指向深度学习的小学数学任务设计

刘娟娟

(南京晓庄学院 教师教育学院，江苏 南京 211171)

一、研究背景

近几年来，小学数学课堂教学正逐步由“教为中心”向“学为中心”、“浅层学习”向“深度学习”进行转型，虽然出现了各种不同的教学主张和教学方式，但其中共性的地方还有很多。比如各种学习单、研学单、助学单、研究单、学历案等频频出现在小学数学课堂中，其内容都是以呈现各种数学任务为主，但是由于设计者水平不同，所呈现的数学任务也参差不齐，看上去学生都在花时间“埋头”完成一个个任务，但实际上很多学习还停留在浅层次水平。

1.观察这道算式，你有什么发现？你准备怎样计算？

2.把下图中的正方形看作单位“1”，把算式中的加数填入图1。

图1

这种做法看上去好像没有问题，但实际上暴露出学生并没有完全理解此类问题的解决策略，即学生对如何利用图形解决类似的计算问题，还停留在回忆事实的浅层次水平上，对数形转化思想的感悟没有真正到位。

图2

128+64+32+16+8+4+2+1。……③

这里借助图2启发学生思考，一方面让学生体会到：只要加数间的关系保持不变，一幅图可以解决一类相似的数学计算问题，感受画图的本质就是建模。另一方面，采用只看不填的方式，让学生展开想象，感悟将这类计算转化为图形之后，可以发现其背后更为一般的规律，从而简化了原来的计算。

上述案例中，执教者出示图1，让学生先填图、再计算；课后笔者出示图2，让学生只想不填，引导学生更广泛地思考算式中的数量关系。其主要差别在于给学生提供的数学任务有所不同，而后者更有利于学生在“做”的过程中体会数学思想的本质，从而促进学生的深度学习。

因此可见，数学任务对学生的数学课程学习有着重要的影响，教材通过呈现数学任务实现课程标准中的期望课程，教师通过布置数学任务实施课程，学生通过完成数学任务获得课程，数学任务的水平决定着学生将投入怎样的思维水平和类型，以及获得怎样的数学，所以有必要对小学数学任务设计进行深入研究。

二、小学数学任务的内涵和特点

学生对数学的认知和理解是在完成数学任务的过程中逐步实现的，因此数学任务的质量影响着学生数学学习的效果。牛津大学数学教育教授Watson和蒙纳士大学教育学教授Sullivan认为，数学任务是指学生在数学课上能够理解的问题、情境和指令。(1)蔡文亮，金海月：《如何设计有意义的数学任务》，《教育视界》2020年第10期，第4-7页。美国数学教育研究者认为，数学任务是将学生的注意力集中在与数学内容相关的一系列问题或一个复杂问题上的数学活动。(2)胡典顺，余晓娟，王学萌，于文字，王静：《美国课堂高认知水平数学任务的设计与思考》，《数学教育学报》2019年第6期，第37-41页。结合以上论述和小学数学教学的现状及特点，本文所指的小学数学任务是在小学数学课堂上学生可以参与的、与数学主题有关的系列问题或活动。

数学任务显然有水平高低之分，范德维尔认为，好的数学任务应该有三个特征：首先，它的关注点应该是数学；其次，对学生而言是富有挑战，并可以达到的；第三，要求学生解释和验证他们的答案。(3)黄荣金，李业平：《数学课堂教学研究》，上海教育出版社2010年版，第66页。

以前文为例，为了达成学习目标，课堂中数学任务可以设计为：

任务三：设计可以用图2解决的计算问题。该任务指向将图形转化为计算，体会数形结合方法的两种过程，即“以形助数，以数解形”，同时开放式的任务也可以给学生更多自主思考、创造的空间，将图形和计算进行联结，促进了学生深度学习。

由此可见，好的小学数学任务应有以下三个特点：

第一，数学任务的内容应紧扣数学主题和认知要求

课堂中的每一个数学任务都是为了实现特定的教学目标，而对于教学目标而言，除了包含相应的数学内容，更多的要关注和内容相匹配的认知要求。根据美国匹兹堡大学“QUASAR计划”(Quantitative Understanding: Amplifying Student Achievement and Reasoning)的研究成果，“认知要求指的是学生成功参与并完成任务所需思维的种类和水平”(4)Mary Kay Stein, Margaret Schwan Smith, Marjorie A.Henningsen, Edward A.Sliver,李忠如译：《实施初中数学课程标准的教学案例》，上海教育出版社2001年版，第3页。。数学任务可以根据认知要求分为高、低两类和四种水平(见表1)。

表1 数学任务的四种水平

其中低认知水平的任务主要关注的是记忆、算法化和获得答案；高认知水平的任务关注的是理解、多样化、非算法化、自我监控和过程中知识的联结。前文教材中让学生“将加数填入图中”就是一个低水平的无联系的程序性任务，而让学生自己“画图计算”就是一个有联系的程序性任务，学生在完成这两个任务的过程中对数学的认识和理解是不同的，前者是被动操作，较少思考为什么，后者需要联系已有知识经验进行主动创造。

第二，数学任务的要求应符合学生的年龄特点

虽然说小学生在认知方面有一些共性特点，如小学生思维的基本特点是从以具体形象思维为主要形式，逐步过渡到以抽象逻辑思维为主要形式。但这种抽象逻辑思维仍然具有很大成分的具体形象性。(5)朱智贤：《儿童心理学》，人民教育出版社1987年版，第344页。但是考虑到小学阶段历时六年，跨度较大，每个年龄段的学生在学习具体数学内容时仍有较大的差异。以长方形和正方形直观认识为例，对一年级学生，教师可以布置数学任务“拿一个形状是长方体的物体放在作业纸上，描出这个物体的一个面”，让学生感受到面在体上，长方形是一个平面图形；对三年级学生，教师布置的数学任务应更为抽象和理性：

1.想一想：应该从哪些方面研究长方形和正方形？

2.做一做：拿一张长方形的纸折一折，比一比，看看你有什么发现？写在学习单上，然后和小组同伴进行交流。

又如，在期末复习课上使用的数学任务，在低年级时只需要学生能回忆相应的内容，有序列出即可，教师在课上带着学生复习；在中年级时可以让学生尝试画出蕴含着知识之间联系的思维导图，教师指导学生复习；在高年级时可以让学生结合思维导图自主复习，教师适时介入做点拨和提升。

第三，数学任务的呈现应便于学生思考和操作

完成数学任务的主体是学生，因此数学任务的设计要方便学生参与，在呈现方式上，除了教师口述、多媒体课件展示外，还有一些供学生选择和使用的学习材料，如预习单、助学单、研究单、学历案等。这些材料可以呈现学习内容和要求，同时又方便学生记录和展现自己的想法。

比如，二年级《表内乘、除法的复习》课上，教师在课堂伊始布置这样一个任务：在学习单上，画出“3个5”，然后写一写你想到了什么。

该任务关注学生独立思考，同时具有一定的开放性，便于呈现多种不同的算式，方便学生交流、补充和完善。课上学生呈现了多种符合条件的画法，充分展现了学生个性，看到了学生对乘法意义的理解、有序思考方面的差异。而算式的表达上，学生从乘除法算式，想到乘法口诀，再到加减法算式，真正调动和整合了其已有的知识和经验，起到了较好的复习作用。

综上可知，数学任务直接关系到学生数学学习的效果，好的数学任务关注学生积极主动、有深度地参与到数学问题的解决和数学活动中，而这正与当下所倡导的深度学习不谋而合。

三、指向深度学习的小学数学任务设计之策略

深度学习的思想由来已久，随着社会信息化水平的提高、学习科学研究的发展以及基础教育课程改革的纵深推进，近期越来越被人们所重视。深度学习概括来讲是能够对学生产生深远影响的学习，是触及灵魂的学习，是深入知识内核的学习，是展开问题解决的学习。(6)李松林，贺慧，张燕：《深度学习究竟是什么样的学习》，《教育科学研究》2018年第10期，第54-58页。根据郭华的观点，深度学习发生的先决条件是教师的自觉引导，教师要精心设计具有教学意图的结构化的教学材料以及能有序实现教学目标的教学过程，营造平等、宽松、合作、安全的互动氛围，并依据反馈信息对教学活动进行及时调整，(7)杨清：《走出“课堂深度学习”的认识误区》，《中国教育学刊》2020年第9期，第71-76页。以帮助学生在获得知识技能的同时，实现对知识的迁移和运用，实现能力的发展和积极的情感体验。

深度学习的实践特质表现为本源端上的深层动机，过程端上切身体验(高阶思维)，以及结果端上的深度理解(实践创新)。(8)李松林，杨爽：《国外深度学习研究评析》，《比较教育研究》2020年第9期，第83-89页。这与国际上数学任务设计的趋势恰好具有相似之处。

从国际数学教育研究来看，数学任务自提出之日，就不断受到国内外数学教育研究人士的关注。高翔对2016年第13届国际数学教育大会中与数学任务相关文本及国际数学教育界数学任务设计现状和趋势做了分析，认为在数学任务的序列安排上，要关注高认知水平的数学任务设计和大问题引领下的任务串设计，这关注的是高阶思维；在数学任务的内容设计方面，更加要注重整体性和结构化，这关注的是深度理解；在数学任务的环境设计方面，为了给学生更多“做数学”的空间，需要加强相应资源的开发和技术支持，这关注的是切身体验和实践创新；在数学任务的社会性和人文性方面，要关注家长对孩子完成数学任务的支持，重视团队共学，关注数学游戏的开发和数学任务完成的环境，激发学习动机和建立积极的态度，这关注的是深层动机。(9)高翔：《数学任务设计的研究现状与趋势分析——基于ICME-13中数学任务设计的研究述评》，《基础教育》2017年第4期，第103-112页。

根据对深度学习理论的认识、国际数学任务设计的现状和趋势，结合前文对小学数学任务内涵和特点的理解，以及对小学数学一线教学的观摩，笔者认为小学数学任务设计应逐步变被动性任务为主动性任务，激发学生深度学习的动机；变封闭性任务为开放性任务，促进学生形成高阶思维；变单一性任务为多维度任务，助力学生多角度理解知识；变无联系的任务为有联系的结构化任务，促进学生认知结构的完善，从而逐步实现数学学习从浅层学习向深度学习的转变。

(一)变被动性任务为主动性任务，激发学生深度学习的动机

被动性任务是指数学任务中主要关注“做什么”，而对“为什么这么做”关注较少，导致学生在完成数学任务时，更多地只是在“操练”而已，学习停留在浅层次。主动性任务则是指数学任务中更多指向学生的自我建构、自我追问和自我反思，关注的是“为什么”“还能怎样”“有何用”“好不好”等问题。

例如，在第一部分的案例中，“在图中填数”和“画图计算”虽然都需要调动有关分数的意义和分数计算的相关经验，但是前者因为有了图形支持思考，只需被动操作即可，而后者需要主动观察算式中的特点，思考选择画怎样的图才能进行计算，这个过程中观察算式、联系旧知、图形构建都是主动的，因此也会出现更加多元的画法(见图3)。

图3

(二)变封闭性任务为开放性任务，促进学生形成高阶思维

封闭性任务指数学任务的思考过程和答案是唯一的，而开放性任务可以是思考过程开放，也可以是答案开放，但都必须符合逻辑，具有现实意义。

需要说明的是，数学任务的选择需要和教学目标、认知需求相匹配。如果一节数学课的教学目标只是为了提高学生计算的熟练程度和解决常规问题的正确率，那么封闭性的任务可能更为合适。但是教学目标如果是为发展学生对数学概念、关系的本质理解，那开放性的任务则更有利于引发高水平的认知活动。

例如，在“商不变的规律”一课中，苏教版小学数学教材提供的数学任务如图4所示。

图4

虽然图中的表格留白了，但是学生的思维被限制在“被除数和除数同时乘或除以相同数，商不变”的结论中，因此这个数学任务是一个封闭性的任务。而小学数学特级教师贲友林在教学本课时，同样的环节给学生布置了以下学习任务：“在除法中，被除数和除数发生怎样的变化，商不变？举例说明。”(10)贲友林：《“你”什么样，课就什么样——〈商不变的规律〉教学与思考》，《教育视界》2020年第10期，第18-25页。学生汇报时，举出了不同的除法算式，丰富了这个规律的例证，而且还有一位学生举出了各种反例，分别从被除数和除数加、减同一个数，被除数和除数乘、除以不同数等角度，逐步确定了“在除法中，被除数和除数同时乘或除以一个同一个数(0除外的问题在此环节还没有讨论)，商不变”。在这个过程中，数学任务的开放性引发出学生思考的多样性，也暴露出学生在举例说明中存在喜欢举特例、举例不全面、举例无序、举例无意义等真实问题。而贲老师适时引导、逐步启发，让学生自己在课中小结的时候，不仅对“商不变的规律”有较为深入的认识，对如何正确合理的举例也有了新的体会。

由此可见，开放性的数学任务更有助于暴露学生多样化的思维过程和思维水平，也为教师合理地组织和引导学生形成高阶思维和实践创新提供了条件。

(三)变单一性任务为多维度任务，助力学生多角度理解知识

单一性任务指的是数学任务目标单一，主要指向知识学习或是技能训练，而多维度任务指的是数学任务不仅关注知识、技能的习得，还关注知识产生的背景、知识之间的关系、建构知识的方法以及知识学习的意义和价值。

以“认识负数”一课的数学任务为例，教材中呈现着“某一天三个城市的最低温度，分别是20度、0度、零下20度”，通过提出“从图中你能知道些什么？”引出负数的意义和表示方式。这个任务关注的就是知识和技能，因此是一个单一性的任务。在对小学数学学历案的研究中，课题组曾对本节课的学历案进行过设计和分析，同样环节的数学任务为：

1.什么是负数？你在哪里见过负数？

2.用自己方式表示-3℃或-3m。

(1)写一写：这个负数表示的含义。

(2)画一画：对这个负数的理解。

3.请你写出3～4个不同的负数，并和同伴交流它们的含义。

4.出示存折明细(略)，说说其中各数的含义。(11)刘娟娟：《学历案优化小学数学概念学习的策略分析》，《南京晓庄学院学报》2020年第3期，第12-16页。

这里的数学任务贴近学生生活经验，有利于学生切身体验到负数来源于生活，感受并自主建构负数的意义，理解负数在生活中的应用。深度学习理论表明，对特定知识产生背景的解读有利于促进学生更好的理解，而深入理解知识需要对知识的创造方法有所感悟。拓展知识的应用范围，才能深入认识到知识学习的意义，进而形成正确的数学观和价值观。

(四)变无联系任务为有联系的结构化任务，促进学生认知结构的完善

无联系任务是指一节数学课中的多个数学任务是离散的，任务之间的关联度较弱，不能很好地支撑起整节课的教学目标。有联系的结构化任务是指从整体上考虑数学任务的设计，任务之间关联紧密、彼此支撑，便于学生从整体上认识所学内容，完善认识结构。以“三角形的内角和”一课为例，本节课的数学任务一般如下：

1.观察三角板中三个内角的度数，求出内角和。

2.任意画一个或者剪一个三角形，用量一量、拼一拼等方法，看看三角形的内角和是多少。

这两个任务中缺少对内角概念的认识，以及“180度”和“平角”之间关系的勾连，所以在实际教学中，学生往往不知道如何用“拼一拼”的方法来验证三角形的内角和是180度。

其实，“三角形内角和定理”中包含两个层面的意义：第一，平面上所有三角形内角和都是相等的；第二，这个相等的和等于180度。数学任务设计应切中数学知识本质，从这两个层面展开，具体如下：

1.什么是三角形的内角？你能指出下面三角形的内角吗？

2.观察图5中，三角形变化时，其内角的变化，你有什么发现？请你写下来。

图5

3.任意画一个或剪一个三角形，用量一量、拼一拼等方法，验证刚才的发现。

任务1指向本节课的认知基础，即内角概念的理解。在此基础上任务2通过动画演示，引导学生发现：当BC边不动，A点变化时，三角形的大小发生了变化，三个内角也随之变化，特别是当∠A变大时，∠B和∠C就变小，从中感悟到：可能三角形的内角和是不变的。进一步观察，当A点越来越接近BC边时，三个角的和就接近平角，也就是180度。这个过程渗透了数学中的“变中不变”思想，引导学生将平角与180度之间建立关联，为完成任务3做好准备。

由此可见，这三个任务是从三角形内角和定理本质出发系统构建的，以确保学生对此定理有完整深入的认识，为今后将此知识迁移到“多边形的内角和”的研究中做好铺垫。这也符合深度学习由表及里、由浅入深、由易到难逐步推进、整体感知的特点。

总之，数学任务的设计需要教师将个人对数学概念及其关系的本质理解转化为促进学生数学能力发展的数学任务，需要注重引发学生的深度学习，这对教师而言是一种挑战，也是专业发展的必经之路。