基于ARMAX模型和稀疏正则化的结构损伤识别方法

于 虹，朱宏平，翁 顺，宋晓东，杨国静，颜永逸，袁万城，党新志

(1. 华中科技大学 土木与水利工程学院， 湖北 武汉 430074； 2. 中铁二院工程集团有限责任公司，四川 成都 610031； 3. 同济大学 土木工程学院， 上海 200092)

大型工程结构是人们工作和交通的载体，其健康服役对社会正常运转极其重要。工程结构在服役过程中受到材料老化和自然灾害等因素影响，会发生不同程度的损伤，因此识别结构中的损伤对于保障大型工程结构的健康服役具有十分重要的意义[1,2]。近年来，国内外学者对基于振动信号的损伤识别方法进行了大量研究[3]，其中基于时间序列模型的结构损伤识别方法受到广泛关注。Sohn等[4]选取自回归模型的系数作为损伤敏感特征，并利用统计过程控制方法识别出结构中损伤的发生。朱军华和余岭[5]利用自回归模型残差的高阶统计矩判断结构是否发生损伤。杜永峰等[6]将损伤前后自回归模型残差的方差之比作为损伤敏感特征，实现了对结构损伤的定位。上述基于时间序列模型的方法通常采用统计手段进行损伤识别，由于难以建立统计指标与结构损伤之间的直接关系，这些方法一般仅可以识别损伤的发生，难以提供与损伤位置或程度相关的信息[7]。

结构损伤通常只发生在整个结构的一小部分构件中，因此除了与损伤位置相对应的元素之外，损伤向量中的绝大部分元素都为零，即损伤向量具有稀疏性。近年来，有学者将稀疏正则化算法引入结构健康监测领域，早期主要应用于无线传感网络的数据压缩[8]和数据恢复[9]。此后，Lai和Nagarajaiah[10]利用稀疏正则化算法识别出线性结构的物理参数，并将结构损伤视为结构中的恢复力变化。骆紫薇等[11,12]在基于灵敏度分析的损伤识别求解过程中加入稀疏约束条件，显著提高了损伤识别的精度。

本文提出了一种基于有外源输入的自回归滑动平均模型(Auto-Regressive Moving Average with eXogenous inputs，ARMAX)和稀疏正则化的结构损伤识别方法，实现了对结构损伤的定位和定量分析。该方法首先建立与结构运动方程相对应的ARMAX模型，将作用在结构上的外力视为模型的输入，将结构各自由度的加速度响应视为模型的输出。然后利用ARMAX模型的自回归系数对结构的固有频率和振型进行估计，并将结构的固有频率和振型作为损伤敏感特征。最后建立包含损伤前后结构模态参数变化和刚度折减参数的求解方程，并使用稀疏正则化算法对方程进行求解，解向量中的非零元素能够反映损伤的位置和程度。通过一个六层集中质量剪切结构试验，并与传统损伤识别方法进行比较，验证了方法的有效性和准确性。

1 结构ARMAX模型

在外部激励作用下，任一线性结构的运动方程可以表示为：

(1)

y(t)=P1y(t-1)+P2y(t-2)+Q0u(t)+
Q1u(t-1)+Q2u(t-2)+e(t)+
H1e(t-1)+H2e(t-2)

(2)

2 利用ARMAX模型识别结构固有频率和振型

在对ARMAX模型的参数进行估计之后，可以用ARMAX模型的自回归系数组集一个矩阵G，矩阵G可以表示为：

(3)

式中：I表示尺寸为nd×nd的单位矩阵，nd为结构自由度的个数。结构的固有频率和振型可以分别通过矩阵G的特征值和特征向量进行估计。将矩阵G的第k阶特征值和特征向量分别表示为λk和ψk，λk和ψk满足：

Gψk=λkψk

(4)

(5)

(6)

振型中各测点对应元素的幅值为相对值，在不同尺度下对两个振型向量进行比较可能会导致错误的结果。因此，由矩阵G识别出的结构振型要通过式(7)进行标准化处理：

(7)

式中：φk为标准化处理之后结构的第k阶振型。

将复数特征值λk写成ak+ibk形式，结构的固有频率可以表示为[14]：

(8)

(9)

式中：Δt为结构响应的采样间隔；ωk为结构的第k阶固有圆频率。

3 利用稀疏正则化进行损伤识别

(10)

式中：ne为结构中单元的个数。刚度折减系数γl的取值范围为-1～0，γl=0表示第l个单元没有发生损伤，γl=-1表示第l个单元完全损坏。

结构损伤识别是一种典型的结构动力学反问题，通过损伤状态与未损伤状态损伤敏感特征的变化来识别损伤。基于结构模态参数的损伤识别求解方程可以表示为：

Sγ=ΔR=RD-RU

(11)

式中：RD，RU分别为未损伤状态和损伤状态下的结构模态参数，RD，RU可以通过上文基于ARMAX模型的方法从测得的结构响应和输入力中提取得到；S表示结构模态参数对刚度折减系数的灵敏度矩阵。本文同时使用结构的频率和振型进行损伤识别，结构模态参数向量R可以表示为：

(12)

式中：nk为获取的模态个数。

式(11)中S可以表示为：

(13)

式中：Sω，Sφ分别为结构固有频率和振型对刚度折减系数的灵敏度矩阵，Sω，Sφ可以通过传统方法计算得到，如Nelson方法[16]。

结构损伤单元的数量通常远小于整个结构中的单元个数，即损伤向量具有稀疏性，因此损伤识别问题可以转化为求式(11)的稀疏解。式(11)的稀疏解可以通过稀疏正则化算法得到，稀疏正则化算法的目标函数J可以表示为：

(14)

τmax=‖2STΔR‖∞

(15)

式中：‖2STΔR‖∞为向量2STΔR的l∞范数。正则化参数τ的取值对式(14)的解有较大影响，本文取τ=0.01τmax。

将式(14)改写为：

(16)

式中：ωk为结构的第k阶固有频率；φjk为结构的第k阶振型在测点j处的值；np为测点个数。在式(16)中，将固有频率残差除以未损伤状态下的结构固有频率，使固有频率残差项标准化；将频率残差项、振型残差项和正则化项分别除以各自向量的长度(分别为nk，nk×np，ne)，使各项具有可比性。式(16)中的优化问题可以通过截断牛顿内点法[17]进行快速求解，解向量γ中的非零元素反映结构损伤的位置和程度。

在传统的损伤识别方法中，通常使用Tikhonov正则化算法对式(11)进行求解。与稀疏正则化相比，Tikhonov正则化的目标函数中正则化项为解向量γ的l2范数：

(17)

式中：‖γ‖2为解向量γ的l2范数。式(17)中的优化问题存在解析解，采用奇异值分解法进行求解[18]。对于Tikhonov正则化，解向量γ中每个元素在正则化项‖γ‖2中的权重相同。而对于稀疏正则化，解向量γ中元素在正则化项‖γ‖1中的权重与该元素的大小成反比，即γ中的元素越小其权重越大[18]。于是在稀疏正则化中，只有γ中可以显著减小残差的元素被保留，而剩余的元素趋于零。因此，由稀疏正则化算法得到的解向量具有稀疏性，而由Tikhonov正则化算法得到的解向量中通常包含大量非零元素。

4 试验验证

4.1 试验简介

为了验证所提出结构损伤识别方法的有效性，对一个六层集中质量剪切结构进行试验研究，如图1所示[19]。该结构有六个相同的楼层，每一层的高度为210 mm，宽度为260 mm。柱子的截面尺寸为50 mm×1.27 mm，每一层的集中质量(包含塑料梁、钢块和螺栓)为2.17 kg。首先在未损伤状态下对结构进行测试，然后通过将损伤楼层的柱子更换为厚度更薄的钢板来模拟结构损伤，损伤楼层的刚度折减为20%左右。表1列出了六层集中质量剪切结构的损伤工况，在三种单损伤工况(工况1～工况3)中，结构第四、五、六层的刚度分别折减20%。在多损伤工况(工况4)中，结构第四和第六层的刚度同时折减20%。

图1 六层集中质量剪切结构试验照片

图1所示的试验模型安装在振动台上，在模型的基底输入有限带宽白噪声激励。在每个楼层的钢质量块上安装一个加速度传感器，测量结构水平方向的加速度响应。在模型的基座上安装一个加速度传感器，记录基底加速度响应。加速度传感器的灵敏度约为100 mV/g。采用VIBPILOT数据采集系统采集结构的加速度响应，截止频率设置为15 Hz。对于所有工况，采样频率设置为400 Hz，加速度响应时长为300 s。图2给出了一条典型的通过测量得到的结构顶部加速度响应时程曲线。

表1 六层集中质量剪切结构损伤工况

图2 典型结构顶部加速度响应时程曲线

4.2 结构固有频率和振型识别结果

将结构基底的加速度响应视为输入，六个楼层处的加速度响应视为输出，可以建立与剪切结构对应的ARMAX模型。参照式(3)，利用ARMAX模型的自回归系数构建矩阵G。试验剪切结构中的自由度个数为6，因此矩阵G的尺寸为12×12。并通过矩阵G的特征值和特征向量识别结构的固有频率和振型。

表2列出了识别的未损伤状态和损伤状态下剪切结构的固有频率，与未损伤状态(工况0)相比，结构中发生损伤时，结构的固有频率减小。四种损伤工况的频率下降平均值分别为-1.90%，-1.79%，-1.95%，-3.53%。未损伤工况下剪切结构的振型识别值和理论值如图3所示。从图中可以看出，振型识别值与理论值吻合较好，表明利用ARMAX模型自回归系数可以准确识别出结构的振型。使用模态保证准则(Modal Assurance Criteria，MAC)值表示未损伤结构和损伤结构振型的相关性，MAC值的定义为：

(18)

图3 未损伤工况下剪切结构振型识别结果

表2 剪切结构固有频率及振型MAC值识别结果

4.3 结构损伤识别结果

利用识别出的结构固有频率和振型建立式(11)。对于所有损伤工况，试验结构中仅有1层(工况1～工况3)或2层(工况4)发生损伤，而试验结构共有6层，即试验结构中的损伤具有稀疏性。因此可以通过稀疏正则化算法对式(11)进行求解，得到能够反映损伤位置和程度的解向量。三种单损伤工况(工况1～工况3)的损伤识别结果分别如图4a～4c所示，SRF识别值在实际损伤楼层处较为明显，而在其它楼层处为零或接近于零。对于工况1～工况3，实际损伤楼层处的SRF识别值分别为-0.2115，-0.2141，-0.1956，与实际损伤程度-0.20相比误差分别为5.75%，7.03%，2.18%。图4d给出了多损伤工况(工况4)的损伤识别结果，在第四和第六层处的SRF识别值比较明显，在其它楼层处的SRF识别值接近于零，这与工况4的损伤位置相吻合。在第四层处的SRF识别值为-0.2153，与实际值-0.20相比误差为7.67%；在第六层处的SRF识别值为-0.2022，与实际值-0.20吻合很好。从图4中的损伤识别结果可以看出，利用稀疏正则化识别出的损伤楼层与实际损伤楼层吻合，且识别出的损伤程度与实际值十分接近。

为了说明稀疏正则化相比传统Tikhonov正则化的优势，也使用Tikhonov正则化识别图1所示剪切结构中的损伤，识别结果如图5所示。尽管利用Tikhonov正则化识别出的损伤位置接近实际损伤位置，但是识别出的SRF值与实际值存在较大差异，而且识别出的SRF值分布于多个楼层。比较图4和图5中的识别结果可以看出，稀疏正则化的识别精度要明显优于Tikhonov正则化。

图4 稀疏正则化损伤识别结果

图5 Tikhonov正则化损伤识别结果

5 结 论

本文提出一种基于时间序列ARMAX模型和稀疏正则化的结构损伤识别方法。从对一个六层集中质量剪切结构的试验分析结果，可以得到以下结论：

(1)利用时间序列ARMAX模型的自回归系数可以识别出结构的固有频率和振型。

(2)提出的基于ARMAX模型和稀疏正则化的损伤识别方法能准确识别出结构中损伤的位置和程度。

(3)提出的基于稀疏正则化的损伤识别方法，其识别精度相比传统的损伤识别方法有明显提高。