固定鸭舵二维修正弹比例导引律参数优化

曹立飞，曹红松,*，刘鹏飞，刘恒著，肖艳文

1.中北大学 机电工程学院，太原 030051

2.中国人民解放军 32381部队，北京 100071

近年来，二维弹道修正技术越来越多的应用于常规弹箭，其中固定鸭舵修正机构由于命中精度高、控制方式简单、控制力可连续输出，被广泛应用于常规弹药的改造升级，固定舵面的作用是通过外部差动翼面的气动力和内部电机控制力配合来实现对同向舵的控制，该机构只需卫星导航和地磁信息便可实现简易制导[1-2]，成本较低。目前在该领域的研究主要集中在引信滚转角控制方法[3]、气动特性及修正能力[4]、落点预测修正制导方法[5]等方面。

大量文献显示，目前常规弹箭采用的制导算法主要有3类：第1类为轨迹跟踪制导[6-7]；第2类为轨迹整形制导[8-11]；第3类为落点预测制导[12-15]；而固定鸭舵修正机构由于舵偏角恒定，其控制力大小不可调，控制力方向由鸭舵相位角决定，传统制导算法和控制策略已很难适用[16]。文献[17]对比分析了落点预测、弹道跟踪和比例导引在二维修正火箭弹上的修正效果，结果表明比例导引法的密集度好于弹道跟踪法；落点预测为得到较好密集度需获取大量弹道诸元，导致控制机构成本上升[18]；而比例导引因其计算简单、鲁棒性和可实现性强[19]，可作为一种同时兼顾控制精度和低成本的解决方案。但比例导引会生成幅度变化过大的控制指令与固定鸭舵有限的可用过载不兼容[20]，其导引系数选取不合理也会导致弹丸稳定性差或控制能力不足、修正段末端过载高和控制系统失效[21]。文献[22]采用粒子群优化(PSO)算法优化导引系数显著降低了需用过载，文献[23]研究了一种自适应系数比例导引法来解决控制末段过载问题。

针对上述问题，本文提出了一种基于差分进化(DE)算法的固定鸭舵二维修正弹比例导引律参数优化方法，对基于卫星导航和地磁信息的比例导引律进行研究，引入过载阈值制定控制策略；通过对比不同变异策略对DE算法的影响得到适用于比例导引律参数优化的最优变异策略。采用DE算法对过载阈值、横向平面和纵向平面导引系数进行优化；最后通过仿真分析验证了算法有效性。

1 固定鸭舵修正机构受力分析

固定鸭舵二维弹道修正弹如图1所示，是由前体固定鸭舵和后体弹丸构成的双旋结构弹丸；前体由一对同向舵和一对差动舵组成，FC为舵面控制力，φc为转动相位角，舵偏角δZ为4°，其中差动舵2、4的舵偏角方向相反，可以在飞行过程中为前体提供滚转控制力矩；同向舵1、3的舵偏角方向相同，固定不旋转时，在气动力作用下可以产生控制力。在弹丸需要轨迹修正时，前体在引信中电机的控制下停止在某一相位角，产生所需方向的控制力；否则，由于差动舵产生的滚转力矩作用，前体以一定速度自由滚动，旋转方向与后体相反，此时同向舵在一个滚转周期内产生的合力为零，弹丸轨迹不受控制。固定舵二维弹道修正弹的关键是根据弹道偏差信息确定前体的控制相位角。本文在弹轴坐标系和弹道坐标系对固定鸭舵修正机构进行受力分析。

图1 固定鸭舵修正机构示意图

1.1 鸭舵控制力和力矩

在准弹体坐标系中舵面偏转δZ所产生的轴向、法向和侧向控制力分别为FCX、FCY、FCZ。由前体坐标系下计算的控制力3个分量向弹道坐标系中转换可得

(1)

(2)

L(α*,β*)=

(3)

FCX1、FCY1可表示为

(4)

其中：ρ为大气密度；S1为弹丸参考面积；cx0为舵面零升阻力系数；cy为舵提供的升力系数；k2为诱导阻力项系数；V为相对速度；γ为前体滚转角；δr为相对攻角。

记质心所在赤道面距离舵面压心为lc，其在前体坐标系OξF、OηF、OζF轴上的操纵力矩分量转换到弹轴坐标系内可表示为

(5)

1.2 前后体间的相互作用力与力矩

固定鸭舵修正弹的前后体之间通过轴承连接，分别以前后体为研究对象，由牛顿第二定律可得

mAaA=FA+FV

(6)

mFaF=FF-FV

(7)

式中：aF和aA分别为前后体质心加速度；FF和FA分别为作用在前体和后体上的总气动力；FV为前后体之间的相互作用力。

由式(6)和式(7)可得

(8)

对前后体连接轴承产生的黏性阻尼力矩MV1和滚动摩擦力矩MV2进行分析[24]可得

MV1=CV(ωFξ-ωAξ)

(9)

式中：CV为黏性阻尼系数；ωFξ和ωAξ分别为前体和后体的转动角速度。

MV2=

{f1dmFs+f0[v(ωFξ-ωAξ)0.667dm3×

10-7]}×sign(ωFξ-ωAξ)

(10)

式中：f1为载荷系数；Fs为轴承连接处约束力；dm和f0分别为轴承平均直径和轴承结构与润滑方法调节系数；v为润滑剂的运动粘度。

前后体连接轴承产生的阻尼力矩MV为MV1、MV2之和。

根据以上受力分析可以得到固定鸭舵二维修正弹空间运动刚体弹道方程。本文弹道解算所用的鸭式布局固定舵双旋弹7DOF刚体弹道模型详细说明见文献[24]。

2 引入过载阈值的比例导引方法

2.1 弹目运动关系分析

弹丸与地面固定目标的相对运动关系如图2所示。图中：弹丸和目标在地面坐标系下的坐标分别为(xM,yM,zM)T和(xT,yT,zT)T，速度矢量分别为[vMx,vMy,vMz]T和[vTx,vTy,vTz]T，则弹目斜距r和相对速度vTM为[24]

图2 弹箭与目标相对运动示意图

(11)

(12)

按上面的定义，弹目斜距和相对速度大小为

(13)

(14)

(15)

(16)

由图2可知，弹目视线俯仰角qθ和弹目视线偏航角qψ分别为

(17)

(18)

式中：qθ为弹目线与水平面夹角，弹目线指向水平面上方为正；qψ为弹目线在水平面的投影与Ox轴的夹角，迎Oy轴俯视，由Ox轴向弹目线水平面投影若是逆时针旋转，则qψ为正。

(19)

(20)

2.2 重力补偿比例导引律

比例导引法是指导弹在攻击目标的导引过程中，导弹速度矢量的旋转角速度与目标线的旋转角速度成比例的导引方法，其导引关系为

(21)

(22)

式中：Kθ和Kψ分别为纵向平面和横向平面的比例导引系数。

(23)

由于弹丸升力较低，因此，在忽略升力的情况下，由重力影响引起的弹道倾角变化率为

(24)

代入式(23)并整理后得

(25)

2.3 引入过载阈值的控制策略

基于上述导引律，弹载卫星导航传感器每0.1秒 获得真实轨迹的速度和位置信息，弹载计算机采样后解算出弹目视线俯仰角速率和偏航角速率并生成指令信号，同时利用地磁探测结果进行修正机构相位角解算并控制固定鸭舵使其稳定在该设定角度，以修正真实轨迹。

2.3.1 控制指令生成

由于重力加速度始终垂直向下，由比例导引产生的需用过载要在纵向平面进行重力加速度补偿，则重力补偿比例导引的需用过载由式(22)和式(23)可得[21,25]

(26)

(27)

式中：nyc和nzc分别为纵向过载和横向过载；由式(26)和式(27)中过载控制指令可以得到执行机构需用过载Γc和相位角φc为

(28)

(29)

2.3.2 控制策略

与预期相同，图3表明，当修正机构被设定在固定的相位角直到弹丸落地，修正能力随启控时间的延迟而减少。如果修正控制从弹道顶点(19.6 s)开始，最大修正能力为：纵向248 m，横向220 m。

图3 修正能力

由于固定鸭舵式修正机构采用固定舵偏角，其有限的可用过载与比例导引产生的变化较大的控制幅度不兼容，在修正过程中无法全程满足比例导引的需用过载，所以不能保证弹丸照按所需弹道飞行造成脱靶。

为解决上述问题，引入过载阈值ΓTHRES作为标志量，在飞行控制系统的每个计算周期中，进行检查来控制修正机构的相位角，舵机由旋转变为停止并固定在某一相位必须满足比例导引制导律的需用过载大于过载阈值，即

Γc>ΓTHRES

(30)

通过上述分析可知，在比例导引律实现过程中，Kθ，Kψ，ΓTHRES的选取问题，实质上是一个参数优化问题，会影响导引律的需用过载及控制系统的稳定，可以使用最优化理论进行求解。

3 比例导引律参数优化

对于第2节提出的参数优化问题，由于弹箭动力学模型的高度非线性，与传统优化算法相比智能优化算法能够更有效的解决该问题。

3.1 比例导引律优化建模

1) 设计变量的选取

在参数优化中，对于式(21)和式(22)所示的重力补偿比例导引律，选取纵向平面和横向平面的导引系数以及过载阈值作为优化过程中的设计变量，如式(31)所示：

X=[Kθ,Kψ,ΓTHRES]T

(31)

2) 目标函数的建立

根据比例导引原理及控制策略设计，要达到制导律最优需要弹丸落点与目标距离最小，故选取落点弹目距离最小作为目标函数。

3) 优化过程中的约束

在比例导引中，各参数的变化范围有限，优化过程中还须考虑各种约束限制，约束条件还可避免计算结果出现偏差，提高计算效率并获得符合实际导引要求的优化结果。对于比例导引系数Kθ和Kψ，其取值范围为[-5,5]，过载阈值ΓTHRES取值范围为[0,0.5]。

整理可得重力补偿比例导引律参数优化数学模型如式(32)所示：

minr=minr(X)

(32)

式中：X∈R，约束域R为

(33)

3.2 基于DE算法的导引律参数优化

DE算法是一种基于差分算子的遗传进化优化技术，通过变异、交叉和选择操作不断收敛至优化问题最优解附近[26]。基于DE算法的导引律参数优化流程如图4所示，具体步骤如下：

图4 基于DE算法的导引律参数优化流程

1) 初始化操作：在整个参数设计搜索空间中，随机生成NP(i=1,2,…,NP)个个体，作为初始种群，如式(34)所示，其中每个个体是由Kθ、Kψ、ΓTHRES组成的向量。

(34)

2) 使用优化目标函数估算种群中每一个个体的目标函数值，即落点弹目距离最小。

3) 创建新的种群。

表1 常用变异策略[27]

② 交叉操作：采用交叉算子来提高种群的多样性。通过交叉操作的概率从突变向量和目标向量中选择试验向量。交叉操作为

(35)

③ 选择操作：选择操作决定目标矢量是否保存到下一代种群中，对于每一个变异矢量和与其相应的当前种群中的目标矢量来说，都要通过贪婪选择方案来比较它们的目标函数值如式(36)所示，具体操作为

(36)

4) 重复步骤2)和3)，直到满足终止条件，对制导律参数优化问题来说，达到落点弹目距离最小或迭代次数达到设定值为终止条件。

3.3 DE算法最佳变异策略

DE算法中，缩放因子F和交叉率CR等控制参数的选择对优化的有效性、计算效率和鲁棒性有很大的影响[28]，针对比例导引问题特点，选择权重因子F=0.5，交叉常数CR=0.9，种群中个体数量为30，最大迭代数为100[29-31]，目标函数值小于1.0×10-6时停止迭代。

针对比例导引参数优化问题，本文选取13种变异策略进行研究。从图5可知，部分变异策略出现“早熟”现象，目标函数值提前进入局部最优解并在局部最优解附近摇摆，出现收敛缓慢的现象，优化性能不佳；针对比例导引律优化问题，DEest1in和DE and-to-best1in 2种变异策略的DE算法效果最佳，此2种策略分别在第7代和第12代种群收敛到六阶精度，收敛速度快，没有明显“早熟”现象。以上2种策略优化得到的最优导引律参数如表2所示。将DEest1in和DE and-to-best1in 2种策略针对过载阈值ΓTHRES和纵向导引系数Kψ的收敛速度及精度相近，而横向平面导引系数收敛曲线如图6所示，DEest1in策略收敛迅速，在第6代种群便达到稳定值，而DE and-to-best1in策略仍由波动，在第22代种群后才达到稳定值；所以最终选用DEest1in策略的DE算法对比例导引参数进行优化，并取优化后的参数进行弹道仿真。

图5 不同变异策略的收敛曲线

表2 参数优化结果

图6 Kθ迭代曲线

4 仿真分析

4.1 控制弹道仿真

为了验证引入过载阈值并采用DE算法优化导引律参数的比例导引制导律，本文以加装固定鸭舵的迫弹为例进行仿真分析。迫弹的物理参数见表3。

表3 弹丸物理参数

迫弹理想条件下的弹道初值诸元见表4，45°射角的落点坐标为(7 294 m，0 m，0 m)，迫弹的纵向和横向散布为射程的1/130和1/290，设定目标的坐标为(7 400 m，0 m，100 m)，弹道比例导引的启控时间设定为弹道顶点(19.8 s)开始启控；分别对引入过载阈值和常规比例导引进行仿真，其中常规比例导引也采用4.1节经过优化的横向和纵向比例导引系数，仿真结果如图7～图12所示。

图12 控制段修正机构过载

表4 理想弹道初值诸元

如图7所示，引入过载阈值的比例导引和常规比例导引控制的迫弹落点分别为：(7 400 m，0 m， 100 m)和(7 399.8 m，0 m，100 m)，都达到了预定落点，修正精度较好；但由图8和图9可知，在达到相同修正精度的条件下，常规比例导引的控制机构从启控开始一直在接收控制指令并进行修正控制且相位角在短时间内变化幅度较大，而引入过载阈值后，控制时间比常规比例导引减少20%，相位角在正向区间内变化，控制效率明显提高。启控后由于舵机产生控制力导致弹体力矩发生变化，致使弹丸攻角和俯仰角产生突变；由图10和图11可知，引入过载阈值后，由于控制力由连续作用变为分段控制，避免了控制力矩引起的弹丸稳定力矩持续减小和攻角的连续增大，使攻角和俯仰角变化幅度减小，尤其在控制末段弹丸稳定性明显提高。

图7 横偏vs射程

图8 控制指令曲线

图9 控制相位角曲线

图10 控制段攻角

图11 控制段俯仰角变化

在制导律设计过程中，需用过载尽量小有利于提高制导精度，同时对舵机结构强度、功率要求等都有利，对常规比例导引的导引系数进行优化可有效降低其需用过载[25]；由图12可知，常规比例导引在启控后过载持续增大，引入过载阈值后，控制机构过载显著降低，有助于降低弹体和舵机载荷，减小控制误差，提高修正机构可靠性，保证修正机构正常工作。

4.2 蒙特卡洛仿真

使用蒙特卡洛法进行仿真，首先分析了不同射角和初速对应的优化参数适应性，然后以射角45°和初速341 m/s为初始条件对控制精度进行分析。蒙特卡洛法中考虑的随机扰动因素均符合正态分布，其误差范围如表5所示。

表5 扰动参数

1) 适应性分析

选取扰动无控落点中与目标点偏差最大的弹道，使用DE算法对射角为45°时不同初速，以及初速为341 m/s时不同射角对应的多种工况下的导引律参数和过载阈值进行优化，结果如表6和表7所示，结果表明： 在不同工况下的圆概率误差 (CEP) 均小于10 m，可以看出优化后的导引律参数表现出较好的适应性；即使在射角较大，迫弹稳定裕量较小的情况下也有良好的表现。

表6 射角为45°时不同初速的参数优化结果

表7 初速为341 m/s时不同射角的参数优化结果

2) 控制精度

45°射角时，扰动无控和扰动有控弹道的落点散布如图13所示。扰动无控状态下纵向偏差最大为288 m，横向偏差最大为101 m；扰动有控状态下纵向偏差最大为68.2 m，横向偏差最大为10.6 m。使用比例导引当制导和控制系统启动时，偏差量明显减小，CEP由无控状态的68 m减小至5 m内。结果表明，本文提出的引入过载阈值并通过DE算法优化的比例导引律适用于固定鸭舵修正机构的低自旋迫弹。

图13 蒙特卡洛仿真结果

5 结 论

针对固定鸭舵二维修正机构控制力有限和比例导引法控制末段需用过载变化过大的问题，本文提出了一种引入过载阈值的比例导引律控制策略，并建立了以横向和纵向导引系数及过载阈值为设计变量的比例导引律参数优化设计模型，并基于DE算法对该问题进行求解。通过仿真分析得到以下结论：

1) 与传统比例导引律相比，引入过载阈值后，可有效地提高弹丸控制效率及飞行稳定性、减少控制段过载。

2) 优化后的比例导引率参数，对不同的落点弹目距离及随机扰动具有较强的适应性。

3) 基于DE算法进行比例导引律参数优化设计，是一种合理、有效的设计方法。