精心设计，构建知识生长型课堂

嵇珍妮

[摘  要] 学习是生命成长的历程，教师作为学生学习的引导者，需要精心设疑，让知识从愤徘中自然生长;有效提问，让知识从解惑中自然生长;合理变式，让知识从理解中自然生长;充分反思，让知识从归纳中自然生长. 进而，引导学生在探究知识内在联系的过程中，促进思维的生长，构建知识生长型课堂.

[关键词] 高中数学;知识生长型课堂;思维能力

波利亚指出：“数学教学的主要目标是教会那些年轻人去思考. ”实际上，对于一门学科来说，思维方式的培养应该是最重要的. 因此，数学教育的核心目标则是培养具有数学特色的思维方式. 然数学学科由于本身所具有的逻辑性和系统性，使得学科知识结构完整，逻辑严密. 这就需要教师牢牢把握知识间的联系，捕捉知识的生长点，引导学生在探究知识内在联系的过程中，促进思维的生长，建构整体知识系统.

对于知识的生长点，心理学则认为促进知识生长的是一种叫“根知识”的事物，即知识的胚胎，它具有高生长性、高信息量、高附加值，它是影响新知获取的一个最为关键的因素. 据此可见学生的已有认知结构中包含一些对新知学习起到积极促进作用的根知识，只有找准知识的生长点，激活已有知识，才能在系统规划中完成知识结构的重建和知识的迁移，让知识和能力自然生长. 下面，笔者基于自身的教学实践，与大家分享细化而得的知识生长点，它们具有可操作性，以此来构建知识生长型课堂.

精心设疑，让知识从愤徘中自然生长

无论哪一颗种子都拥有属于自己的成长路线，数学知识的成长与发展也同样如此. 传统数学教学以传输式教学为主，忽视了学生的发现与探究，使得知识的生长过于模式化，使得学生的思维单一化. 新课改风向标下，应注重知识的发现与探究，数学教学只有从学生本身出发为学生创设适宜的情境，精心设疑，让学生产生一种愤徘之感，产生让知识自然生长的主观意愿和冲动，才能有效地引导学生去发现、去探究，促进知识的自然生长[1].

案例1：以“两条直线垂直”的教学为例

活动1：教师借助几何画板充分演绎两条直线的垂直关系：“不断转动l 或l ，且无论如何转动始终保持l ⊥l ”. 学生在观察与对比的过程中，充分感知k ，k 的关系，并猜想和验证自身的猜想.

活动2：教师出示以下三组直线：第一组：y=x+1与y=-x;第二组：y=2x-3与y=- x+1;第三组： + =1与2x-3y-1=0. 并要求学生分别画出三组直线，同时观察每组中两条直线的位置关系.

活动3：根据上述活动，可得出什么结论？（学生经过观察、猜想和归纳，得出l ⊥l ？圳k k =-1（k ，k 均存在）. ）

评析：活动1与活动2揭示了两条直线垂直这种关系产生的背景与必要性，暗示了从这种关系延伸而得结论的意义与价值，激发学生发现、探究和学习的积极性，调动探究新知的内驱力，引起学生的愤徘，從而使得猜想和归纳自然生成，提升教学的有效性. 这样简洁而高效的设疑中，所设活动是上节课学习内容的延伸，牢牢把握新旧知识的切入点，思维价值较高，有效引发学生在巩固旧知的基础上习得新知，从而有较好的导入效果，为“知识生长型”课堂的生成奠定良好的基础.

有效提问，让知识从解惑中自然生长

知识只有在自主自发的情况下生长才是有效的，而被动接受或强加式都不是真正意义上的生长. 学生是学习者，真正的学习是出自学生本身，而不是教师的传授，应让学生主动地、自发地进行学习. 因此，“知识生长型”的课堂需要的是学生的自主学习. 为此，教师需要从学生的已有知识经验出发有效设问，为新知的生长点充分服务，激活学生头脑中的已有知识与经验，使知识在释疑解惑的过程中自然生长，促进学生思维的自然发展.

案例2：以“两角和与差的余弦”的教学为例

教师针对这一内容学习中的重难点“公式的探究过程”设计有效问题，引领学生的思维.

问题1：如图1，已知角α，β的终边与单位圆的交点分别为A，B，试求出A，B的坐标;

问题2：试求出 与 的坐标;

问题3：试以坐标运算的表示来阐述 与 的数量积;

问题4：试用定义计算 与 的数量积;

问题5：试阐述 与 的夹角θ和角α，β的关系，并思考是否与角α，β的终边位置相关;

问题6：若 与 的夹角为θ，试着说一说α，β和θ的关系.

评析：教师充分挖掘教材的教学价值，从学生的认知规律出发，设计层层深入且具有启发性的问题串，关注到知识的生长点与延伸点，有序高效组织探究活动，让学生在小组合作学习的过程中充分理解知识，在教师适时和适度的参与中引导学生经历知识的形成、发展与应用，自然完成公式的推导. 这样的问题串设计直奔主题，为学生的探究铺设好台阶，让学生知识的学习自然而高效，让学生感受探究之乐、收获之喜，生长数学思维.

合理变式，让知识从理解中自然生长

当前高中生的学习现状主要表现为：课业负担重，且以机械重复的题海训练为主，学习过程了无生趣. 实际上，一定数量的解题训练可以促进智力的开发，可以达到知识与技能的迁移，可实现知识的自然生长. 那么如何操作才能使得解题训练适度而高效呢？通过同中求变，采取合理变式的形式设计问题，让学生多角度去观察和思考问题，可锻炼学生思维的变通性，促进知识的自然生长，进而构建知识生长型课堂.

案例3：已知实数x，y满足x2+y2=25，试求出 的取值范围.

在学生高效解析后，教师可以进行如下变式.

变式1：已知实数x，y满足x2+y2=25，试求出点（x，y）到直线x+y=10距离的取值范围.

变式2：已知实数x，y满足x2+y2=25，试求出点（x，y）到（10，0）距离的取值范围.

变式3：已知实数x，y满足x2+y2=25，试求出z=6x-8y的取值范围.

变式4：已知实数x，y满足x2+y2=25，试求出 的取值范围.

变式5：已知实数x，y满足x2+y2=25，试求出 + 的最大值.

评析：通过多层次、多维度的例题变式设计，从斜率、距离、直线与圆的位置关系等角度着手，充分演绎了“圆上点的各种几何意义”. 同时，整个变式题组中问题的难度螺旋上升，变式5作为难点，也正是由于有了前面多个变式的铺垫，才实现了有效的突破. 这里，完整而合理的变式设计，面向不同层次的学生，有助于实现知识的生长，有利于锻炼学生的思维能力.

充分反思，让知识从归纳中自然生长

美国心理学家波斯纳提出，教师的成长需要经验与反思的融合，因此，反思是教师获得实践性经验，生成教育智慧的有效途径. 可见，反思可以生长智慧，反思可以促进成长. 事实上，对于学生而言，反思同样重要. 因此在课堂中，教师必须给学生留有充分回顾和反思的时间与空间，让学生回顾、归纳和反思，让知识在归纳提炼中自然生长，促进学习力的自然生长[2].

案例4：以“等比数列前n项和公式”的教学为例

在得出等比数列的概念与通项公式之后，教师将关键性的公式进行板演，并给足学生思考与探究的时间，让学生进行推导. 学生在一段时间的思考后，有了以下推导过程：S =a +a +…+a ，①

qS =a q+a q+…+anq，②

①-②，可得S = （q≠1）.

师：看来大家课前的预习工作做得十分充分，但②式是如何得出的？是如何想到运用两式相减的方法呢？

生1：构造②式的目的是为了使得两个等式中出现n-1个相同的项，此处等式两边都乘q具有一定的普遍性，而运用两式相减则是为了消项.

生2：还可以这样推导：

S =a +a +…+a

=a +a q+…+a q

=a +q（a +…+a ）

=a +q（S -a ）.

进一步解得：S = （q≠1）.

师：生2这种推导法中关键在于什么？

生3：其实与原推导法有异曲同工之妙，是构造出了一个新的等比数列，又将其化归到原数列.

评析：学生的思路是在学生的头脑中产生的，而教师需要的是为学生创造更多的机会. 在公式的推导中，抓住问题的关键处，给学生留有反思的时空，通过探索多种推导方法，不仅解决了问题还生长了智慧，更重要的是发展了思维. 只有在探究和学习的过程中时时反思，才能不断提高理解能力，才能促进知识的自然生长，才能促使思维不断发展.

总之，教师需要充分挖掘教学内容的教学价值，通过精心设疑、有效提问、合理變式和充分反思等途径，建构数学知识之间的联结，让学生在知识生长型课堂中自主学习、享受课堂、生长能力.

参考文献：

[1]  马华平. 核心问题引领，在深度学习中逼近数学本质[J]. 数学教学通讯，2019（16）.

[2]  冯卫东. “自学·议论·引导”教学法的基本原理与操作要义[J]. 课程·教材·教法，2011（05）.