多复变差分Clunie型定理

武王宁，曹廷彬

(南昌大学数学系，江西 南昌 330031)

1 引言与主要结果

首先介绍一些多复变的Nevanlinna理论的相关定义。

令z=(z1，…，zm)∈m，‖z‖2=

Bm(r):={z∈m:‖z‖

1962年，Clunie[1]得到了如下引理:如果w(z)是复平面上的一个亚纯函数使得微分方程

wnP(z，w)=Q(z，w)

成立，其中n∈，P(z，w)和Q(z，w)是系数为亚纯函数的关于w(z)和w′(z)的多项式且degQ(z，w)≤n。那么

m(r，P(z，w))=O(logr+logT(r，w)+T(r))

其中r→∞除去有限个线性测度集合，T(r)是P(z，w)和Q(z，w)的系数的特征函数的最大值。这个结果在复微分方程的值分布研究中是一个很重要的工具，之后许多学者在此基础上进行了推广[2-8]。2006年，Halburd-Korhonen[9]证明了上述Clunie引理的差分版本(即P(z，w)和Q(z，w)是系数为亚纯函数的差分多项式且w(z)是有穷级的亚纯函数)，可以用于研究差分方程[10-11]的值分布问题。Laine-Yang[12]随后将其推广得到了更一般的结果:令w(z)是上的一个有穷级为ρ=ρ(w)的亚纯函数且使得微分方程

U(z，w)P(z，w)=Q(z，w)

成立，其中U(z，w)，P(z，w)和Q(z，w)是关于w(z)和w(z+c1)，w(z+c2)，…，w(z+ck)的差分多项式且degU(z，w)=n，degQ(z，w)≤n。如果U(z，w)，P(z，w)和Q(z，w)的系数为关于w(z)的小函数且U(z，w)只包含最大总次数的一项。那么对于任意的ε>0，

m(r，P(z，w))=O(rρ-1+ε)+ο(T((r，w)))

其中r→∞除去有限个对数测度集合。虽然此定理覆盖了很多方程，但不适用于差分Painlevé Ⅳ方程。为此，Korhonen[13]证明了一个新的差分Clunie型定理可以包含差分Painlevé Ⅳ方程。最近，Cao-Xu[14]把Laine-Yang[12]的差分版本的Clunie定理从单复变推广到了多复变。为此，我们考虑是否可以把Korhonen[13]得到的新的差分Clunie型定理从单复变推广到多复变。

定义复偏差分多项式如下:

w(z+cm)λm

(1.1)

其中aλ(z)关于m上的一个亚纯函数w(z)的小函数，ci∈m{0}(i=1，…，m)，I是一个有限的多指标集合。P(z，w)在w(z)和w(z+ci)(i=1，…，m)的总次数记为degw(P)，P(z，x0，x1，…，xm)在x0=0处关于变量x0的零点的阶记为ord0(P)。定义P(z，w)的权为κ(P)=

P(z，w)=w(z)3+w(z+1)w(z)2

degw(P)=3，ord0(P)=2，κ(P)=1。如果(1.1)中每一项的次数dλ=λ0+…+λn是非零且各项总次数均相同，则称P(z，w)是齐次多项式。

我们采用[13]中相同方法，得到了如下两个定理:

定理1令w(z)是m上的一个亚纯函数且使得

H(z，w)P(z，w)=Q(z，w)

成立，其中P(z，w)是一个系数为亚纯函数的齐次偏差分多项式，H(z，w)和Q(z，w)是系数为w(z)函数的关于w(z)的多项式且没有公因子。如果

max{degw(H)，degw(Q)-degw(P)}>

min{degw(P)，ord0(Q)}-ord0(P)

那么

N(r，w)≠ο(T((r，w)))

定理2令w(z)是m上的一个亚纯函数且使得

H(z，w)P(z，w)=Q(z，w)

成立，其中P(z，w)是一个系数为亚纯函数的齐次偏差分多项式，H(z，w)和Q(z，w)是系数为亚纯函数的关于w(z)的多项式且没有公因子。如果

2κ(P)≤max{degw(Q)，degw(H)+degw(P)}-min{degw(P)，ord0(Q)}

那么

m(r，w)=o(T(r，w))+O(T(r))

2 引理

引理1[14]令f(z)是m上的一个亚纯函数且那么对于所有的c∈m{0}，我们有

o(T(r，f))

T(r)≤T(r+Φδ(r))≤

根据上述引理，Cao-Xu[14]得到了N(r，f(z))和N(r+L，f(z))之间的关系，在我们定理的证明中起到了至关重要的作用。

引理3[14]令f(z)是m上的一个亚纯函数且那么对于所有的与r无关且大于0的常数L，我们有

N(r+L，f(z))=N(r，f)+o(N(r，f))

引理4[16]令f(z)是m上的一个非常数亚纯函数，假设

3 定理的证明

3.1 定理1的证明

首先我们假设N(r，w)=ο(T((r，w)))。在(1.1)式中令L=maxj=1，…，m{||cj||}，由引理3我们可以得到

ord0(P))N(r+L，w)=(degw(P)-

ord0(P))N(r，w)+ο(T((r，w)))=ο(T((r，w)))

根据引理4，有

ord0(P))T(r，w)+ο(T((r，w)))

所以

(3.1)

另一方面，因为P(z，w)是一个齐次的偏差分多项式，所以由引理1可得

(3.2)

(3.3)

其中dw=max{degw(Q)，degw(H)+degw(P)}-min{degw(P)，ord0(Q)}

(3.4)

结合(3.2)，(3.3)，考虑假设条件

max{degw(H)，degw(Q)-degw(P)}>min{degw(P)，ord0(Q)}-ord0(P)

便有

3.2 定理2的证明

在(1.1)中令L=maxj=1，…，m{‖cj‖}，则由引理3有

另一方面，在定理1的证明中，由(3.2)和(3.3)可知

结合上面两式以及假设

2κ(P)≤max{degw(Q)，degw(H)+

degw(P)}-min{degw(P)，ord0(Q)}=dw

可得对于任意的r∉E2∪E3，m(r，w)=o(T(r，w))+O(T(r))。