螺旋弹簧横向静刚度计算及动刚度频变分析

张名扬，张开林，姚远

(西南交通大学 牵引动力国家重点实验室，四川 成都 610031)

0 引言

等截面圆柱形螺旋压缩弹簧因结构简单可靠、变形范围宽泛等优点广泛应用于仪表、电器、交通运输等行业[1-3]。在轨道交通领域，螺旋弹簧被大量应用在机车车辆的悬挂装置上，起缓和因轮对行径线路不平顺、轨缝、道岔、钢轨磨耗和不均匀下沉以及车轮不圆、轴颈偏心等原因引起的振动和冲击[4]。螺旋弹簧的动态传递特性显著影响着列车运行的安全性、平稳性和舒适性，准确分析其刚度特性是保证动力学计算精度的前提。

轮轨冲击振动对列车运行速度十分敏感。列车在高速运营时，轮轨间动作用力显著增强，激励频率范围变宽[5]。激励产生的中高频振动传递到转向架及车体，造成零部件的振动特性与低速时大不相同[6]。当列车侧向通过道岔时，剧烈的轮轨横向冲击将导致十分复杂的轮岔动态相互作用，引起车辆较强的横向振动，导致较大的脱轨系数，对行车安全产生不利影响。弹簧的横向刚度关系到列车曲线通过性和横向运动性能，而振动频率又会影响弹簧动态传递特性[7]。现有文献大多仅对弹簧垂向刚度进行分析，而横向动刚度的研究近似空白，故探究不同激励频率下螺旋弹簧横向刚度特性是具有理论价值和工程意义的。

本文对螺旋弹簧的横向静刚度及动刚度进行有限元分析。依据计算结果，对Krettek刚度公式进行修正，提高公式的计算精度。改变加载条件和弹簧参数，施加横向正弦位移激励进行频变分析，探究影响弹簧动态传递特性的因素。

1 螺旋弹簧横向静刚度

1.1 Krettek刚度公式

传统的螺旋弹簧横向静刚度计算一般是将弹簧简化成等截面弹性直杆[8]。定义弹簧等效弯曲刚度B、等效剪切刚度S、垂向静刚度kv分别为：

(1)

(2)

(3)

式中：d为簧丝直径；D为弹簧中径；n为弹簧有效圈圈数；E为弹性模量；μ为泊松比；H为弹簧工作高度，H=H0-fv-d，fv为弹簧垂向压缩量，H0为弹簧自由高度。

假定弹簧受横向载荷变形过程中上、下端面始终保持水平，如图1所示。由于结构具有对称性，零弯矩点为弹簧中点，取二分之一为研究对象[9]。建立弹簧变形的微分方程，带入边界条件，得到弹簧横向静刚度kl的理论值为

(4)

其中

(5)

式中Pv为垂向载荷，Pv=kv×fv。

KRETTEK O等[10]引入修正因子α来考虑弹簧fv和H0对横向静刚度的影响。Krettek刚度公式为

klk=αkl=(afv/H0+b)×kl

(6)

式中a、b为修正系数。

图1 横向变形示意图

1.2 有限元分析

为探究影响弹簧横向静刚度的因素，构建两端磨平的螺旋弹簧有限元计算模型。支撑区域由于形状相对复杂，采用SOLID95号单元；中间有效区域采用SOLID45号单元。为正确模拟实际工作状况，将弹簧上、下端面所有节点分别刚性耦合至各自的中心点A点及B点。在B点施加固定端约束，在A点施加垂向及横向位移载荷。通过静力分析，在ANSYS软件的POST26后处理模块中提取横向支反力，除以横向位移量fl，即可得到横向静刚度kl的有限元分析结果。

肖绯雄[11]发现横向载荷的加载方向会对螺旋弹簧垂向静刚度kv产生影响。为探究加载方向对kl是否有影响，在受载端以A点为坐标原点，建立如图2所示的坐标系。y轴与受载端切口平面S1的法向相平行，且向外为正。通过改变有效圈和支撑圈的圈数，调整受载端切口平面S1和约束端切口平面S2的相对位置，将两切口平面所夹角度θ分为4个区间。通过有限元计算，定性分析不同加载方向下kl随fl和fv的变化趋势，如表1所示。

图2 平面直角坐标系

表1 切口平面不同位置横向静刚度变化趋势

当载荷沿+x向加载，夹角θ在0°～270°范围内时，kl随着fl的增加而增加；当θ在270°～360°范围内时，kl随fl的增加而减小。沿-x向加载有相反的规律。

当载荷沿+y向加载，夹角θ在0°～180°和270°～360°范围内时，kl随着fl的增加而增加；当θ在180°～270°范围内时，kl随fl的增加而减小。沿-y向加载有相反的规律。

同时，kl随着fv的变化趋势与随着fl的变化趋势相反。

以弹簧两切口平面夹角θ在270°～360°内的模型为例，定量分析横向载荷加载方向对kl的影响，如图3所示。依次改变fl和垂向压缩量fv，绘制kl的变化曲线，如图4、图5所示。对于无垂向压缩的状态，无论横向载荷加载方向如何，kl均不随fl发生改变，沿x轴、y轴加载时的刚度值分别为386.65N/mm和377.62N/mm；对于存在垂向压缩的状态，kl随fl的增加呈负指数次的增加/减小，且最终都趋于无垂向压缩时的刚度值。当fv远大于fl时，弹簧垂向变形占主导地位，故kl随fv的增加呈线性增加/减小，且随着fl的增加，kl变化速度减缓。

图3 不同加载方向横向静刚度变化曲线

图4 横向静刚度随横向位移量变化曲线

图5 横向静刚度随垂向压缩量变化曲线

由上述分析可知，螺旋弹簧受载端的fl和fv都会对弹簧kl产生影响，而Krettek刚度公式仅考虑了fv的影响，故其存在一定偏差。

1.3 横向静刚度修正公式

在Krettek刚度公式的基础上，综合考虑fv和fl对kl的影响，对参数α进一步优化，建立三参数模型：

(7)

式中a1-a3为修正系数。

为验证修正公式(7)的普遍适用性，建立不同参数的螺旋弹簧模型。通过对有限元计算结果的拟合，求得各自的横向静刚度修正系数，如表2所示。对比发现，对于沿同一轴正、反两个方向加载的情况，修正系数中只有系数a1存在着正负的差别。螺旋弹簧在铁路车辆中均对称布置于构架两侧，为消除横向位移量对横向总刚度的影响，右侧弹簧可由左侧弹簧旋转180°后安装。

将不同fv和fl带入修正后的横向静刚度公式(7)，与有限元法相比较的计算误差见表3。显然，公式(7)的计算精度和稳定性均优于现有方法。

表2 弹簧几何参数及修正系数

表3 横向刚度修正公式计算误差绝对值 单位：N·mm-1

2 螺旋弹簧横向动刚度频变特性

2.1 横向动刚度变化趋势

中高频激励下，螺旋弹簧自身振动加剧，弹簧各点的运动情况变得非常复杂[12]。特别是当激励频率较高时，刚度变化较大，振动传递特性与低频激励下存在较大差异[13]。为研究弹簧在中高频激励下的动态响应，需进行频变分析。引入动刚度kd来描述弹簧动态传递特性。由于螺旋弹簧在中高频激励下振动波动传递效应的存在，固定端和受载端由弹簧变形而产生的反力不同，将动刚度kd进一步分为点刚度kdP和传递刚度kdT[14]：

(8)

式中FWP、FWT分别为弹簧受到幅值为um的正弦位移激励后，受载端和固定端的反作用力幅值。

在B点施加全约束，在A点施加垂向预压缩量fv及横向正弦位移激励ul(t)。通过有限元计算，在ANSYS软件的POST26后处理模块中提取横向支反力FWP和FWT，除以um，即可得到kdP和kdT。

ul(t)=umsin(ωt)=umsin(2πft)

(9)

式中ω、f为激励频率。

选取表2中的模型1，设置加载条件：fv为50mm，横向位移激励沿+x向加载，um为5mm，材料的阻尼比为0.05。进行频变分析，绘制kd随f变化曲线(简称kd-f曲线)，如图6所示。当f较低时，kd基本等于静刚度；当f位于弹簧各阶横向共振频率附近时，kdP急剧下降，出现谷值；高于共振频率后，kd升高并出现峰值。如此，随着f的提高，kd的谷值、峰值交替出现，总体呈波动上升的趋势。

图6 横向动刚度随激励频率变化曲线

2.2 横向动刚度影响因素

为探究影响螺旋弹簧横向动态传递特性的因素，将2.1节中的模型1设为对照组，加载条件为激励加载方向为x轴向，垂向预压缩量为50mm，阻尼比为0.05。每次只改变模型中的1个参数，通过有限元计算，进行频变分析，绘制kd-f曲线。不同参数对弹簧横向动刚度的影响效果如表4所示，表中的频率是动刚度出现峰值和谷值点所对应的频率。

表4 弹簧动刚度极值点放大倍数及对应激励频率

改变横向激励的加载方向，如图7所示，发现加载方向仅影响到kd-f曲线峰值段的形状，对横向动刚度总体的变化趋势并无显著影响。

图7 不同加载方向横向动刚度随激励频率变化曲线

改变fv为0mm(无预压缩)和70mm的初始状态，进行有预应力的模态分析(表5)。随着fv的增加，各阶横向共振频率呈逐渐减小的趋势。施加横向激励，进行频变分析，绘制不同fv下的kd-f曲线，如图8所示。

表5 不同预压缩量弹簧横向共振频率 单位：Hz

图8 不同预压缩量横向动刚度随激励频率变化曲线

改变激励幅值um为10mm和20mm，进行频变分析。发现不同um下的kd-f曲线高度重合，即激励幅值并不会影响弹簧的动刚度特性。

改变材料的阻尼比为0.03和0.04，得到不同阻尼下的kd-f曲线，如图9所示。随着阻尼比的增大，kd的谷值呈不断增大，峰值呈不断减小的趋势，即提高弹簧材料的阻尼可显著降低kd的波动幅值。在小阻尼的情况下，阻尼对共振频率无明显影响，故阻尼比的改变并不会影响波峰、波谷所对应的激励频率。

图9 不同阻尼比横向动刚度随激励频率变化曲线

3 结语

为探究等截面圆柱形螺旋压缩弹簧横向静刚度及动刚度特性，建立弹簧有限元计算模型。静载下，分析横向载荷的大小、加载方向及垂向压缩量对横向静刚度的影响，修正横向静刚度公式。动载下，依次改变横向激励的加载方向、激励幅值、垂向预压缩量和弹簧材料的阻尼等参数，进行频变分析，绘制横向动刚度随激励频率变化曲线，分析横向动刚度的影响因素。结论如下：

1) 静载下，弹簧所受的横向位移量和垂向压缩量都会对横向静刚度产生影响，横向静刚度与横向位移量呈负指数次的关系，与垂向压缩量呈线性的关系。修正后的横向静刚度公式可综合考虑上述两个因素，计算精度和稳定性都有所提高。另外，横向载荷的加载方向以及螺旋弹簧上、下两切口平面的相对位置会影响横向静刚度的变化趋势，在工程应用中应注意这种影响。

2) 动载下，当横向激励频率等于弹簧各阶共振频率时，弹簧点刚度急剧下降，出现谷值；高于共振频率后，动刚度升高出现峰值。如此，随着激励频率的提高，螺旋弹簧横向动刚度的谷值、峰值交替出现，总体呈波动上升的趋势。选用阻尼比较高的弹簧材料可以显著降低横向动刚度的峰值，减小波动范围。垂向预压缩量及横向位移激励的幅值对横向动刚度基本没有影响。