浅谈线性映射在不同基下的矩阵表示及应用

方龙飞 王兵

【摘要】线性代数的核心内容是线性空间的线性映射.研究有限维向量空间的线性映射时，向量在不同基下的坐标表示是不同的，并且线性变换在不同基下的矩阵是相似的.因此，讲解线性变换的性质与相似矩阵的性质可以相互转化，可以让学生的思维在抽象思维和形象思维之间进行转化，帮助学生加深对抽象概念的理解.

【关键词】 矩阵;线性映射;基;相似矩阵

【基金项目】滁州学院教学研究项目（2019jyc050）

矩阵的概念和运算比较抽象难懂，并且很多教材在给出定义之前很少讲其应用背景，从而导致学生不易理解和接受.同时，教材在安排教学内容和案例时较为紧凑，导致学生虽然掌握了运算和性质，但是仍然无法理解其内涵，自然也不能应用于实际问题.线性代数课程包含的线性映射及其矩阵表示的思想和方法是处理很多问题的重要工具.线性映射最重要的是基和基变换，几何上的基和基变换问题可以转化为代数上的矩阵问题，对于同一个线性变换，不同的基对应的矩阵也不同.因此，将矩阵的运算以及矩阵的性质与直观的线性变换问题相转化，有助于学生进一步了解线性变换、矩阵相似、特征值和特征向量，让学生对本门课程有更深刻地了解，并能应用它解决问题.

1 线性映射的概念及其矩阵表示

线性映射是研究线性空间中元素之间的最基本联系.我们将说明线性变换与矩阵之间的关系，通过这种关系，我们可以将线性变换问题转化为矩阵问题，再用矩阵的理论解决相关问题.为便于理解，我们将给出相关概念.

定义1 映射T：UMT ExtraaA@V称为线性映射，若滿足以下两个条件：

（1）对任意的u1，u2∈U，T（u1+u2）=T（u1）+T（u2）;

（2）对任意的向量u∈U和数k，T（ku）=kT（u）.

从以上定义可以看出，向量的和的像等于向量的像的和，向量数乘的像等于向量的像的数乘.也就是说，线性映射保持了向量空间的线性运算，保持了向量空间的结构.因此容易推出如下性质.

定理1 设映射T：RnMT ExtraaA@Rm是线性映射，则对于任意的x∈Rn，存在唯一的矩阵A，使得T（x）=Ax，其中A=Te1，T（e2），…，T（en）.

证明 对于任意的x∈Rn，不妨设x=x1x2xn=（e1，e2，…，en）x1x2xn，

则T（x）=x1T（e1）+x2T（e2）+…+xnT（en）

=Te1，T（e2），…，T（en）x1x2xn.（1）

令A=Te1，T（e2），…，T（en），则T（x）=Ax.矩阵A可以看作原来的基通过线性映射得到的新的基构成的，映射可以看成原基到新基的函数.由（1）式得，x在基{e1，e2，…，en}上的坐标为x，T（x）在基{e1，e2，…，em}上的坐标为Ax.若T（e1），T（e2），…，T（en）线性无关，则T（x）在基{T（e1），T（e2），…，T（en）}上的坐标也为x.因此，矩阵对向量的变换，其实是在其基底上的变换，而坐标仍然不变.

通过以上知识点的呈现，我们可以看出线性映射可以用矩阵表示，进而引导学生将线性映射问题转化为矩阵问题.从以上知识点我们可以看出，数学中的概念都是现实生活中具体问题的概括和抽象.在教学中，教师可以将抽象的不容易理解的概念进行适当的具体化和解析，从专业学科的应用上了解其来源，这样更能激发学生的求知欲，使其体会数学之美.

2 向量空间中不同基下的坐标向量的联系

在有限维向量空间中，任何向量都可以用一个基向量组做唯一的线性表示.对于一个向量空间，指定一个基相当于指定了一个坐标系，此坐标系使得向量空间的操作同Rn的操作一样简单.我们给出如下定义.

定义2 假设A=α1，α2，…，αn是向量空间U的一组基，则对U中的每一个向量x存在唯一的数c1，c2，…，cn，使得x=c1α1+c2α2+…+cnαn，即x=α1，α2，…，αnc1c2cn，则称Rn中的向量[x]A=c1c2cn为x相对于A的坐标向量.

空间中的所有向量都可以由一组基线性表示，以上定义反映了向量空间U与Rn同构，因此，向量空间U的线性运算可以转化到Rn上的线性运算.同时我们需要注意，向量与向量的坐标表示是两个不同的概念.只有在向量空间中取了基后才有向量的坐标表示（若对基没有说明，则默认基是{e1，e2，…，en}，例如定义1）.对于同一空间中的某个向量，在定义1中我们取了一组标准基，事实上不同的基会对应不同的坐标.我们可以将不同基下的坐标表示对应看成不同的数学语言，也就是说，同一个向量用两种不同的数学语言表示.在某些应用下，我们需要将向量在一个基的坐标表示转化为另一个基的坐标表示.

那么如何找到这两个基的坐标表示之间的联系呢？我们发现，用来描述映射的矩阵不仅可以把线性空间中的一个向量转化为另一个空间中的向量，也可以把其中一个基的坐标表示转化为另一个基的坐标表示.

定理2 设B={α1，α2，…，αn}和C={β1，β2，…，βn}是向量空间U的基，则存在一个矩阵PB→C使得[x]C=PB→C[x]B，其中PB→C=[[α1]C，[α2]C，…，[αn]C]，我们称PB→C为由B到C的坐标变换矩阵.

证明 对于任意的x∈U，x=[α1，α2，…，αn][x]B=[β1，β2，…，βn][x]C.

由于B={α1，α2，…，αn}和C={β1，β2，…，βn}是向量空间U的基，因此存在n阶可逆阵PB→C使得[α1，α2，…，αn]=[β1，β2，…，βn]PB→C，即PB→C=[[α1]C，[α2]C，…，[αn]C]，故[x]C=PB→C[x]B.

特别地，若向量空间U是Rn，则[α1，α2，…，αn]，[β1，β2，…，βn]为n阶可逆矩阵，因此PB→C=[β1，β2，…，βn]-1[α1，α2，…，αn].

对上面定理的证明，可让学生对矩阵的应用有更深层次的理解，从而提高学生的兴趣，激发学生的求知欲.

3 相似矩阵与线性变换的关系

相似矩阵作为线性代数课程中非常重要的概念，它从何而来？这个概念不可能是凭空想象得出的，相似矩阵是线性变换在不同基或坐标系下的不同描述，因此它是为了解决实际问题而提出的.从矩阵角度，很多学生对这些共同的性质不容易产生直观的理解，但通过对此知识背景的了解，从线性变换的角度看待这些性质，就会发现它很直观，便于理解.例如，相似矩阵的特征值为什么相同，而特征向量不一定相同.

线性变换是线性空间U到自身的线性映射，要想了解线性变换，首先要取一组基，然而线性变换在两个不同基下的矩阵表示是不同的，它们之间有着何种联系呢？

现在我们考虑一般情形：若选择B={α1，α2，…，αn}作为向量空间U的基，对于任意的x∈U，设x=（α1，α2，…，αn）[x]B，有T（x）=T（（α1，α2，…，αn）[x]B）=（T（α1），T（α2），…，T（αn））[x]B

=（α1，α2，…，αn）（[T（α1）]B，[T（α2）]B，…，[T（αn）]B）[x]B.

取定基后，从此基的坐标角度观察线性变换，线性变换T可以表示为：T：[x]BMT ExtraaA@（[T（α1）]B，[T（α2）]B，…，[T（αn）]B）[x]B，则（[T（α1）]B，[T（α2）]B，…，[T（αn）]B）是线性变换T相对于基{α1，α2，…，αn}的矩阵.因此，当取定了一组基后，线性变换与矩阵有着一一对应的关系，研究线性变换的问题可以转化为研究矩阵的问题.反过来，研究矩阵的性质时，也可以将其转化为研究线性变换的问题，通过研究线性变换的性质，许多问题可以给出一个直观的解释.如果我们了解了这两种不同的情况，那么就能够从不同的角度去分析和解决问题.

现在考虑Rn上的线性变换T为T（x）=Ax.若选择标准基{e1，e2，…，en}，在基{e1，e2，…，en}下T（x）可以表示为坐标T：xMT ExtraaA@Ax，则A是线性变换T相对于{e1，e2，…，en}的矩阵.若任选一组基B={α1，α2，…，αn}，令P=（α1，α2，…，αn）， 则

（[T（α1）]B，[T（α2）]B，…，[T（αn）]B）

=（[Aα1]B，[Aα2]B，…，[Aαn]B）

=（P-1Aα1，P-1Aα2，…，P-1Aαn）

=P-1AP.

因此，P-1AP是线性变换T相对于{α1，α2，…，αn}的矩阵.从不同的基来观察线性变换，作为描述同一个线性变换的两个不同基下的矩阵A和P-1AP是相似的.进一步地，由相似的传递性，可推断出同一个线性变换相对于不同基的矩阵是相似的.因此，通过换基可以将一个复杂的矩阵问题转化为另一个简单的矩阵问题，这里便涉及相似矩阵的概念和性质.由于矩阵A和P-1AP是线性变换在两个不同基下的表现形式，那么线性变换的性质与取定基的矩阵有哪些联系呢？

设T为向量空间U上的线性变换，存在某个y∈U满足T（y）=ay（a为常数），称y是线性变换T的特征向量，a是线性变换T对应于特征向量y的特征值.设B={α1，α2，…，αn}是向量空间U的基，设y=（α1，α2，…，αn）[y]B，则在基B={α1，α2，…，αn}上的坐标表示为T：[x]BMT ExtraaA@M[x]B，[T（y）]B=[ay]B=a[y]B.y在基B={α1，α2，…，αn}上的坐标变换为T：[y]BMT ExtraaA@a[y]B，因此，称[y]B是矩阵M的特征向量，a是矩阵M对应于特征向量[y]B的特征值.

综上，线性变换T和其相对于某个基的矩阵的特征值是相同的，但是特征向量不同，线性变换T相对于某个基的矩阵的特征向量[y]B是线性变换T相对应的特征向量y在该基上的坐标表示.

现在通过例子对上面的知识加以理解和应用.

例 设R3上的线性变换为T（（a，b，c）T）=（a+3b+3c，-3a-5b-3c，3a+3b+c）T.

（1）求T在α1=（1，-1，1）T，α2=（-1，1，0）T，α3=（-1，0，1）T下的矩阵;

（2）求线性变换T的特征值和特征向量.

解 （1）T（（a，b，c）T）=（2b+c，a-c，3a）T=133-3-5-3331（a，b，c）T，

因此，线性变换T相对于{e1，e2，e3}的矩阵为A=133-3-5-3331.

令P=α1，α2，α3，于是T相对于{α1，α2，α3}的矩阵为P-1AP=1000-2000-2.

（2）P-1AP的特征向量分别为e1，e2，e3，对应的特征值分别是1，-2，-2，因此线性变换的特征向量分别为Pe1，Pe2，Pe3，即α1，α2，α3，对应的特征值分别为1，-2，-2.

通过以上应用，一个问题开始时是用一个基描述，但是通过换基后问题就变得容易解决了.

4 结 语

将线性代数这门课程与专业课对接，教师不仅需要熟悉课程的内容，也要了解学生的专业涉及的内容，这样才能提高学习的积极性，让学生能够学有所用.线性变换是线性代数中较为抽象的内容，直接去理解这部分内容是有些难度的，但是我们可以将线性变换问题转化为矩阵问题，这样问题就变得更好解决了.教师在教学中要善于挖掘课本中知识点之间的联系，从不同角度去理解相關知识，从而提高线性代数的教学效果.

【参考文献】

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[4]Peter D Lax.线性代数及其应用：第二版[M].北京：人民邮电出版社，2009.