基于核心素养背景下的新教材处理研究——以“基本不等式”为例

福建省厦门集美中学(361000) 余奕

1 教材分析

基本不等式是高中一类重要的不等式,也是高考的热点,广泛应用于求解最值、证明不等式、求参数范围等问题中.高中新教材将其安排在必修第一册第二章“一元二次函数、方程和不等式”中,安排在“等式性质与不等式性质”之后学习,此时学生已经借助于日常生活实例在一定程度上理解了不等式,在梳理等式性质的基础上,借助于类比,研究了不等式的性质,积累了一定的活动经验,为后续学习做了一定的准备.

本节教材开篇引入“我们知道,乘法公式在代数的运算式中有重要作用,那么,是否也有一些不等式,它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢,下面来研究这个问题.”这种由不等式的一般性质过渡到特殊的重要公式的研究方法,与学习等式性质时,从一般性质到特殊而重要的平方差公式、完全平方公式的思路是一致的,体现了数学类比的思想,教师在设计本节课的教学环节时,可以充分利用学生以往的学习经验.

故在课堂引入环节,教师可进一步从初中的完全平方公式出发,已知∀a,b ∈R,有(a-b)2=a2-2ab+b2,再由平方的性质,由等式过渡到不等式,从(a-b)2≥0,得到一类重要的不等式a2-2ab+b2≥0,即,当且仅当a=b时,等号成立.进一步地,尝试去掉平方号使形式更为简洁:令a ＞0,b ＞0,则可用分别代替上式中的a,b,得,当且仅当a=b时,等号成立.

在初步得到基本不等式后,还需通过严格的数学证明说明此不等式的正确性.课本在此给出了分析法,执果索因,从要证的目标式追本溯源,找到显然成立的基本事实从而得证.但学生之前尚未接触过分析法,独立思考得出证明有些困难,需要教师逐步引导.为证明基本不等式,学生基于以往研究不等关系的经验,可能会从作差、完全平方式非负(类比证明重要不等式)的角度思考,教师在教学过程中应鼓励学生大胆尝试,并及时给予肯定.

从代数角度对基本不等式进行严格证明后,再类比之前由国际数学家大会的会标图形抽象得到重要不等式a2-2ab+b2≥0 的过程,课本在探究环节引入了圆内接三角形,从几何角度给出了基本不等式的几何解释,“以形助数,以数解形”,以加深学生对于基本不等式的理解,体现了数形结合的思想.这个图形的构造,十分巧妙,基于射影定理以及学生初中较为熟悉的母子相似三角形模型,利用了“圆的弦长的一半小于或等于圆的半径长”这一基本事实,帮助学生理解这个重要的不等关系.选用这样的模型,会让刚刚进入高中的学生会感觉到比较亲切形象,更易理解接受.在追问环节,教师也可进一步让学生思考不等式等号成立时图形对应的几何位置关系;在具体教学环节的实施过程中,教师更可借助于信息技术,展示点C在线段AB上动态移动的过程,让学生观察线段CD和半径长之间的关系,感知与之间的关系随着a,b大小关系的变化而发生的变化,体会基本不等式中包含的“相等”与“不等”的内在联系.信息技术的动态直观展示,充分考虑到了不同思维层次的学生,培养了他们的数学直观想象素养.

在进一步认识基本不等式(又称“均值不等式”)时,可以从以下几方面思考:首先,当中,包含了数学的求和、作商、开方这些基本运算,体现了运算的“基本”性;其次,通常称为a,b这两个正数的算数平均数,为其几何平均数,这个不等式也表明了两个正数算术平均数与几何平均数的大小关系,体现了“基本”量的大小关系;再者,以上不等式针对的是两个正数算术平均数与几何平均数的大小关系,数学当中还有三个正数、四个正数……n个正数的类似的不等关系,基本不等式只是这类均值不等式“链”中形式最为简洁的,故显得“基本”;另外,从应用的角度,类似初中的乘法公式能够简化某些特殊形式的代数式的恒等变形,基本不等式也是解决满足一定条件的代数式的最值问题的有力工具,在应用中占有重要的地位;最后,在高观点视角下,“可以作为不等式论的基本定理,成为支撑其他许多非常重要结果的基石”.基于这些背景,在实际教学中,教师可以在课后思考环节,渗透数学归纳法的思想,引导学生观察归纳猜想重要不等式、基本不等式的n维情形,作为课堂内容的延伸拓展;对数学基础较好的学生,可以让他们尝试证明这些不等式的3 维情形.

在新知应用环节,课本给出了例1 作为练习,值得注意的是,对比旧教材,新教材在例1 的解答后面,对于等号成立的条件作出了进一步的说明“我们不仅明确了∀x ＞0,有而且给出了当且仅当即x2=1,x=1时,等号成立”,这是为了说明2 是的一个取值”,还提出了两个思考题“当y0＜2 时,成立么?这时能说y0是的最小值吗?”.可以看到,在这个追问中,书本用到了一些数学的表达符号进行表述,不少学生会觉得到比较抽象,不太好理解.笔者建议在授课过程中,教师可以先用具体的例子,如y0=1 帮助学生理解,再过渡到更一般的数学抽象符号表达,照顾不同思维层次的学生,培养其逻辑推理素养;同时,可由该追问引导学生认识到最小值不仅需要满足“其他取值均比其小”这一特征,还需要满足“在定义域内取得到”这一要求,即对应了后续第三章节中“函数的基本性质”一节里对于函数最小值的定义:“一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)∀x ∈I,都有f(x)≥m.(2)∃x0∈I,使得f(x0)=m.那么我们称m是y=f(x)的最小值.”在解答例1 的过程中,教师需引导学生观察到为一个定值,当时,取到最小值2.进一步地,可充分利用变式和反例,帮助学生明确和体会利用基本不等式解决最值问题“一正、二定、三相等”的要求.

2 教学片段过程设计

教学片段上节课中,我们由第24 届国际数学家大会的会标中抽象得出了以下图形,从图形的面积关系出发,我们可以得到什么不等关系?问题images/BZ_32_389_2727_658_3001.png图1师生活动生: a2+b2 ≥2ab

追问上式中a,b 属于什么范围时,不等式成立?何时取等呢?师生活动生:上述不等式对任意a,b ∈R 都成立;当且仅当a=b 时,不等式取等.师:从几何图形可以看到,当a=b 时,图中的正方形将汇聚成一个点,此时不等式取到等号;而观察不等式的结构,可以看到式子可以变形为a2+b2-2ab ≥0,左边是大家熟悉的完全平方公式(a-b)2 的展开形式,故从代数的角度来理解,上述不等式表达的实际上就是平方大于等于0.设计意图复习回顾上节课的重要不等式,从几何与代数两个角度帮助学生加深理解,为接下来学习基本不等式做准备.环节2公式探究,深化理解问题在不等式a2-2ab+b2 ≥0(a,b ∈R)中,如果a ＞0,b ＞0,我们用a,b 分别替代a,b,可以得到什么不等关系?师生活动生:ab ≤a+b 2,师引导学生补充不等式取等条件.追问可否尝试利用不等式的性质对上述不等式给出证明呢?师引导学生给出证明:法一:比较两个数的大小关系,常用到作差法.a+b(ab=a+b-2ab a-b)2 2-2≥0,即a+b 2 ≥images/BZ_9_314_1529_369_1580.png=ab,当且仅当a=b 时取等,得证.法二:类比于利用完全平方公式(a-b)2 ≥0,证明a2+b2 ≥2ab 的过程,利用平方的非负性进行说明.因为(a-b)2≥0,即a-2ab+b ≥0,移项得a+b ≥2ab,整理有a+b ab,当且仅当a=b 时取等,得证.法三:利用重要不等式a2+b2 ≥2ab,∵a2+b2 ≥2ab(a ＞0,b ＞0),∴a2+b2+2ab ≥4ab,∴(a+b)2 ≥4ab,∴(a+b)2 2 ≥师生活动4≥ab,两边开方得a+b 2 ≥ab,当且仅当a=b 时取等,得证.法四:分析法(“执果索因”)要证ab ≤a+b 2①,只要证2ab ≤a+b ②;要证②,只要证2ab-a-b ≤0 ③;要证③,只要证-(a-b)2≤0 ④;(要证④,只要证a-b)2≥0 ⑤.显然,⑤成立,当且仅当a=b 时,⑤中的不等式成立.师:通常称不等式ab ≤a+b ab 与a+b 2 为基本不等式,其中ab 叫做正数a,b 的几何平均数.基本不等式表明:两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均数.进一步观察基本不等式,可以发现,当两个正数和为定值时,乘积有最大值;乘积为定值时,和有最小值.这为我们使用基本不等式解决最值问题提供了一定的线索,我们可以概括为“一正二定”.2 叫做正数a,b 的算术平均数,设计意图从代数角度对基本不等式给出严谨的证明,帮助学生理解推导过程,形成科学严谨的思维,培养逻辑推理素养.环节3探究感知,以形助数师生活动在下图2 中,AB 是圆的直径,点C 是AB 上一点,AC=a,BC=b.过点C 作垂直于AB 的弦DE,连接AD,BD.你能利用这个图形,得出基本不等式的几何解释吗?

images/BZ_33_405_349_672_604.png图2师引导学生发现: a+b 是直径AB,则a+b 2 表示圆的半径;另可通过证明ΔACD∽ΔDCB,得AC CD=CD CB,则CD2=AC·CB=ab,因而ab 代表线段CD 长度,由于CD 是半弦长,故小于或等于圆的半径,用不等式表示为ab ≤a+b 2.师:上式中等号何时成立?生:当且仅当DE 为直径时相等,此时点C 与圆心重合,半弦长等于半径,a=b,不等式的等号成立.师:利用几何画板动态演示点C 在线段AB 上动态移动的过程,让学生观察线段CD 和半径长之间的关系,直观感受ab 与a+b 2 之间的关系随着a,b 大小关系的变化而发生的变化.设计意图此探究环节类比之前由数学家大会会徽抽象出重要不等式a2+b2 ≥2ab 的过程,利用几何图形研究代数不等式,从图形的动态变化过程中引导学生体会基本不等式中包含的“相等”与“不等”的内在联系.为充分培养不同思维层次思维学生的直观想象素养,教师可先让学生自行想象不等式取等时对应的几何图形位置,再借助于结合画板直观演示.例1:已知x ＞0,求x+1 x 的最小值.解析:观察x+1 x,求解的是和的最小值,但x 与1师生活动x 乘积是一个定值;又考虑到x 与1 x 都是正数,故可联想到基本不等式,利用两个正数算术平均数与几何平均数的关系,得到x+1√x=2,当且仅当x=1 x ≥2 x+1 x,即x2=1,x=1 时,等号成立,因此所求最小值为2.例1 中x+1追问1 x ≥1 是否成立?若成立,可否认为x+1 x 最小值是1?如果不能,请说明理由.师引导学生发现,通过例题1 的证明可知x+1 x ≥1 显然成立,但不能认为x+1 x=1 的正数x 的取值.为帮助学生更好地理解考虑取等条件的必要性,教师可以引导学生拓展学习“函数的基本性质”一节里对于函数最小值的定义:“一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M 满足:(1)∀x ∈I,都有f(x)≥m;(2)∃x0 ∈I,使得f(x0)=m.那么我们称m 是y=f(x)的最小值.”明确最小值除了要求满足最小,也需要在定义域内取得到.x 最小值是1,这是因为找不到可以让x+1师生活动更一般地,如果y0 ＜2 时,x+1 x ≥y0 成立吗?这时能说y0 是x+1追问2 x(x ＞0)的最小值吗?设计意图通过例题熟悉使用基本不等式,通过两次追问,由特殊到一般,引导学生思考“最小值”定义需要满足“最小”以及“取得到”两点,认识到在利用基本不等式解决最值问题时需关注等号是否可以取得、何时取得.即使用基本不等式需验证条件“一正、二定、三相等”.目标检测设计当堂演练.1.下列不等式证明过程正确的是()A.若a,b ∈R,则b √a+ a b=2 B.若x ＞0,y ＞0,则lg x+lg y ≥2√b ≥2 b a·a lg x·lg y C.若x ＜0,则x+4√x=-4 D.若x ＜0,则2x+2-x ＞2x ≥-2 x· 4 2x·2-x=2检测目标:注意使用基本不等式的三个前提条件“一正、二定、三相等”,忽略某个条件,就会出错.

2.已知x,y 都是正数,求证:(1)如果积xy 等于定值P,那么当x=y 时,和x+y 有最小值2P;(2)如果和x+y 等于定值S,那么当x=y 时,积xy 有最大值1 4S2.3.证明(1)已知a,b ∈R,求证ab ≤(a+b 2)2.(2)已知a,b ∈R,求证(a+b 2.检测目标:应用基本不等式和不等式的性质证明一些常用的变形形式,对利用不等式性质进行合理变形、运算.2)2 ≤a2+b2 4.已知直角三角形面积等于50m2,当两条直角边的长度各为多少时,两条直角边的和最小?最小值是多少?检测目标:利用基本不等式理解和识别实际问题中的数量关系,解决实际问题.设计意图:通过练习,提升学生熟练应用基本不等式解决数学问题的能力,培养学生数学运算、数学建模等核心素养.

3 教学反思

由于经过长期的专业训练,教师对教学的内容非常熟悉,对学科的知识框架和各个知识模块间的关系也烂熟于胸;而学生初次接触知识,虽怀有好奇心和求知欲,但由于学习基础、理解能力存在差异,他们不可避免地会产生畏难心理.师生在学习经历和认知水平上的差异,往往会导致在理解新知上的矛盾和冲突,学生可能会对教师觉得顺理成章的知识感到突兀,对教师反复强调的知识点产生混淆,学习时感到困惑.教与学的起点不同,教师如果对学生现有的知识水平、学习活动经验等没有更准确地掌握,而仅仅根据自身的知识积累设计教学环节,课堂效率必然不高.为了使学生充分理解知识的来龙去脉,并熟练地加以应用,教师不妨稚化自身的思维,即有意模仿学生的思维模式,从初学者的角度出发,发现学生在学习过程中可能遇到的思维的困难点,进而运用自身的专业知识与专业技能,基于学情和教学实际,精心创设教学情境、安排合理的课堂活动、巧设问题串、适当延伸拓展等,突破重难点.

在本节课的教学片段设计中,笔者尝试了稚化思维.在设计教学环节的过程中,充分了解了学生现有的知识基础与学习经验;仔细推敲了新教材当中的哪些内容是学生理解起来感到困难抽象的,以及他们觉得困难的原因是什么,并在此基础上对教学过程做出适当补充、调整.例如学生之前未接触过用分析法进行证明,教师可积极肯定、尝试学生用作差法证明基本不等式的思路,或类比重要不等式的证明;在探究基本不等式的几何解释时,教师可适当使用几何画板工具,动态演示,直观揭示“相等”与“不等”的内在联系;为便于学生理解例1 解答中引入的抽象的符号语言y0,可先让学生思考y0=1 的特殊情形,再过渡到一般……

核心素养引领下的课堂教学应该突出培养适应学生个人终身发展和社会需要的人的关键能力和思维品质,注重突出以学生主体、合作参与.教师在设置教学环节时,要“既见树木又见森林”,除了关注本节课的知识点,也要知其所以然,理得清知识的来龙去脉、前后联系,知晓该节课在所处的知识单元中的地位和作用,从整体上把握教材,帮助学生形成整体知识系统意识,关注知识间的内在联系.同时,教师也需要在学生已有的数学基础上,对教学环节作出适当调整,准确把握学生的最近发展区,以新旧知识的连接点作为教学起点,充分估计其认知障碍,讲在关键处,充分挖掘学生的错解;需要教师深刻理解教学过程,避免“填鸭式”的教法,而应从课程特征出发,以训练学生思维为目的,给予学生更多尝试、探索的机会,成为学生学习活动的引导者、组织者,让学生学会合作、学会交流,发展能力、提升素养.

章建跃老师认为:“从数学知识的发生发展过程的合理性、学生思维过程的合理性上加强思考,这是落实数学学科核心素养的关键点.”数学核心素养的培养是一个长期的过程,它有赖于教师对于核心素养的深刻理解和对教学环节的精心设计.如何以数学知识为载体,基于核心素养的培养确定教学目标、设计教学过程、开展教学活动、设置科学的评价方式,提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力,将是我们一线教师在今后教学中不断思考与研究的的问题.