“角的度量”前概念探析及其转化

朱洁芬

[摘  要] 小学生在学习“角的度量”时，在测量对象、工具、单位、方法和结果等方面都存在一些前拥理解。教学中充分探析这些前概念，从学生想法开始，借助比喻、操作、变式、反思等策略，引导学生看清自己的想法怎样得到修正和转换，能促进学生主动学习。

[关键词] “角的度量”;前概念;转化策略

心理学研究表明， 学生总是“带着有关世界如何运作的前概念来到课堂”“如果他们的初期理解没被卷入其中，那么他们也许不能掌握所教的新概念和信息”。对此，笔者以“角的度量”为例，尝试探析前概念及其转化，促进学生主动学习。

一、前概念探析

1. 关于测量对象

角的度量对象是两条边张开程度的大小。虽说在此之前学生已经认识了角，知道了角的两条边都是射线，但在初始探究中仍然发现，不少学生还是会像量线段一样，把量角器直边的一个端点对准角的顶点。之所以这样量，原因可能是多方面的。不过，首要的还是对测量对象的理解有偏差。有的压根儿没想过测量对象问题，有的是根据长度测量类推，用量角器的直边去量角的两条边的长度，这些都暴露出他们对测量对象的迷思。

2. 关于测量工具和单位

测量角的大小你会选择什么工具？绝大部分学生都知道要选择量角器。可能生活中买文具的时候，直尺、量角器都是成套出售，因而学生对量角器并不陌生。但对“量角器有什么用”的问题，有些学生的回答竟然是：量弯曲物体的长度！这样顶端对齐的方法似乎也释然了：也许，他们本来就认为，量角器的价值在于用带刻度的半圆边去量物体中曲边的长度！但老师给的却是一个没有曲边的角。于是，他们就根据已有的经验“凑合”了一下，或许还会觉得很疑惑：老师，您给的图形与这个工具不匹配啊！这样的感觉也决定了他们对单位的认识只能是一维的。

3. 关于测量方法和结果

在很多教学现场可以发现，即使教师明确指出顶端对齐无法量出角的大小，学生还是无法自主找到正确的方法。可见，已有的长度测量经验无法直接推動新方法的建构。教师常常不得不直接揭示“二重合”的方法。这样的简单告知虽大幅度缩短了学习时间，但也带来了一些意料不到的后果：有的学生经常读错内外圈刻度，有的学生频繁出现较大的误差，特别是接近整10度或整5度时。对于后者，教师还常常认为是态度问题。如果仔细观察就会发现，其实是因为零头部分的测量非常随意，甚至方法发生了走样。

二、转化策略探讨

教学中如何针对这些前概念采取策略，促进前概念的有效转化呢？这里可以借助比喻、操作、变式、反思等，促进学生初期理解的修正、完善与提升。

1. 借助比喻，让测量对象由“形”升格到“量”

与线段相比，角的概念内涵特别丰富。角本质上不仅是一种“形”，更是一种“量”，是一种用来刻画两条射线张开程度的量。如何引导学生排除固有的与“形”紧密联系的长度测量的困扰，建构新的量化对象呢？

面对一组大小不同的角，笔者曾尝试借助比喻提出过下面两个问题：你们看，这些角都非常像我们再熟悉不过的一张张张开的嘴巴吧？如果把这些角比作张开的嘴巴，你觉得它们有什么不同呢？学生很快发现，主要是张口大小有所不同，边长一点的不一定张口就大。与角的量化本质特别契合的比喻，有效激活了学生的自身经验，从而帮助他们轻松摆脱了固有的思维定式，关注新的量化对象。

这样的策略甚至可以用于低年级初学者。比如，在角的初步认识时，就让“形”与“量”实现同步建构，从而有利于日后度量对象的理解。

2. 借助操作，让测量工具和单位由“特别”升格到“一般”

与直尺相比，量角器要复杂很多。半圆形边缘布满密密麻麻的刻度，难免使人想到这个工具非常“特别”，可能是一把弯曲了的尺，是用来测量曲线长度的。如何让学生感悟到它的服务对象并非曲线长度，而是角的两条边张开的程度呢？

在学习角的度量前，学生不仅初步认识了角，还知道了直角、锐角和钝角。考虑到学生对量角器的名称并不陌生，量角前可以引导学生先基于名称思考：既然叫作量角器，那么量角器应该是用来量什么的？大部分学生能根据名称推想出它的服务对象是角。然后让学生在量角器上进行如下操作：你能在量角器上找到已经学过的直角吗？能找到一些锐角和钝角吗？这些角都有什么共同点？这些量角前先找角的操作，能让学生轻松找到量角器的中心，理解半圆源于角的拼合，进而认识单位。有了这样的基础，学生大多能感悟到其与直尺的“一般”之处：都有起始刻度线、刻度数、单位等，从而自主解构有关曲线度量的错误认识。

不过，有老师一开始就让学生找单位角，特别是1度的角，效果并不理想。这种操作最好还是从学生熟悉的角，比如直角、锐角、钝角等找起。

3. 借助变式，让测量方法由“程序”升格到“原理”

在角的度量练习中，经常会出现一些量角器的摆放，让学生判断。这些摆放中有一种经常被认为是错误的。仔细思考，这并非错例，而是一种变式。这种变式，是引导学生深度理解测量方法的极好资源。

对此，首先引导学生思考，这种量法是否正确？对于认可这种方法的学生要适时追问：如果这样量，结果是多少？学生可能又有不同的想法。有的认为是150度，有的认为是110度，不妨让他们充分发表自己的意见。然后让学生通过最“笨拙”的数的方法（包含了11个10度或110个1度），验证结果。借此，让学生感知度量程序的多样性，进而感悟不同程序背后共通的测度原理：“有限可加性”“运动不变性”和“正则性”等。有了这样的理解，读数时内外圈不分的现象也会被彻底修正。

4. 借助反思，让测量结果由“容误”升格到“求准”

由于角的度量有时不可避免存在一定的误差，教学中一般采取宽容的态度，特别是初学的时候。不过，这里要警惕有的“误差”可能是一种度量方法的走样。如接近整10度或整5度时出现的误差，可能源于学生在处理这些接近“特别”刻度线的“零头”部分时，读数顺序发生了错误的“逆转”，从而产生较大的误差，而非“马虎”所致。

对此，教学中要充分利用学生度量中出现的“误差”资源，关注“零头”的度量：这些“零头”的读数顺序为什么不能随意“逆转”？从而感悟这样的“逆转”违背了测度原理，从而激发自主“求准”的意识。

总之，充分了解学生前概念，从学生已有的想法开始，借助比喻、操作、变式、反思等策略，引导学生看清自己的想法怎样得到修正和转换，能有效推动学生主动学习。