花样解法趣味多,分步破解能力升*——一道求值问题的多角度分析与解答

陕西省西安市陕西师范大学附属中学(710061) 曹艳 张锦川

中考中的多问题目大都是台阶式设置,按照第一问或者前两问的相关结论与规律来解答最后一问的问题.解决这类题目需要我们关注并辨别每一问结论及其之间的关系.在平时课堂中这类知识技能和解题策略我们提到的非常多,但是什么样的题目背景使用哪个方法往往是解题的关键.所以,解题方法的选择对题目的最终解答起着非常关键的推动作用.下面以一道实践探究的问题来谈谈解题方法的分析与选择.

【问题探究】

(1)如图1,在RtΔABC中,∠ACB=90°,请在AB上求作一点,使∠ADC=2∠B;

图1

(2)如图2,在菱形ABCD中,∠A=120°,AB=6,点P在对角线BD上,∠DPC=2∠CBD,求PD的长;

图2

【问题解决】

(3)如图3,四边形ABCD是某市政规划用地,现准备将其改造为市民休闲区,其中AC、BD为规划的小路(小路的宽度忽略不计),从大门的入口B到两条小路的交汇处P需要做特别处理,经测量,AD=DC=40米,∠ADC=90°,∠BCD=75°,O为AC的中点,且∠AOB=2∠ACB,请你求出两天小路的交汇处P到入口B的距离.

图3

分析与解答:

(1)本题中体现的是角的二倍关系,在初中阶段等腰三角形的外角与内角中会产生二倍关系,因此可以作BC的中垂线,与AB的交点即为点D(三角形外角等于和它不相邻的两个内角之和).此外,圆心角和圆周角的关系也是二倍关系,因此作ΔABC的外接圆圆心(AB的中点)，即为点D.

(2)由∠DPC=2∠CBD可知ΔBPC是等腰三角形,即有BP=CP.由∠A=120°得∠ABD=∠DBC=∠PCB=30°,∠BPC=120°,结合BC=AB=6 分析可知最后(也可以由∠PCD=90°,∠CPD=60°知

(3)是本题的落脚点,在四边形背景下,结合(1)(2)的解题经验巧妙分析二倍角关系是解决这个问题的关键.

角度1:细看角度作垂线

分析题目知,ΔADC是等腰直角三角形,∠ACD=45°,∠ACB=∠OBC=30°,进而可知ΔAOB是等边三角形,故有∠ABC=90°.如图4,连接OD得DO ⊥AC,BO=AO=CO=DO,可推得∠DOB=150°,∠DBO=15°,∠ABP=60°-15°=45°.(后面方法直接使用这几个角度)

作PH ⊥AB于点H,如图4,ΔBPH是等腰直角三角形,不妨设,而故由AB=AO得可得.

图4

角度2:三角函数显身手

预备知识:如图5,在含30°的直角三角形外部构造一个等腰三角形,根据勾股定理求出相应边长,从而得到.

图5

过点B作BQ ⊥AC于Q,如图6,连接DO,则DO ⊥AC,因此只要求出BD的长度,问题即可解决,下面求解BD的长度.

图6

过点D作DH ⊥ BA交BA的延长线于点H,由∠ABC=∠ADC=90°,知A、B、C、D四点共圆,∠ABD=∠ACD=45°,故ΔBDH是等腰直角三角形.结合∠DAH=75°得代入得.

上述方法运算量稍大,下面我们进行优化.

如图7,过点B作BQ ⊥AC于Q,易知∠QOB=60°,∠QBP=15°.RtΔBOQ中,结合得因此.

图7

角度3:另辟蹊径坐标系

用平面直角坐标系来解决某些几何问题是非常巧妙的途径,犹如高中数学中很多人用空间直角坐标系解决立体几何问题一样,把几何的点、线、面关系用计算的方式呈现出来,非常适合分析能力稍弱但计算能力还不错的同学.此题的垂直关系显然是可以通过建系来分析解决的.

如图8,以点B为坐标原点,直线BC为x轴,直线AB为y轴建立平面直角坐标系.易得故.

图8

显然由∠ABD=45°知直线BD解析式为y=x,直线AC的解析式为联立直线BD、AC解析式可得P从而由两点距离公式或者勾股定理可求得.

角度4:面积公式有新招

预备知识:学完三角函数,我们容易得到三角形的面积还可以利用两边及其夹角表示,如图9,AD=ACsinC,因此ΔABC的面积(三角形的面积等于两边及其夹角正弦值乘积的一半).如图10,因此.

图9

图10

角度5:特殊图形多关注

分别过P作PM ⊥BC于点M,PN ⊥AB于点N,如图11.显然四边形BMPN是正方形,不妨设其边长为x,则∠MCP=30°,由得解之从而.

图11

上述方法中,我们也可以利用BC长度列方程,异曲同工,由BC=BM+CM得本质完全相同.

角度6:圆来有解证相似

对于这道题目的多角度分析,我们能够看到对已知条件的不同分析以及思维方式的差异带给我们的解题感受是不同的.在数学的学习、解题、讲授过程中,要注重对题目的多角度分析与分步破解,从而提升分析能力、思维能力和解题水平,提高学习的有效性.