想与L包含I的Near Perfect理想之间存在一一对应.且对包含I的理想J，J/I是L/I的Near Perfect理想，当且仅当J是L的Near Perfect理想.

证明与定理2.3的证明类似，此处略去.

设g是L/NP(L)的下降中心列长度.可得下列结论：

定理2.9 设b是L的下降中心列长度，则b=g.

证明与定理2.4讨论完全类似，此处略去.

定理2.10 设L是特征为零的代数闭域F上的3-李代数，dimL=4，5.如果L是非幂零的且非单的，则NP(L)=L1.

证明利用文献[4]中引理3.1和定理3.2，直接计算可得结论.

2.2 Upper Bounded理想

设I是3-李代数L的理想，记

U(I)={x∈L|[x，L，L]⊆I}.

显然I⊆U(I)，且U(I)也是L的理想.例如0是L的一个理想，U(0)是L的中心，即

U(0)={x∈L|[x，L，L]=0}=Z(L).

定义2.3 如果I是3-李代数L的满足I=U(I)的理想，则称I为L的Upper Bounded理想.

定理2.11 设I和J是L的两个Upper Bounder理想，那么I∩J也是L的Upper Bounded理想.

证明显然I∩J是L的理想.对任意x∈L，如果[x，L，L]∈I∩J，则[x，L，L]∈I，[x，L，L]∈J.因为I和J是L的Upper Bounder理想，由定义2.3可知，x∈I且x∈J，所以x∈I∩J.证得I∩J是L的Upper Bounded理想.

记UB(L)是L的最小Upper Bounder理想.

对任意自然数k，定义Uk+1(0)=U(Uk(0))，且规定U0(0)=0.得到上升中心列

0=U0(0)⊆U1(0)⊆…⊆Uk-1(0)⊆Uk(0)⊆Uk+1(0)⊆….

设dimL<∞，则存在c，使得Uc-1(0)≠Uc(0)=Uc+1(0)，称c为L的上升中心列长度.

定理2.12 如果c是L的上升中心列长度，则Uc(0)=UB(L).

证明设I是L的任意一个Upper Bounded理想，因为0⊆I，所以U1(0)=U(0)⊆U(I)=I.假设Uk(0)⊆I，则Uk+1(0)=U(Uk(0))⊆U(I)=I，得到Uc(0)⊆I.由I的任意性，有Uc(0)=UB(L).

定理2.13 如果L是幂零3-李代数，则L是3-李代数L的唯一的Upper Bounded理想.

证明如果[L，L，L]=0，易见L是唯一的Upper Bounded理想.如果[L，L，L]≠0，设I是L的任意一个真理想.因为L是幂零3-李代数，所以商代数L/I是幂零3-李代数.由Engle定理和李定理可知，存在L/I中的非零向量x0+I，满足对任意x，y∈L，ad(x，y)(x0)+I=I，所以[x0，L，L]⊆I.但是x0∉I，因此I不是Upper Bounded理想.证得L是唯一的Upper Bounded理想.

定理2.14 如果NP(L)=0，那么UB(L)=L.

证明利用定理 2.7 可知，如果NP(L)=0，则L是幂零的3-李代数.再由定理2.13，L是唯一的Upper Bounded理想，所以UB(L)=L.

定理2.15 设L是非幂零的3-李代数，dimL=4，5.则UB(L)=Z(L).

证明利用文献[4]中引理3.1和定理3.2直接计算可得结论.