突破表象，凸显本质

斯旦红

[摘  要] 从学生理解的模糊表象入手，通过更新表象、重组思维，引导学生自主反思基础知识、解题过程与数学方法，这是促进深度学习，形成数学核心素养的有效途径。

[关键词] 低段数学;错题;表象;本质;深度

“数学是思维的体操”。低段学生的数学思维以形象思维为主，但是只注重形象思维的训练，或者仅仅只进行表象层次的教学，必然使学生对知识的学习限于肤浅。比如对于“角的大小”，有学生记住了教师讲的：角的大小与所画的两条边的长短无关，角的两条边都是射线，但无法理解“射线”（四年级内容），这样学生的思维就停留在语言记忆表象的水平，这种表象层次的理解有时也会在解题中蒙混过关，但更多时候会露出马脚。深度学习要求学习者积极地去探究、思考与创新，能够有批判性地学习新知识，并把知识迁移到新的情境中去。以下结合低年级数学解题指导的教学实践，与同行探讨如下。

一、強化读题，打好深度学习之根基

1. 整体感知，突破文字表象

例1  爸爸带我和妹妹去植物园游玩，植物园的成人票是20元，儿童票是12元，一共要花（    ）元。

①32②44③52

[错误分析] 列式：20+12，错误选择答案①。

[教学对策]

（1）突破陈式，加以区别。

注意把当前题目区别于常规陈式题，常规陈式题比如：琪琪昨天看了一本书的20页，今天又看了这本书的12页，两天一共看了多少页？正确列式20+12=32（页）。指导学生逐字逐句分析当前题目，完整理解题意。在本题中，“爸爸带我和妹妹”意思是告诉我们“要购买1张成人票与2张儿童票”。

（2）重建实物，加强直观感受。

建构新的表象，如图1所示，它代表了本题的数量关系，这是表象形象性与概括性体现，可以使原有错误表象被突破。

2. 全面理解，突破程序表象

例2  把这些数用大于符号连接起来：

11    16    5    26    19

（  ）○（  ）○（  ）○（  ）○（  ）

[错误分析] 有的教师规定：如果题目要求比较5与4的大小，学生只能写5>4，如果写4<5就算错误，据说这样是为了防止考试出错。急功近利的评价方式、机械的学习方法往往导致形成“跟着感觉走”的程序表象。在本题中，不少学生会错误地写成11<16>5<26>19。

[教学对策]

（1）强化读题，明确是否必须。划出关键词：“这些数”“大于符号”。分析：这里规定了什么？没规定什么？（规定必须用这些数与大于符号;没规定这些数的顺序）

（2）探讨步骤，明确解题顺序。想一想：是先填数字还是大于号？为什么？

（3）触类旁通，促进题型互通。思考：这道题相当于完成以前哪种练习？（从大到小排列数），这样排需要遵循什么原则？（前边的任何一个数都比后边的数要大）

二、强化双基，稳固深度学习之主干

1. 合理区分，突破概念表象

例3  判断大小：1时○100分

[错误分析] 1时=100分。学生受诸如“1米=10分米=100厘米”“1元=10角=100分”等常规进率的概念表象所左右，对于“时和分”的进率作出错误判断。

[教学对策]

（1）澄清概念。①1元=10角=100分;②1时=60分，前者是人民币的单位，后者则是时间单位，教师要引导学生对此进行比较，强化概念界限。

（2）强调一些相邻单位进率不是10的概念教学并不断训练，如：1周=7天;1天=24时;1双=2只……

2. 灵活运用，突破动作表象

学生头脑中对于数学操作过程产生的记忆形象是一种动作表象，可以逐步形成数学操作的技能，这要以相关概念认知及操作的正确性为前提。

例4  如图2（上）所示，这支铅笔的长度是（  ）厘米。

[错误分析] 有不少学生填写答案是8厘米，这中间的错误又分两种情况：一是“瞻前不顾后”——忽视了对左边起点的要求，属于不细心;二是“丢了初心”——平时自己也有从1厘米开始量并从所量物体末端位置来读数的错误情况。

[教学对策]

（1）规范基本操作。必须把铅笔的一端与0位置对齐，读出铅笔另一端所在位置的读数。

（2）发展基本操作。测量物体长度也不是非从尺子的0位置量起不可，但读数要减去前边多量的长度。

（3）区分相同数字的不同情况。如①小明看书从第1页看到第8页一共看了多少页？②小明从刻度1厘米位置开始量发现铅笔末端正好在刻度8厘米的位置，铅笔长度是几厘米？

3. 整体入手，突破规律表象

例5  在下列数字后按规律添加一个数：2    4    8    14    （  ）

[错误分析] 只从局部考虑问题，认为这一列数从2到4增加了2个，所以就在14后边填入了16。

[教学对策]

（1）加大训练，重组表象。通过写一写、画一画等比较直观的手段让学生重组规律表象。

（2）整体入手，整体出手。整体入手，就是要全面分析整列数的前后关系，防止“一叶障目，不见森林”。整体出手，就是发现的规律要经得起检验。

2   4   8    14  （  ）

+2  +4  +6  +（  ）

4. 华丽转身，突破法则表象

例6  比较大小：17+45+9〇49+5+17

[错误分析] 学生牢记“先计算后比较”，不越雷池半步，这样一不留神就会出现错误的结果。

[教学对策]

（1）学会观察，特事特办。本题可以把两个17都圈出来放一边不考虑，再比较45+9与49+5的大小，发现两边的十位上有一个4，即40，两道算式的个位都是5和9相加，所以两道算式得数一样。

（2）自我建构，举一反三。这种由学生自我建构的法则不再是一种表象，而是对于数学算理深度理解的结果，实现了深度学习。

三、突破生活表象，催生深度学习之枝叶

1. 打破机械性，提炼习惯表象

例7  一个长方形剪一刀去掉一块，余下的图形有几个角？以下情况不可能的是：①5只角②4只角  ③3只角  ④2只角

[错误分析]习惯性认为4只角中剪去1只就是3只。

[教学对策]

（1）实际操作。实际操作保留长方形原来的三只角剪去一只角可能发现增加了两只新角，这样5只角就是可能的。

（2）分类探讨。题目中并没有表明剪一刀的位置，所以不能只停留在结果是5只角这一种可能性上。

2. 防止局限性，修正观察表象

例8  如图4所示由多个小立方体拼成的物体，如果每个小立方体的重量是9克，那么整个物体的重量至少有（  ）克。

[错误分析] 局限于图画看问题，认为图中只有4个立方体。

[教学对策]

（1）实际操作，防止纸上谈兵，理解生活中不存在空中楼阁。

（2）深化理解，进一步探讨如图所示是否必定是5个立方体呢？由于遮挡的原因，视线看不到的还有可能存在更多小方块，這也是题目中出现“至少”两字的原因。

四、突破方法表象，绽开深度学习之花朵

1. 出奇制胜，突破顺序表象

例9  已知□+▽=17，〇+▽=14，〇+〇=16，那么〇+▽+□+▽+〇+〇=（  ）。

[错误分析]从第一个算式入手去猜测□与▽各是多少，然后代入后边的算式中再进行分析求解，错误率非常高。

[教学对策]

（1）中间突破。从已经条件中的〇+〇=16可以发现〇=8，然后再往前突破，自然可以得到答案。

（2）逆向思考。由结论出发，运用整体思考的方法，可以发现所求六个数之和中第1、第2两数之和正好是14，后边第3与第4两数则是17，最后两数是16，这样可以更快得到答案。

2. 另辟蹊径，突破视野表象

例10  杰克买了30个橘子，第一天吃了一些，第二天又吃了一些，还剩下14个橘子，杰克两天一共吃了几个橘子？

[错误分析] 受“第一天、第二天、一共”这些文字影响，学生会去搜寻第一天、第二天各吃了多少个橘子，可是从题目中无从得知，这样解题思路就中断了。

[教学对策]

数学中存在“整—分、内—外、分—合、顺—逆”等视野关系，从低年级起要有意识地向学生渗透问题解决视野的训练，逐步达到“一览众山小”的佳境。

（1）借助线段图明确数量关系，为发现新思路提供支撑。

（2）调整视野。如果把两天吃的个数当作整体看成一个加数，还剩下的个数14又是另一个加数，和是30，那么求其中一个加数理应用减法来计算。

由上可见，从学生理解的模糊表象入手，是充分尊重学生学习主体性的表现。通过不同的数学策略与数学思想去引导学生更新表象，重组思维，则是对学生学习最近发展区的积极触碰;在更新表象的基础上让学生反思基础知识、解题过程与数学方法则可以帮助学生促进对可持续发展局面的全面构建。唯有如此，数学深度学习之花才能纯香宜人，历久弥新。