无失效数据场合指数分布可靠度Bayes估计的改进

曾 春， 李云飞

(西华师范大学 数学与信息学院， 四川 南充 637009)

0 引言

随着社会的不断进步，人们对产品的质量要求越来越高，在高可靠性产品的可靠性试验中，往往没有样品失效，获得的数据称为无失效数据，而无失效数据一般不适用于经典的数理统计方法，通常采用Bayes方法处理这些数据[1-2].

1 模型假设

可靠性寿命试验中的截尾试验一般有定时截尾和定数截尾两类，由于定数截尾试验可以得到比较多的失效数据，而无失效数据通常出现在定时截尾试验中，所以本文将在定时截尾试验下进行讨论[12].

设产品寿命T服从参数为λ的指数分布exp(λ),对应分布函数为

随机抽取S个样品，分为m组，分别进行定时截尾试验，对应截尾时间为ti(i=2,3,…,m),试验样品数分别为ni,所有样品在试验结束之前无一失效.由此，得到一组无失效数据(ti,ni).

综上，模型可做以下假设：

1)当t0=0时，产品的失效概率p0=P(T≤0)=F(0)=0；

3)0=t0ti)为t=ti时的可靠度，则有0=p0

文献[8]中，取p2先验分布的核为(1-p2)2,利用指数分布的无记忆性和凸性得到Ri(i=2,…,m)的取值范围和先验分布分别为

2 可靠度Ri的估计

为了更好地利用指数分布的无记忆性，假设定时截尾时间是等间隔的，即

t2-t1=t3-t2=…=tm-tm-1=t.

2.1R1的估计

在无失效数据场合，当t=t1时，有S1个样品未失效，取失效概率p1的估计为[8]

由此得到R1的估计为

2.2 Ri(i=2,3,…,m)的估计

由于F″(t)=-λ2exp(-λt)(t>0)恒小于0，所以F(t)是关于t的凸函数.由凸函数的性质，

引理1取p2的减函数(1-p2)2作为p2的先验分布的核，则Ri(i=2,3,…,m)的先验分布为

证明取p2的减函数(1-p2)2作为p2的先验分布，则p2的先验分布为

由于R2=1-p2,所以R2的先验分布为

其中，

因为指数分布具有无记忆性这一特征，所以

同理，根据指数分布的无记忆性可以得到

Ri=1-pi=P(T>ti)=P(T>ti-1)R(t),

根据引理1所求得的Ri的先验分布，Ri的似然函数以及Bayes定理，可得Ri的后验分布为

则在平方损失下，Ri的Bayes估计为：

3 参数λ的最小二乘估计

设产品寿命T服从参数为λ的指数分布exp(λ)时，产品在当t=ti时的可靠度可表示为Ri=P(T>ti)=exp(-λti),左右两边取对数，并变号可得

-lnRi=λti,

-lnRi=λti+εi,

令yi=-lnRi,利用加权最小二乘法，使得

值达到最小，其中

可得λ的估计为

由此可得平均寿命θ的估计为

任意时刻t的可靠度估计为

4 算例分析

本文选用文献[8]的试验数据，如表1所示.

表1 某可靠性试验的无失效数据

表2 可靠度估计结果

接下来，通过比较误差平方和验证本文提出的改进方法.赵海兵等[8]提出的方法得到的误差平方和为2.854 864 37×10-4,而本文提出的方法得到的误差平方和为3.762 956 49×10-6.可以看出，与赵海兵等[8]提出的方法相比，利用本文提出的方法得到的误差平方和更小，估计精度提高了98.68%.

5 结论

采用Bayes方法，最关键的是确定先验分布，本文充分利用指数分布的凸性和无记忆性，在文献[8]的基础上修正了可靠度Ri(i=2,3,…,m)的取值上界，从而进一步修正了可靠度Ri(i=2,3,…,m)的先验分布，得到可靠度Ri及平均寿命θ的估计.最后通过对实际数据进行计算、分析、比较，验证了本文提出的修正方法的合理性和可行性，同时也证明了本文提出的方法提高了可靠度估计的精度.