植树问题中的模型建立与方法指导

冯行顺

[摘 要]“植树问题”的核心思想是归纳法（即从特殊情况推广到一般情况的合情推理）和分类讨论的思想方法（如两端都栽、两端不栽、封闭路线），以及由此衍生出来的方阵队列问题等。其传达的学科核心素养是一一化归思想，同时使学生体会到建模带来的便捷。

[关键词]植树问题;模型建立;方法指导

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）17-0062-02

“植树问题”一课的教学重点是植树时分隔的段数与植树株数之间的关系，教学难点是将解决植树问题的方法抽象成一个模型去解决类似问题。教学中，解题不是重点，重点是让学生体验并感知复杂问题可以从简单问题入手，也就是从特殊到一般的合情推理，归纳出数学公式和定理，将数形结合、对应、化归等数学思想方法囊括其中，经历探究发现数学规律和概括形成数学理论的过程，落实知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三维目标，提高学生的学科素养。

一、探究新知，建立模型

出示例题：市政局绿化队在全长100 米的柏油马路的一边栽行道树，一共需要多少株树苗？

1.补充信息

师：如果请你来当规划师，还需要路政部门提供什么数据？（株距5米）

2.理解信息

师：株距5米，是什么意思？

3.提出研究策略

师：你准备采取什么策略解决这个问题？

（指点学生遇到较复杂问题时，先进行简化处理，如将柏油马路的长改为“20米”去研究）

4.自主探究

给学生提供学具“一段20厘米长的黑胶带（模拟柏油马路），一段长5厘米的木方（当作间隔）”，让学生边分段边将小树画在黑胶带上。

学生自主探究：（1）用摆放、图示的方法去研究，并完成表格。

[柏油马路长20米（总长） 每隔5米栽一棵（间隔） 有几个间隔（分隔的段数） 栽了几株树（株数） ]

（2）组内分享展示。

5.小组汇报

方法一：用学具演示并辅助说明。

方法二：图示法演示。

6.比较发现：不论何种方法，都指向一个结果，那就是20米被等分成4小段，种下5株树。

师：你对分隔的段数和株数有什么发现？

动画演示：在20米长的柏油马路上种行道树，一株树紧随一段间隔（一株树和一段间隔黏在一起），轮到第五株树时，后面没有续接间隔，直观演示株数比分隔的段数多1。

师：根据刚才画的线段图和多媒体演示，列出算式。

板书：20÷5=4（段） 4+1=5（株）

【设计意图：如此教学浅显易懂，通过商讨栽行道树问题，引导学生认识什么是间隔的段数，同时缩减间距，化繁为简，将学习难度降级，目的在于让学生在开放情境中回归初始状态，用木方度量间隔段数的方法推算出株数和分隔的段数。在学生汇报时，由学生操作转入教师绘图，同时配合动画模拟演示植树情境，巧用一一对应的数学思想，揭示“多1”的原因，最后让学生列出算式，從而帮助学生建立全面清晰的表象，初步建立植树问题的模型。】

二、合作研究，验证模型

1.小组学习指导

（1）每人随机挑选一组数据，自选方法验证栽行道树问题的数学运算规律。

（2）组内交流栽行道树问题的数学运算规律。

2.小组合作探究

分别分析10米、15米、25米、30米柏油马路上种行道树的情况。

3.汇报交流，发现并检验规律的真实性

板书：全程÷每段间距=分隔的段数;分隔的段数+1=株数。

4.数形结合，解释模型

师：综合分析多组数据总结出“株数=分隔的段数+1”。为什么“两端都栽”的情形下，株数是“分隔的段数+1”呢？多的1株树是从哪里冒出来的？

【设计意图：有了夯实的基础，教师放权让学生自由研究后合作交流，再给不同数组配图，帮助学生证实之前的推断，发现两端都栽的数学规律。在这个过程中，学生对化繁为简的数学思想有了深切体会，并通过反复证明，最终确信：分隔段数+1=株数。学生依仗线段图，利用数形结合、图文配合，让思维发展有了肥沃的土壤，并感受到数学思想方法的魅力。】

模型的建立不能完全由教师牵着学生进行，而应该由学生合力创建，在建立模型的过程中落实合作研究、交流展示等学习方法。教师要做的只是提供技术指导，做出战略部署，而一砖一瓦都要由学生拼搭。如教师只是提供几组数据作为素材，由学生自由选择一组数据作为“全程”和“间距”来构建模型，进行栽树操作。学生可以自由发挥，大胆创新。学生拿着选好的数据进行小组合作，自创模型：可以是在公路上栽树，可以是在围墙上插红旗，可以是汽车长途行驶的途中每隔一段距离加油一次，形形色色，不一而足。最后发现，无论是在哪种情境下建立的模型，最后两端都栽树（起止两处端点都各进行一次独立试验），那么试验次数就比间隔段数多1，这个试验可以是栽树间隔也可以是锯木头，甚至是敲钟，间隔数可以是距离间隔，也可以是时间间隔。所有模型都指向一个规律（也是模型的主要性质和课程重点），那就是两端都栽的情况下，“栽树株数=间隔数+1”。

三、教学反思

1.线索流畅、简明易懂，归功于不断改进

新课伊始，引出例题，迅速确立课程内容，紧接着将植树问题中的数据改小。教师在学生自主探究时指导有方，点到为止，让学生利用学具摆放或者自主画出线段图，解析问题后列式。学生在手脑并用中初步建立了植树问题的模型。一开始，让学生自主探索20米柏油马路上种行道树的规律时，学生在画线段图的过程中感到阻碍重重，不知从何下手。此时，教师引导学生用黑胶带代替柏油马路，用木方代替5米的间隔，边度量边标记行道树，最终推算出行道树株数和间隔数的关系。

在学生汇报操作结果后，教师指示学生绘制线段图，其用意在于给学生搭建研究方法的台阶，由粗笨的黑胶带操作升级到灵巧的画线段图、列算式，从而厘清间距、分隔的段数、株数三者之间的数量关系，一举攻克重点和难点。经过一番探究，学生对栽行道树问题中间距、分隔的段数、株数的数量关系已初步建立了模型，为后续的检验埋下伏笔。这也反映教师对学生的方法指导严谨有序，循序渐进。

2.注重实践、体验，探究隐藏的数学思想方法

教师的指导给学生创造了更多体验的机会，借助图示和动画揭示问题本质，能使学生清醒地认识到株数并不是简单等于分隔的段数。学生在首次探究后，教师趁机追问“你能找出什么规律”，启发学生透过现象发现规律。这样将解决问题的经过原原本本地展现出来，可让学生纵观全局，形成谋略。在探究栽行道树问题的数学运算规律的本质时，教师动画演示“20米的柏油马路上一株树紧随一段间隔，第五株树身后没有跟随一段间隔”，有助于学生直观发现株数比分隔的段数多1。这里，动画演示巧用一一对应的思想方法揭示多1的真相，帮助学生建立起全面稳定的表象，进而建立数学模型，为后续研究一端栽树和两端都不栽树的情形打下了坚实的基础。

（责编 罗 艳）