关于2020年高考理科数学Ⅰ卷概率题的研究
2021-06-20舒彤
舒彤
[摘 要] 在人工智能当道的大数据时代，概率统计知识是我们处理数据、分析信息、获取有意义结果的最有力工具.它是我们在大数据时代读懂、听懂和看懂一切事实真相的基础.运用概率统计的知识，我们可以做出正确的决定，回答重要的社会问题，认识并运用那些能够改善我们日常做法的决策.
[关键词] 2020年全国高考理科Ⅰ卷;马尔可夫链;选修4-9
2020年普通高考理科数学全国Ⅰ卷，概率题是放在第19题的位置，作为解答题的第三题，此题难度设计非常合理，一共三个小问，每小问层层递进，均对下一问的解答可起到辅助作用.此题的第三问，包括标准答案在内，所有解答方式基本都是对丙获胜的情况进行分类罗列，情况虽然不算多，但是也需要一点时间以及耐心，比较容易遗漏，并且在计算每种情况的概率时，对于丙轮空情况的概率容易计算错误. 因此，本题的第三问具有很好的区分度.笔者在拿到高考试卷的第一时间对本题第三问进行了研究，在这里提供一种比较简洁的做法.
（2020年普通高考理科数学全国Ⅰ卷19题）（本题满分12分）
甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一轮轮空，直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后，剩余的两人继续比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空. 设每场比赛双方获胜的概率都为 .
（1）？摇求甲连胜四场的概率;
（2）？摇求需要进行第五场比赛的概率;
（3）？摇求丙最终获胜的概率.
这里只研究第三问：
解法1：标准答案做法.
丙最终获胜，有两种情况：
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为 ;
比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜，负，轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为 ， ， ，
因此丙最终获胜的概率为 + + + = .
解法2：笔者解决方案（采用递推关系）.
设甲、乙最终获胜概率为P ，丙最终获胜概率为P ，第一轮比赛的负者最终获胜概率为 ，第一轮比赛的胜者与丙最终获胜概率均为P ，故有 +P +P =1，解得P = .
对比两种解答，不难看出，笔者所提供的解决方案计算量很小，也不需要分类罗列计算每种情况的概率，无疑是一种比较好的解法.
事实上，本题是一个典型的马尔科夫链模型，其具有马尔科夫性质：即一个随机过程在给定现在状态及所有过去状态情况下，其未来状态的条件概率分布仅依赖于当前状态. 对于这种满足马尔科夫性质的随机事件，其概率或者期望，采用马尔科夫链公式，能够极大地简化计算，笔者在这里再举两个例子.
例1：甲、乙两人轮流抛硬币，约定甲先抛，谁先抛出正面获胜，问甲获胜的概率是多少？
解法1：甲获胜可能在第1，3，5，7，9，…轮，
第1轮获胜的概率为 ，
第3轮获胜的概率为 × × = ，
第5轮获胜的概率为 × × × × = ，
第7轮获胜的概率为 × × × × × × = ，
……
因此，甲获胜的概率为P= + + + + +…+
=
= 1-
= .
解法2：设甲最终获胜概率为P，分两种情况：第一种情况，第一轮甲抛出正面，概率为 ，比赛结束，甲获胜;第二种情况，第一轮甲抛出反面，概率为 ，则相当于比赛重新进行，只是由乙先抛，此时乙获胜概率为P，甲获胜概率为1-P. 因此，我们有P= + （1-P），解得P= .
例2：投掷一枚质量均匀的硬币，若出现两次正面向上即停止，求总投掷次数的数学期望.
（2017年清华大学暑期学校）
解法1：显然，本题是p= ，r=2的巴斯卡分布，记投掷次数为ξ，则
p（ξ=k）=C ，k=2，3，4···，那么Eξ= kC = k（k-1）
= = = ″ x= = ″
= ′
= ，
由于k→+∞，故当x= 时，Eξ= · =4.
解法2：采用马尔科夫链公式
Eξ= ·（1+Eξ）+ ·（1+Eη），其中 ·（1+Eξ）表示第一次不成功， ·（1+Eη）表示第一次成功，η为从第2次开始，成功一次所需次数的随机变量，显然η满足几何分布，故Eη=2，则解得Eξ=4.
实际上，这两个题目的解法2，也是采用马尔科夫链公式进行计算.在竞赛以及以往的自主招生都比较喜欢考查此公式，也很好用，比如几何分布的期望：Eξ=p+（1-p）（1+Eξ）？圯Eξ= .
近两年的高考在概率统计部分也都对马尔科夫链有所涉及，比如2019年全国理科Ⅰ卷的压轴题便是概率统计，其实质也是马尔科夫链里面的一种特殊模型——随机游走，一个双侧吸收壁的随机游走的吸收概率问题. 其实，有关马尔科夫链这一部分内容在教材选修4-9里面有，遗憾的是全国绝大部分地区好像都没有对这部分内容进行选修.
