三层流体中入射波作用下直立圆柱支撑圆板的水弹性响应

龚逸纲，卢东强,2,3，浦俊

(1.上海大学 力学与工程科学学院，上海 200072；2.上海市应用数学和力学研究所，上海 200072；3.上海市能源工程力学重点实验室，上海 200072)

海洋超大型浮式结构物(very large floating structures，VLFS)作为一个远离陆地、稳固可靠的海上基地，对存储、开采海洋能源以及军事防护都有重大意义，引起了学者的广泛关注。超大型浮式结构的厚度远小于水平方向的尺寸，使它的弯曲刚度变得较小，在入射波浪和其他外加载荷作用下其水弹性响应十分重要。在理论研究中，通常运用Kirchhoff-Love薄板理论进行分析[1-2]。对于二维问题，则将其视作为Timoshenko和Woinwsky-Krieger弹性梁模型。Watanabe[3]、赵存宝等[4]提出了采用中厚度板理论，可以避免采用Kirchhoff-Love板理论时应力合力不准确的问题。本文将VLFS简化为弹性薄板模型，固结一根贯穿海洋深度的直立圆柱来固定它的刚体位移，同时起到一定的支撑作用。在数学上，外载荷与弹性薄板互相作用这一问题，在不可压势流理论的框架下可以归结成为一个Laplace方程初边值问题，常见的求解途径分为频域解法与时域解法。

频域分析适合于线性稳态问题，主要有模态分析法与本征函数展开法2类。Wu等[5]在计算有限长弹性板在有限水深下的水动力响应时，将板的刚体运动和弯曲变形用梁的自然模态展开，然后解出流体相应的绕射势和辐射势，再运用Bernoulli方程计算出流体压强，最后根据梁方程计算出每个模态的振幅。Kashiwagi[6]将板的垂向位移用梁的自然模态展开，将压力用B样条函数展开，通过Galerkin方法得到压力表达式系数，计算高效且准确性较高，成为工程实际中广泛应用的一种方法。模态分析法的难点在于模态函数的选取，不同模态函数的选取对应的计算时间差异很大。本征函数展开法则是在只考虑结构物水弹性响应而不考虑刚体位移的前提下，将速度势函数通过分离变量法展开，其关键就是求解展开的速度势函数中未知系数。Sahoo等[7]构造了内积关系式，使得本征函数在新内积意义下具有正交性，简化了计算。Xu等[8]验证了直接使用开阔水域的垂向本征函数可以得到更高的计算效率。

对于实际的密度分层海洋，两层流体是常见的简化模型。Linton等[9]基于线性水波理论考虑了二层流体中波浪和水平放置圆柱的相互作用并运用多极展开法进行求解。Lin等[10]研究了有限深两层流体中固结在浮冰中的直立圆柱的绕射问题，讨论了表面波模态和界面波模态入射时，不同波模态对圆柱体的水平作用力和弯矩的影响。Lin等[11]认为在二层有限深流体中内波入射下，弹性板的存在会使2种波模态之间的能量交换增加。更精细地看，海洋是一种三层式的布局。表层密度变化十分缓慢，随着深度不断增加，在一个深度密度梯度突然增大，出现一个密度跃层，最后密度变化又趋于平缓。Rusås等[12]提出了一种基于积分方程的完全非线性数值格式，研究了在三层流体中水平传播的界面对称孤立波。Meng等[13]探究了三层流体中漂浮的弹性薄板受到波浪引起的水弹性响应。浦俊[14]研究了三层流体中斜入射波作用下半无限板的水弹性响应，得到了不同波模态入射时的临界入射角。对于弹性板—直立圆柱模型，Meng等[15]导出了多层流体漂浮多模块板的水弹性波色散关系。

本文将海洋简化为三层密度不同的均匀流体，下层流体密度大于上层。同时在界面处密度发生突变，并有界面波入射，其中，第2层流体是为了考虑密度跃层的影响而假定的一层流体。

1 数学模型建立

本文主要讨论三层流体中入射重力波与直立圆柱支撑弹性圆板复合结构的相互作用。如图1所示，采用三维柱坐标系，取竖直向上的为z轴，并将圆盘的中心设为坐标的原点。弹性圆板与直立圆柱的连接方式为固支，直立圆柱被视为刚体。弹性圆板的厚度为d，半径为R，直立圆柱的半径为a。将z=0,-H1,-H2,-H3分别定义为平静水面、第1层流体与第2层流体的交界(上界面)、第2层流体与第3层流体的交界(下界面)以及水底。不同层流体之间有明显且稳定的界面。第1层流体(-H1ρ2>ρ1，每层流体的厚度为hm(m=1,2,3)。将整个水域划分为开阔水域(R

图1 三层流体中重力波与圆形弹性板及直立圆柱相互作用

本文基于势流理论，假设流体理想且不可压，运动无旋。令Φm(r,θ,z,t)(m=1,2,3)为第1、2、3层流体速度势函数，ξm(r,θ,t)(m=1,2,3)为自由水面、上下界面的铅垂位移。将时间自变量t从上述变量中分离出来，得到：

Φm(r,θ,z,t)=Re[φm(r,θ,z)eiωt]

(1)

ξm(r,θ,t)=Re[ξm(r,θ)eiωt]

(2)

速度势函数φm(r,θ,z)在整个流域内满足Laplace方程:

(3)

其中：

(4)

一阶近似下的自由水面边界条件为：

(5)

板覆盖区水面边界条件为：

a≤r

(6)

式中：D为弹性圆板的抗弯刚度；Me=ρed为弹性圆板单位面积上的质量。

水底的非渗透条件为：

(7)

在各层流体之间的界面处流体速度、压力满足连续性条件:

(8)

z=-Hn,a≤r<∞

(9)

式中：γn=ρn/ρn+1;n=1,2。

考虑弹性圆板的外缘是自由端，即在r=R处，弹性圆板的力与弯矩为零，在r=a处，直立圆柱与弹性圆板固支，因此其位移与转角为0。

(10)

(11)

ξ1=0，r=a

(12)

(13)

在板覆盖区与开阔水域的交界处，即r=R处，速度势满足压力与速度连续的匹配条件为：

φm|r=R-=φm|r+R+，m=1,2,3

(14)

(15)

在直立圆柱的侧面，流体与固体之间没有间隙，因此不能有沿圆柱法向的速度分量：

(16)

2 数学模型求解过程

色散关系满足方程[13]：

(17)

其中具体参数定义以及垂向本征函数表达式见文献[13]。

为简洁，将速度势函数φm写成分段函数形式:

(18)

(19)

(20)

(21)

其中:

(22)

(23)

为了得到上述复系数，将展开后的速度势函数代入弹性圆板与直立圆柱在z=0处的边界条件(10)～(13)。

根据垂向本征函数的正交性，引入垂向本征函数的内积定义为：

(24)

其中下标取值范围为l,n为01,02,03,1,2,3,…。可以通过计算验证在l≠n时，Pln=0。首先将速度势函数代入匹配条件(14)、(15)以及直立圆柱侧面边界条件(16)。再将本征函数Zl(z)(l=01,02,03,1,2,3,…)分别对上述匹配条件与直立圆柱侧面边界条件做内积：

l为01,02,03

(25)

l=i=1，2,…

(26)

l为01,02,03

(27)

l=i=1，2,…

(28)

l为01,02,03

(29)

l=i=1，2,…

(30)

对无穷累加项i,j做截断，取i=1,2,…,M;j=I,II,1,2,…,M以及n=-N,…,-1,0,1,…,N。M、N为正整数。根据上述边界条件及匹配条件得到一个(2N+1)(3M+13)维的方程组，相应的未知系数为(2N+1)(3M+13)个，方程封闭。通过求解该方程组，求解出待定系数，可以解出速度势函数表达式，从而进一步得出其他物理量的值。

在得到了整个流场内势函数表达式之后，可以进一步分析弹性圆板与直立圆柱这2个结构物上的受力情况。根据本文所采用的线性势流理论，直立圆柱侧面(r=a)处的任意一点的动压可以根据线性化后的Bernoulli方程给出。

3 数值结果与讨论

为不失一般性，取流场深度H3，重力加速度g以及上层流体的密度ρ1做无量纲化。后文中出现的物理量均为无量纲化后的物理量。

采用上述方法进行数值运算。弹性圆板的参数数值为E=1.2×106，ν=0.3，ρe=0.9，d=0.01。流场中流体参数为γ1=γ2=0.9，h1=h2=0.2,h3=0.6。首先对求解的正确性进行检验并判断收敛性。正确性的判据选取为检验开阔水域与板覆盖区在交界处的波流能守恒。参考文献[16]，波流能εf可以表示为：

(31)

在M=5，N=15，R=4，a=1，ω=0.5，d=0.01的算例中，相对误差为：

(32)

对于衰减模态项数的截断参数M,当M≥5时，衰减模态对结果的影响就可忽略不计，本文后续计算均在M=7下进行。对于Bessel函数阶数截断参数N，数值的收敛性随ω的变化而变化。在ω较小时，如ω=0.5，N=10便已经收敛，但在ω=2 时，N=20才能达到收敛。本文后续计算全部取N=20。

图2展示了在不同入射频率ω下上界面上竖直位移的幅值。在ω=0.1时，波受到直立圆柱的干扰较小，但当ω增大到1时，直立圆柱的存在对后面的流场产生了很大的影响，符合低频长波绕射能力强，对下游的影响更大。同时，随着频率的增加，直立圆柱一周的竖向位移不断减小。

图3展示了在表面波模态入射时，不同板厚d,密度比γ和每层流体的厚度h下，表面、上下界面θ=π处的竖直位移幅值，其中选定ω=0.5，ζ1=0.01，ζ2=ζ3=0。当板厚d不断变大时，弹性板的抗弯刚度不断增加，因此板的挠度更小同时板覆盖区的波幅也相对较小，在x=-1处满足弹性圆板与直立圆柱的固结条件，同时因为抗弯刚度的增加，使得开阔水域的波幅增大。当密度比γ变化时，板的挠度并没有明显的变化，但当密度比不断减小，明显在自由水面上激发了新的模态，波形变得更加粗糙，但在上下界面模态波数则不断变小，同时波幅有所增加。最后，当第1层与第2层流体的厚度不断增加时，表面波波形基本不变，上下界面处的波幅则变得更小，激发的模态波长也更长，表明在表面波模态入射时，上层流体越厚，传到下层的能量也就越少。

图4讨论了表面波模态入射时,不同半径直立圆柱、弹性圆板的径向压力s(a,θ)。图4(a)给出的是弹性圆板与直立圆柱半径基本相同的模型，可以看出，当直立圆柱的半径不断增大，受到的径向压力就越小，同时随着直立圆柱尺寸增加，圆柱后方压力分布变得更加复杂。在a=1时可以与图4(b)相较得出，板的存在吸收了部分的能量。

图4 表面波模态入射时，不同圆柱半径a与弹性圆板半径R下圆柱的径向压力s(a，θ)

图5为表面波模态入射时，不同入射频率ω下圆柱收到的切向压力q(z)。因为在界面上势函数并不连续,因此水平方向的压力会有突变。随着入射频率不断增加，水平方向压力减小，但当ω取很小的值，如ω=0.1，圆柱受到的压力更均匀，因此水平方向的压力就变得很小。

图5 表面波模态入射时，不同 ω下圆柱水平方向受到的压力q(z)

图6对比了同样波幅下表面、上下界面波模态分别入射时，各个界面θ=π处的竖直位移幅值。只有在表面波模态入射时，在表面上会引起较大的振幅，而当上下界面波模态入射时，在开阔水域会激起波数更大的新模态，但波幅更小。在板覆盖水域则在上下界面处引起较大的波幅，但板的挠度几乎为零。相比表面入射波，上下界面入射波所产生的水平方向压力与径向压力都要小得多，上表面波模态入射时，在第2层流体内，水平方向压力明显减小，与下表面波模态入射时相反。

图6 表面、上下界面波模态分别入射时，各个界面θ=π处的幅值以及圆柱所受到的径向压力与水平方向的压力

4 结论

1)衰减模态对于结果的贡献较小，在力、弯矩上基本可以忽略不计，在数值计算时并不需要考虑高阶项的影响。而Bessel函数的阶数对数值收敛性有影响，求解高频短波对阶数要求更高。

2)在低频长波入射时，行进波的绕射能力强，受到弹性圆板直立圆柱结构的影响很小; 当频率增加，模型对行进波的影响就越大。

3)表面波模态与界面波模态入射相比，引起的波幅在开阔水域各个界面上较大，但相应模态的波数越小。

4)在界面波模态入射时，有能量从界面波模态转移到了表面波模态。