一道解析几何模拟试题的探究与推广*

广东省中山市濠头中学(528437) 闫伟

圆锥曲线与直线的位置关系一直是高考的热点和难点,在很多圆锥曲线题目中都是探求一些特殊结论,这些结论看似特殊,实则都具普遍性,而且往往具有丰富的命题背景和深厚的内涵,研究此类试题不仅能够更好的把握解析几何的本质,还能透过试题挖掘隐含的命题规律,更能将其拓展到一般情况,从而提升学生数学思维,发展数学核心素养.下面借助GeoGebra 技术对一道解析联考试题的探究为例进行说明.

1 试题呈现与分析

题目(2021年佛山市一模) 已知椭圆1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),且过点A(−2,0).

(1)求椭圆C的方程;

(2)点P,Q分别在椭圆C和直线x= 4 上,OQ//AP,M为AP的中点,求证:直线OM与直线QF的交点在某定曲线上.

分析本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系、韦达定理以及椭圆中的动点轨迹问题等内容,能力层面突出考查学生的推理论证能力、运算求解能力以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力.试题结构清晰,问题设置层次分明,内涵丰富;试题第(2)问强化探究运算思路,选择运算方法,彰显数学运算和逻辑推理等核心素养,较好地检测了学生的学习潜能和数学素养.

2 解法探究

3 基于GeoGebra 的探究及反思

通过以上的分析和解答,直线OM与直线QF的交点在定圆上,那么该结果是偶然还是必然呢? 两直线交点的轨迹和题目中椭圆的参数a,b以及直线AP,FQ的位置有关系吗? 如果将参数a,b以及直线AP,FQ一般化,又会得到什么结果呢? 由于涉及到的运算和直线AP,FQ的方程较为复杂,探究两直线交点的轨迹有一定的难度,因此笔者借助于GeoGebra 平台进行探究,通过实验演示来找到与上述参数相关的定曲线方程,同时为后面的代数证明提供更加直观的思路支持.

4 推广结论,揭示本质

结论5-6 的证明因篇幅原因,在此不一一赘述,留给有兴趣的读者;根据有心二次曲线极点和极线的性质,我们将结论5-6 统一概括为:

结论7已知不平行于坐标轴的直线与有心二次曲线C交于A,B两点,M为AB的中点,点F异于曲线中心O且不在曲线C上的一点,点F关于曲线C的极线为l,点Q在直线l上,且OQ//AB,则直线OM与直线QF的交点恒在定曲线上.

极点与极线是解析几何中的一条重要性质,它在圆锥曲线问题的探究中有十分重要的应用,本文借助GeoGebra 平台对这一类动点轨迹问题的探究很好地佐证了这一点.

5 解后反思,总结提升

5.1 数学解题应强化运算能力的培养直线与圆锥曲线的综合问题一直是各类考试的热点和难点,因其灵活多变,常令学生望而生畏;当涉及到繁冗运算的考题,即使学生思路顺畅,都难于得出结果,因此如何提高解析几何的运算能力就至关重要;要解决复杂的几何运算,需要选择合适的算理;如解法1 中的设线法是解析几何中的常规方法,解法2利用动点坐标并借助向量运算来解题就显得相对简洁,解法3 则是借助中点弦的斜率性质解题,极大地降低了运算复杂度.其实优化解析几何的方法很多,比如,借用平面几何的性质、高等几何理论知识等,这就需要我们在平常的课堂教学中打破那种总是用直线和圆锥曲线联立的类似验证的惯性思维,尝试一题多解,寻求最优的解法.

5.2 数学解题应关注问题的本质本题依托高等几何中的极点极线知识命制而成,内涵深刻.其实很多高考题和模拟试题有着丰富的背景,不少都是从高等数学教材中选取的素材,以此为基础将其变抽象为具体,经加工与调整形成,这是常见的一种命题方式.在教学过程中,要引导学生揭去它们的神秘“面纱”,揭示它们的背景及本质,这样既能缩短解决同类问题的思维流程,更能激发学生的学习兴趣,培养他们深入思考问题,钻研问题的习惯,从而提高复习备考效率.