浅谈初等数论教学与学生能力培养

李龙

【摘要】本文通过对初等数论课程的重要性以及教学现状的分析，简要谈了初等数论课程的教学改革.

【关键词】初等数论;教学现状;教学改革;能力培养

初等数论是一门古老而又优美的学科，它主要研究整数的性质和方程（组）整数解（或有理数解）.高斯说数论是数学的皇后，有一种纯粹和高雅的气质.有人学习过实数、复数，就觉得对整数已经了如指掌，但当你学了初等数论之后会恍然大悟，你会发现整数有许多吸引你而你又全然不知的性质.以前人们把初等数论看成最纯粹、最无用的一门学科，现在人们已经将初等数论应用到计算机科学、數理逻辑、代数、组合论、编码理论、积分计算等方面.

在现代高等教育课程中，初等数论是一门非常重要的数学专业基础课.尽管初等数论的结论简单优美，但是想学好、教好它并非易事.本文中笔者结合教学实践，就初等数论的教学以及学生的能力培养简要地谈几点体会.

1 开设初等数论课程的必要性

1.1 帮助学生更准确地理解中小学数学知识

一直以来，我国中小学数学的主要内容是算术问题，尤其是小学数学中的整数部分，很多内容与初等数论的联系非常紧密，例如，最大公因数与最小公倍数、整数的整除性、余数、解方程、奇偶数、素数与合数等.数学专业毕业生中的很大一部分会从事中小学的教学工作，因此，开设初等数论课程可以帮助他们打下坚实的基础，开阔其眼界，帮助其用高等数学的观点理解中小学的数学知识，进而准确把握问题的本质.

1.2 帮助学生掌握奥数难题的知识基础及思维方式

近年来，奥林匹克数学竞赛越来越受到家长和学校的追捧.多年来的实践表明，奥数竞赛可以激发学生学习数学的兴趣，焕发他们的学习热情，提升他们克服困难、发现问题与解决问题的能力.众所周知，中小学奥数竞赛与初等数论的联系较为密切，很多考点以及考题都来自初等数论，历届国际奥林匹克数学竞赛中有近35%的试题需要用到初等数论的知识来解答.因此，开设初等数论这门课，可让学生掌握初等数论的基础知识与思维方式，这对学生从事数学教育有很大帮助.

1.3 助力学生备考公务员考试

当前，公务员对于高校毕业生有较大的吸引力，近几年考试人数已突破百万.公务员考试的公共科目《行政职业能力测验》中数量关系类考题经常出现数列、同余、鸡兔同笼以及抽屉原理等初等数论知识.例如，2017年国家公务员考试的行政测试第61题是“为维护办公环境，某办公室四人在工作日轮流打扫卫生，每周一打扫卫生的人给植物浇水.7月5日周五轮到小玲打扫卫生，下一次小玲给植物浇水是在哪天？”该题就涉及初等数论中同余的知识点.因此，开设初等数论课程，对于学生备考公务员考试大有裨益.

2 师范生开设初等数论课程的现状

2.1 课程不受重视

如上文所述，开设初等数论课程不管是对学生数学思维方式的养成，还是对其以后的就业都有着重要的作用.但在我国的大多数院校中，初等数论与高等代数和近世代数这两门课程相比，并未受到应有的重视.大部分院校只是把初等数论课程放在高年级，作为数学与应用数学专业的一门专业选修课程.在课时与学分设置方面，初等数论的课时基本为32或48课时，2～3学分，这与数学主干课程相比，不论是课时量还是学分数都比较少.由于课时比较少，教师在课堂上的讲解速度会比较快，留给学生思考、消化与互动的时间比较少，严重影响了教学质量.

2.2 课程教材与教学内容陈旧

目前，初等数论课程的教材用的多为闵嗣鹤、严士健编写的《初等数论》，这本书堪称经典，但是该书编写于20世纪五六十年代，书中内容太过抽象，以理论为主，淡化实践，例题较少，例题少了，学生在做题时就没有参考，会加大做题的难度，影响了学生学习的积极性，且书中严重缺乏应用，影响了学生的学习兴趣.该书课后习题设置也不够合理，习题数量不多，难度偏大.

2.3 教学手段和教学方法单一

在课堂上，教师的教学方法以及教学手段基本都遵循“定义—定理—例题—练习”的讲解方式，课堂缺少互动，缺乏生气，教学内容上过多追求系统性，学生很少有自由思考的时间.大多数学生处于上课听得懂，下课题目不会做的状态.学生上课只是盲目地记笔记，被动地接受知识，课堂比较枯燥、乏味，勾不起学生学习知识的欲望.而且这种灌输式的教学手段对学生创新意识以及创新能力的培养是非常不利的，更谈不上学生的个性化发展.

因此，为充分发挥初等数论课程的重要作用，不断提高初等数论的教学质量，初等数论教学改革势在必行.笔者认为，应主要从教学分层次、教学观念的改变、教学内容的更新以及教学方法的革新四个方面，对初等数论教学进行改革.

3 初等数论教学改革

3.1 教学分层次

教育要有目的性，我们必须清楚学生将来会从事何职业，有何需求.数学专业的学生，毕业后很大一部分将进入中小学从事教师工作，当然也有相当一部分学生会选择读研深造，那么我们在教学内容的选择上就应该有所侧重，不能一概而论.

针对今后选择当教师的学生，教师在课堂上要多讲解基础知识，夯实基础，比如整数的整除性、不定方程、抽屉原理以及中国剩余定理等，这些跟中小学教学内容联系密切的知识点应着重讲解.另一方面，课堂上应加强初等数论知识在中小学数学竞赛中的应用，要采取针对性的训练.针对要考研继续深造的学生，讲解内容要全面、系统，注重其与交叉学科间的相互渗透.

总之，教师应针对发展方向不同的学生进行分层教学，不仅使每个学生在初等数论的课堂上都能学到知识，更为其未来的发展奠定坚实的理论基础，并培养其出众的应用能力.

3.2 教学观念的改变

众所周知，教学行为必须在科学的教学理念的指导下进行，没有合乎时代的教学理念，就不会有符合时代需要的教学行为.那么如何快速、有效地改变当前教师落后的教学理念就成为当前教育工作者非常关注的话题.这也势必对初等数论课程改革的推进产生重要作用.

初等数论理论性强，抽象性高，在以往的授课过程当中，教师通常采用“PPT+板书”的授课模式.随着现代信息技术的迅猛发展，学生上课玩手机的现象屡禁不止，这种学生参与度低的授课方式必然导致欠佳的教学效果，因此，教师必须把课堂时间交给学生，才能提高学生的参与度.教师应成为学生学习活动的引导者、组织者和参与者.学校与教师还应该转变传统模式下的考试评价体系.一直以来，考试都被作为评价教师教学质量和学生对知识掌握程度的一个重要手段.不可否认，从某種程度上讲，考试能发挥一定的作用，但它绝不是成绩考核的唯一形式.在实际操作过程中，我们应该促进考核的多样性.例如，把学生的课堂表现纳入考评体系，这样能够有效激发学生的课堂积极性.在作业设置环节，教师可以设置一些难度较大的选做题，给一些课后积极思考、刻苦钻研的学生适当加分，这样能够有效培养学生的自学能力以及科研能力.

教师在课堂上不仅要加深学生对知识的理解，还要加强学生教学能力的培养.近些年来，由于国家加强了对基础教育的投入，更多的知识青年投身教育事业，教师队伍的素质明显提高，中小学教师已基本本科化，部分学校的教师已经拥有硕士甚至博士学历.而在数学教育类专业开设初等数论课程的目的在于培养中小学教师，所以，教师在教学中必须有意识地培养学生的授课能力.

传统的教学观念认为教师从事教育教学工作只要能上好一堂课就行，科研工作在教学中起的作用不大，科研与教学的相结合更多地体现在研究生的培养方面，这是比较传统的认识误区.实际上，加强科研与教学的有机结合，将科研过程中取得的最新研究成果以及国内外的最新研究动向及时、合理地融入课程教学中，不仅能使学生在学习过程中了解到国际的前沿性研究成果以及学科的新动向，还能帮助学生全面、系统、深刻地掌握本学科专业知识，同时拓宽学生的视野，大大激发学生学习的积极性和主动性.

3.3 教学内容的更新

教学内容的更新是教学改革的关键.首先，在教学内容中应适当地增加一些应用性举例.比如在讲解唯一因子分解定理时，可以适当地介绍大数分解的困难性以及RSA公钥体制在密码学中的应用，这样可以激发学生的兴趣，诱导学生进一步查阅资料，开阔眼界，为其日后的深造打下坚实的基础.

其次，增加相关史料，提高学生的兴趣.比如在讲到素数与合数时，可以向学生介绍哥德巴赫猜想以及孪生素数猜想，并介绍我国数学家在这两个问题中的杰出工作，激发学生的爱国热情，并学习老一辈数学家的刻苦钻研精神.例如在介绍不定方程时，可以增加介绍费马的生平、费马大定理的提出、解决过程，以及费马当时写下的一个幽默附注：“关于此结论，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下.”这样能增加课堂的趣味性，在一定程度上消除学生的疲劳，吸引他们的注意力.另外，在讲解同余式以及中国剩余定理时，教师可以向学生介绍同余式产生的背景，也可引入《孙子算经》中提出的著名问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”

最后，教师在授课过程中可以加强与中小学数学奥林匹克竞赛以及公务员考试有关内容的渗透.

3.4 教学方法的革新

改革最终都要通过课堂教学来体现，那么要做好课程改革就必须做好课堂教学改革.

首先，课堂要改变传统的“教师教，学生学”的模式，充分调动学生的积极性，让学生成为课堂的主体，增加学生的参与度.具体地，教师在讲解概念时，可以利用“引导讲解式”教学引导学生提炼、总结、归纳，这样能把传授概念的过程转变为培养学生抽象思维能力的过程;而利用“启发探究式”教学可以把初等数论中的定理、例题的证明过程转变为学生主动探究的过程，从而培养学生的主体意识，加强学生的认知;习题课上可以使用“讲练结合式”教学加深学生对知识的理解与感悟，启迪学生的思维，提高学生的辨题能力，培养他们的科研探索精神.

其次，注意初等数论与数学其他课程之间的联系.教师在教学中要指出辗转相除法、唯一因子分解定理等知识点在初等数论与高等代数中的区别与联系.比如剩余类、欧拉定理等知识与近世代数之间有着深刻的联系，因此，课堂上可以用群论中的拉格朗日定理简单直接地推导费马小定理以及欧拉定理.

4 结语

总之，数学教育改革是永无止境的.本文通过对初等数论课程以上几个方面的探讨，希望能够切实有效地提高教学质量，使学生能够学到更多、更有用的知识，并能很好地将其运用到以后的工作实践中.

【参考文献】

[1] 闵嗣鹤，严士健.初等数论[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2] 潘承彪.初等数论[M].北京：北京大学出版社，1992.

[3] 汤敏.关于初等数论课堂教学的思考[J].高师理科刊，2010，30（1）：88-90.

[4]Kenneth H Rosen.初等数论及其应用[M].夏鸿刚，译.北京：机械工业出版社，2009.