初中数学动点问题教学实践研究

罗志

【摘要】初中数学动点问题是各地中考数学的热点考题，其中几何问题与二次函数相结合的动点问题更是中考的压轴大题.这类题目的综合性强，解题要求高，学生存在的解题困难多.要提高学生对此类问题的解题能力，教师需要在教学中全面了解学生在解决动点问题时存在的困难，掌握常见动点问题的类型和教学要求，采用多种教学策略，传授多种解题方法，加强解题指导，才能有效突破学生解决该类题目的困难，从而提升学生对动点问题的解题能力.

【关键词】初中数学;动点问题;二次函数

初中数学中的动点问题是比较典型的综合性题目，经常是中考数学的压轴大题.该类题目涉及的知识点较多，运用的解决方法特殊，要求解题者思维比较灵活，故学生存在的困难较多.为了提高学生对初中数学动点问题的解决能力，笔者结合二次函数教学实践，对解决数学动点问题的有效教学策略进行了研究探索.

一、解决数学动点问题的困难分析

（一）解決动点问题的困难

由于数学动点问题综合性强，解题要求高，因此造成许多学生在解题中存在较多的困难.这些困难主要体现在如下方面：

一是存在理解性困难.许多学生对此类题目给出的条件、所求结果或是隐含条件等内容在理解上存在困难，不能全面准确地理解题意，不能把题目中的动点问题与已学知识相联系，因而造成解题困难.

二是存在选择性困难.动点问题的解题方法具有较强的灵活性，一些学生在解题中常常是不善于选择正确的公式、定理与方法，因而找不到解题的路径，易造成解题思路混乱，只能将动点问题与二次函数相联系，但不知道具体选择哪个知识点解题.

三是找不出变量关系.由于二次函数动点问题的题目文字叙述较长，不少学生抓不住题目中的关键词语和句子，难以发现题目中的变量、不变量以及它们之间的联系，列不出函数关系式，因此就无法有效解题.

四是解题方法不灵活.在解决二次函数动点问题时，不少学生的解题思维不够灵活，掌握的解题方法比较少，不善于把复杂问题进行转化，或是借助数形结合思想解题，解题的条理性差，造成解题中的错误较多.

例1 如图1所示，二次函数y=12x2-3x+4与y轴相交于M点，N是抛物线上任一点，连接MN，以MO，MN为邻边构建平行四边形MNPO，设N点的横坐标是a.求

（1）P点落在x轴上时，a值是多少？

（2）如果P点落在x轴下方，则a是多少时线段QP有最大值？

解题分析 解答此题的关键之处在于利用平行四边形对边相等的性质求得对边长度，进而可得出a值.但许多学生在解题中无法形成正确的解题思路，没有真正理解题意，不能正确选择公式与定理，只是盲目地运用配方法求最值， 不能将动点问题与平行四边形的性质有机结合，因而导致解题出现困难.

（二）出现困难的原因分析

学生在二次函数动点问题解题中出现困难，主要是由以下两方面原因所致.

1.教师方面的原因

一是教师教学态度的影响.动点问题的求解比较困难，一些教师在此类问题教学中存在急于求成的态度，对动点问题的讲解不能做到耐心、反复、举一反三，对学生出现的问题不能耐心指导，故加深了学生对此类问题的畏难心理.

二是教师教学方法的影响.许多教师在二次函数动点问题教学中，不能采取针对性的教学方法，不善于运用几何画板等信息化教学软件，让学生直观感受动点的运动状态，而是以机械式解题训练为主，使学生不能灵活运用多种解题方法.三是教师没有掌握学生解题困难的原因.不少教师没有掌握学生在二次函数动点问题解题中出现困难的深层原因，对不同层次学生不能因材施教，不注重对学生解题思维的训练和数学思想方法的运用，导致学生解题思路不灵活，从而对动点问题解题困难.

2.学生方面的原因

一是认知能力不佳.由于初中生的抽象思维能力正处于发展阶段，容易受到情感、意志、态度等非智力因素的影响，以及已有数学基础知识的限制，造成学生二次函数动点问题解题能力不足.二是解题思维不灵活.许多学生的数学思维不够灵活、发散，解题的思路比较窄，不善于对复杂的动点问题进行转化与分解，不能灵活运用数形结合思想解题，造成解题中困难重重，影响了对动点问题的解题兴趣.

三是缺乏解题经验.许多学生对动点问题存在畏难心理，不愿意触碰此类题目，或是被动学习此类问题，掌握的解题方法较少，解题的思路不清晰，欠缺动点问题解题经验.

二、动点问题解题类型与教学要求

（一）动点问题解题类型

二次函数动点问题的类型主要有以下几种，掌握这些问题类型，有利于教师采取有针对性的措施开展教学，从而取得良好的教学效果.

1.从所求问题分类

从所求问题进行分类，二次函数动点问题主要分为三类：求函数解析式的问题，求最值问题，求存在性问题.

2.从动点个数分类

从动点个数分类看，有单动点问题和双动点问题.

3.从函数与图形结合分类

主要分为：二次函数与直线结合问题，与三角形结合问题，与四边形结合问题，与圆结合问题等.

（二）动点问题教学要求

在教学二次函数与动点结合问题时，教师要提升学生的解题能力，除了加强对学生审题能力的培养，让学生全面真正理解题意，掌握动点的运动过程或轨迹，注重把二次函数与平面几何图形相联系外，还要重点加强以下三个方面的教学.

1.加强各知识点的联系教学

由于二次函数动点问题涉及二次函数知识、初中平面几何知识、代数知识等，学生既需要熟练掌握这些知识，又需要掌握各知识点之间的相互联系，这样才能更容易发现隐含条件，掌握题目中的变量与等式关系，为动点问题解题奠定良好的基础.

2.加强辅助线添加方法教学

由于动点问题综合性强、难度大，学生在解题中经常需要添加辅助线，借助辅助线使动点问题的解决变得更加容易.因此，教师在二次函数动点问题教学中要注重加强添加辅助线方法的教学，让学生总结辅助线的添加方法与规律，为解题找到突破口.

3.加强各问题之间的联系教学

数学动点问题的题目一般是由三四个问题组成的，各个问题之间都有密切联系，二次函数关系式、最值、存在性问题等都是相互联系的，而且二次函数本身也有最大值或最小值，如果学生能掌握这些问题之间的相互联系，并巧妙利用，就能提高动点问题的解题效率.

三、解决数学动点问题的教学策略

（一）加强解题方法指导，积累动点问题解题经验

虽然二次函数动点问题的综合性强，解题难度大，但其也有规律可循，同样也有多种有效的解题思路与方法，加强对学生解题方法的指导，帮助学生积累解题经验，就能使动点问题的解决变得容易.

一是让学生学会正确审题.在初中数学动点问题中，条件比较多，经常会在题目中隐含着一些条件，学生如果能正确审题，有效挖掘隐含条件，正确找出题目中的变量、常量、等式关系，学会选择恰当的数学模型，就能为解题提供方便或使解题找到突破口.因此，教师在此类题目的教学中，首先要重视教会学生正确审题.

二是传授与积累多种解题方法.在二次函数的动点问题解题中，经常要使用待定系数法、解析法、覆盖法、切割法、 构造特殊三角形（四边形）法等多种方法，所以，教师在教学中要注重传授解题方法，让学生积累解题经验，提高学生的动点问题解题能力.

例2 如图2所示，点M（x，y）是抛物线y=ax2+bx+c上的一个动点，它在x轴下方，且-2

解题分析 本题可用多种方法进行求解.

方法一 （覆盖法） ：可把三角形面积通过“割补”的方法，转化成求矩形的面积，即用矩形的面积覆盖三角形，通过构建最小面积的矩形，然后减去多余的三角形，就可求得△PQM面积的最大值和M点的坐标.该方法思路比较简单，但解题过程稍微烦琐.（如图2中的虚线矩形所示）

方法二（切割法）：求解二次函数动点问题中的面积最值时，一般应构建一个至少一边是“横平竖直”的三角形，这样就能把求面积问题转化为求线段问题，再利用函数的解析式，将线段转化为坐标，使问题变得简单.具体方法如下：可通过M点作x轴的垂线（图中的虚线），这样就把△PQM分成两个三角形，容易求出该线段的长度，然后分别求P，Q两点到垂线的距离，求出两个小三角形的面积和的表达式（是二次函数），通过代数式变换就可求出其最大值，这样问题就解决了.

方法三（解析法）：从题意可知，两线段MP，MQ的长度总是变化的，但PQ的位置不变，可过M点作平行于PQ的直线l，要使△PQM的面积最大，则M点到线段PQ的距离最大时可使三角形面积最大，又直线l与PQ平行，则M点的位置可确定，求出M点坐标后就容易求面积问题了.

（二）渗透数学思想方法，培养灵活解题思维能力

要提高学生对二次函数动点问题的解题能力，培养学生灵活、发散、创新的思维能力是关键，而在教学中渗透数学思想方法是培养学生数学思维能力的重要途径，如数形结合思想方法、转化思想方法、分类讨论思想方法等，既能培养学生灵活的数学解题思维，又能使复杂的动点问题的解决变得简单、快捷，从而提高解题效率.

例3 有一条直线y=-23x+c交x轴于点M（3，0），交y轴于点N，二次函数y=-43x2+bx+c也经过点M、点N，如图3所示.

（1）求N点坐标及函数解析式;

（2）点D（k，0）是x轴上的动点，过D点且垂直x轴的直线与直线MN交于点E，与二次函数图像交于点C.点D在OM之间移动，如果△CNE与△EDM相似，求D点坐标.

解题分析 本题的综合性比较强，要用到多方面的数学知识，在第（1）小题中可用待定系数法解决，在第（2）小题中可利用相似三角形的知识，把问题转化为求k的方程，这样就找到了解题的关键之处，还要注意分情况讨论.运用转化数学思想方法、数形结合思想方法、分类讨论思想方法，能使解题更灵活，变得简单，降低解题难度，从而快速正确地解题.

在具体解题时，可利用D点坐标和直线的方程表示E，C两点坐标，Ek，-23k+2，Ck，-43k2+103k+2，再根据∠NCE=∠MDE=90°或∠CNE=∠MDE=90°这两种情况进行分类讨论，利用包含k的代数式表示对应边成比例，可得出一元二次方程，最后可得到所求结果.

四、结束语

总之，初中数学动点问题是教学的难点问题，也是中考的热点题型，学生在解决此类题目时存在较多的困难.要提高学生的动点问题解题能力，教师需要以学生在解题中存在的困难为依据，全面改进数学动点问题教学方法与策略，注重动点问题解题思想与方法的训练，加强对学生的解题指导，让学生掌握多种解题方法与技巧，从而提升学生对数学动点问题的解题能力.

【参考文献】

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