空间几何体外接球问题模型化及备考策略化

卢妮 蔡海涛 潘敬贞

[摘  要] 纵观近年高考题，立体几何中外接球问题的试题频频出现.文章研究求解外接球问题最适应的方法，探究其解题策略.

[关键词] 高考立体几何;外接球;模型化

近年高考悄然兴起立体几何与多面体相关的外接球问题，如2020年全国卷Ⅰ理科第10题、2020年全国卷Ⅰ文科第12题、2020年全国卷Ⅱ理科第10题、2020年全国卷Ⅱ文科科第11题、2019年全国卷Ⅰ理科第12题、2018年全国卷Ⅲ文科第12题、2017年全国卷Ⅰ文科第16题、2017年全国卷Ⅲ理科第8题、2015年全国卷Ⅱ理科第9题、2015年全国卷Ⅲ文科第10题……从题型上看是5分小题，可能是选择题，也可能是填空题;从难易程度上看，属于中、低档难度问题.这类试题对学生来说，是个不小的挑战，实测情况考生得分率较低.

著名数学教育家波利亚认为解题过程分为弄清问题、拟定计划、实现计划、反思回顾等四个阶段，并据此给出了颇具启发性的“怎样解题”表. 波利亚把传统的单纯解题发展为通过解题获得新知识、新技能的学习过程，他的目标不是找出可以机械地用于解决一切问题的“万能方法”，而是希望通过对于解题过程的深入分析，特别是，由已有的成功实践，总结出一般的方法或模式，使得在以后的解题中可以起到启发作用[1] . 另外，我们该如何避免在考场现找思路，进行复杂的运算？

基于此，本文从外接球的相关知识，引导学生解题时有条理地思考，寻找一个模型，把不熟悉的问题转化为熟悉的模型，帮助学生有效积累解题经验和解题策略.

外接球的相关知识点

1. 外接球的定义

若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球.

2. 性质

性质（1）：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）;

性質（2）：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）.

试题模型化与解题策略化

1. 长方体模型

例1：（2019年高考全国卷Ⅰ理科第12题）已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为（  ）

A. 8 π B. 4 π

C. 2 π D.  π

分析：如图1，先证得PB⊥平面PAC，再求得PA=PB=PC= ，从而得P-ABC为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径.

简解：如图1，因为PA=PB=PC，△ABC是边长为2的等边三角形，所以P-ABC为正三棱锥，所以PB⊥AC. 又E，F分别是PA，AB的中点，所以EF∥PB，所以EF⊥AC.又EF⊥CE，CE∩AC=C，所以EF⊥平面PAC，PB⊥平面PAC，所以∠APB=90°，所以PA=PB=PC= ，所以P-ABC为正方体一部分，2R= = ，即R= ，所以V= πR3= π× = π. 故选D.

解题策略：

如图2至图5，三条棱两两垂直，可以看成长方体的一部分，不找球心的位置也可求出球半径.因为长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心.

找三条两两垂直的线段，直接用公式（2R）2=a2+b2+c2，即2R= ，求出R.

2. 对棱相等三棱锥模型

例2：正四面体的各条棱长都为 ，求该正四面体外接球的体积.？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇

分析：如图6，正四面体对棱相等的模式，放入正方体中，2R= ， R= ，V= π· = π.

解题策略：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径.如图7，构造一个长方体，使得三棱锥的六条棱分别是长方体各个面的对角线，AD=BC=x，AB=CD=y，AC=BD=z.设长方体的长宽高分别为a，b，c，根据长方体模型，2R= = ，求出R.

3. 定位球心位置模型

例3：（2020年高考全国卷Ⅰ理科第10题/2020年高考全国卷Ⅰ文科第12题）

已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O 为△ABC的外接圆，若⊙O 的面积为4π，AB=BC=AC=OO ，则球O的表面积为（  ）

A. 64π B. 48π C. 36π D. 32π

分析：如图8，由已知可得等边三角形ABC的外接圆半径，进而求出其边长，得出OO 的值，根据球的截面性质（1），求出球的半径，即可得出结论. 故选A.

例4：（2020年高考全国卷Ⅱ理科第10题/2020年高考全国卷Ⅱ文科第11题）

已知△ABC是面积为 的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（  ）

A.  B.

C. 1 D.

分析：如图9，根据球O的表面积和△ABC的面积可求得球O的半径R和△ABC外接圆半径r，由球的性质可知所求距离d= . 故选C.

解题策略：取△ABC的外心O ，过O 作平面ABC的垂线，在该垂线上取点O，连接OA，OA即为外接球半径，由性质（1）得：R2=OA2=O A2+O O2.

例5：（2017年高考全国卷Ⅲ理科第8题）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（  ）

A. π B.   C.   D.

分析：如图10，画出圆柱的轴截面，AC=1，AB= ，所以r=BC= ，那么圆柱的体积是V=πr2h=π× 2×1= π，故选B.

解题策略：如图11至12，一条棱垂直于一个面的棱锥、直棱柱、圆柱.

h为高，r为底面半径或外接圆半径，遇到后者，补形成圆柱，三角形外接圆半径可用正弦定理求解，外接球的半径R= .

例6：在边长为2 的菱形ABCD中，∠BAD=60°，沿对角线BD折成二面角A-BD-C为120°的四面体ABCD，则此四面体的外接球表面积为________.

分析：如图14，取BD的中点M，△ABD和△BCD的外接圆半径为r =r =2，△ABD和△BCD的外心O ，O 到弦BD的距离（弦心距）为d =d =1，四边形OO MO 的外接圆直径OM=2，R= ，S=28π.

解题策略：如果找到球心位置，自然就找到了半径，外接球的问题也就自然可以解决.

第一步：先画出如图15所示的图形，将△BCD画在小圆上，找出△BCD和△A′BD的外心H1与H2;

第二步：过H1和H2分别作平面BCD和平面A′BD的垂线，由性质（2），两垂线的交点即为球心O，连接OE，OC;

第三步：解△OEH1，算出OH1，在RtOCH1中，由勾股定理有OH +CH =OC2.

注：易知O，H1，E，H2四点共面且四点共圆，证略.

在高三复习中，教师可从全国各地高考真题中抽取出以上题型的试题，并组成相应的题库，进行试题模式化与策略化教学，有意识地引导学生在解题中识别题型，有效地促进学生将陌生问题转化为熟悉问题，加快解题速度.

参考文献：

[1]  波利亚. 怎样解题：数学思维的新方法[M]. 上海：科技教育出版社，2007.