模糊数比较与排序的风险方法

魏思瑶，郭嗣琮,2

（1.辽宁工程技术大学 理学院，辽宁 阜新 123000；2.辽宁工程技术大学 智能工程与数学研究院，辽宁 阜新 123000）

0 引言

在模糊多属性决策问题中，模糊数的比较与排序是一个重要的问题.由于模糊数具有不确定性，模糊数的排序问题也变得比较繁杂，至今人们已经提出很多种排序的原则与方法.JAIN R[1]首次在解决模糊决策问题时遇到模糊量的排序问题并提出一种排序方法.BASS S M[2]等定义了模糊优先关系，峰值最大的模糊集为最佳选择，但其最大的缺陷为分辨力不够，有时会导致与直觉相反的结论.YAGER R R[3-4]分别定义了F1、F3模糊集效用函数，但这两个指标只考虑了模糊集的中心趋向，而没有考虑模糊集的扩散程度.LI R J[5]等把模糊集的排序方法划分为可能性密度型和可能性质量型两个部分，并借助于模糊事件概率测度的概念定义了模糊集的均值和标准偏差，在此基础上提出模糊集综合排序指标.BUCKLEY J[6]提出基于α-截集的排序方法，但此方法只适用于模糊集之间互不重叠的情况.SAADE J J[7]等将模糊极大集分解为左极大集和右极大集两部分，与传统的决策模式相对应，该方法考虑了三种不同的决策判据：乐观型、悲观型和综合型，但决策判据也是由人类主观决定的.CHENG C H[8]提出一种基于质心指标的模糊数排序方法，而对称中心相同的两个对称模糊数不能作出合理判断.

上述研究中的排序方法或多或少存在着不足，因为模糊数具有不确定性，通常任何一种排序的结论都会伴随着错误的风险.因而，本文提出一种基于风险最小化的模糊数排序方法，该方法有效利用模糊数的分布特征信息，不仅仅给出模糊数组的排序，同时也指出了该排序结论的风险度与可信度.

1 模糊数排序的风险问题

对于图1（a）形式有a2

图1 三种模糊数分布形式Fig.1 three distribution forms of fuzzy numbers

从上述的分析可以看出，在模糊数比较与排序中，如果两个模糊数、的承集不相交，则命题>和>必有一个恒为真；当两个模糊数的承集相交时，在区间∩上，无论是命题>或者>都存在着风险.

在模糊多属性决策中，经常会面临结论为模糊数的排序问题，如果多个模糊数两两不相交，则排序结果很容易得出.但是，当模糊数相交时，任何一种排序结果都存在着误判的风险.因此，引出以下问题：一是如何模糊数排序风险计算，二是如何基于风险对模糊数进行排序并使之风险达到最小.

因此，本文针对模糊数排序中的不确定性，首先定义基于模糊分布的排序风险，并给出了排序风险的计算方法，在此基础上给出了基于风险最小化的模糊数排序法，该方法可运用于解决模糊多属性决策的方案排序问题.

2 两个模糊数的排序风险

定义 1设隶属函数分别为可以生成2R上的二维模糊集定义其隶属函数为

用实数x和y分别表示模糊数的可能取值，因此，模糊数所有可能取值(x,y)为图2中的矩形域的区域

图2 模糊数所有可能取值区域Fig.2 all possible values of fuzzy numbers

其面积为M= (a2−a1) ⋅(b2−b1).

直线y=x将矩形域分成 2个部分.若模糊数和的实际取值(x,y)落于区域D1中，命题为真（或命题为假）；若取值(x,y)落于区域D2中，命题为假（或命题为真）.因此，在模糊数具有交集的情况下，无论给定模糊数的哪一种排序，都会有误判的可能性存在.

显然，如果模糊数在中以及在中取值都是等可能的，则命题“”会产生错误的风险取决于区域D1的面积占区域[a1,a2]×[b1,b2]的面积比例；命题“”会产生错误的风险取决于区域D2的面积占区域[a1,a2]×[b1,b2]的面积比例.如果用M(D)表示平面上区域D的面积（测度），α为一个序关系命题，用ρ(α)表示误判命题α的可能性，对于上述情况，有

定义 2设模糊数的隶属函数为μA~(x)，D为任意的实数区间，称

为模糊数在区域D上的可能性测度.

由定义2易看出，模糊数在区域D上的可能性测度就是概率测度.

定 义 3设和分别为模糊数的所有可能取值，对于给定的排序命题“”，其产生错误的风险

由式（10）和式（11）亦可看出

容易证明，模糊数排序风险度具有如下基本性质：

（1）ρ∈ [ 0,1]；

基于上述的讨论，可以提出基于风险度最小化的两个模糊数排序原则：

定 义 4称为 排 序的可信度.

3 多个模糊数的风险排序

定义5设j= 1 ,2,… ,n)表示两两模糊数排序命题的风险度，称矩阵P=[ρij]n×n为模糊数组的风险排序矩阵.

4 算例

图3 三角模糊数的隶属函数Fig.3 membership function of triangular fuzzy numbers

按照本文提出的方法，首先联合模糊测度构建

模糊风险定序判定矩阵为

计算风险序值，得Q1=0.5+0.530 9+0.747 6=1.778 5，Q2=1.679 4，Q3=1.042 1，则有Q3

所以，根据风险最小原则得到模糊数的排序为

由式（15），其排序的综合风险度为

为说明本文的方法得出了合理的排序，在本节中，使用不同的方法对模糊数进行排序.

尽管有许多排序方法，但在任何情况下都没有人能够凭直觉对模糊数进行一致的排序.在表1中，省略计算过程直接给出了获得的结果.从表1可知，因为表格中方法的一些局限性，文献[15]方法的排序结果为以及文献[12]方法的排序结果为与本文的方法不用，其他的方法与本文方法的排序结果都相同，排序结果均为在算例中获得的结果证明了本文方法的有效性.正如在算例中所看到的，所提出的方法的主要优点是它可以提供正确的模糊数的排序风险，并且很容易计算.

表1 多种排序方法比较结果Tab.1 compare results by multiple sorting methods

5 结论

（1）本文方法重要意义在于对排序结论客观存在的风险进行了度量，这对于不确定性决策问题有着较大的实用价值和应用价值.

（2）基于风险的模糊数排序方法同时也适用于各种其他形式模糊数的排序，例如，梯形模糊数、二型模糊数等，为研究模糊决策中模糊数排序问题应用领域开拓了新思路.