到两定点连线斜率之和（差、积、商）为定值的点的轨迹研究

2021-06-20徐辉

数学教学通讯·高中版 2021年4期

关键词：定值斜率轨迹

徐辉

[摘要] 文章研究了在平面直角坐标系中，到两定点连线斜率之和（差、积、商）为定值的点的轨迹问题.

[关键词] 斜率;定值;轨迹

在学习椭圆的时候，我们知道，椭圆与双曲线上任意一点到其一条过原点的弦两端点的连线斜率之积为定值，由此想到，在平面直角坐标系中，到两定点连线斜率之和（差、积、商）为定值的点的轨迹是什么呢？我们来研究一下.

命题1：在平面直角坐标系内，到两定点连线斜率之和为定值的点的轨迹是除去一个点的一条直线（如图1），或是除去两个点的两条直线（如图2），或是除去两个点的双曲线（如图3、图4、图5）.

证明：不失一般性，不妨设两定点A（a，b）与B（-a，-b）（其中a，b不同时为0），动点P（x，y），且直线PA，PB的斜率均存在，分别记为k = ，k = （以下命题2-4同）.

若点P满足k +k =m（定值），即 + =m.

可化为（y-b）（x+a）+（y+b）（x-a）=m（x-a）（x+a），

即2xy=mx2+a（2b-ma）（x≠±a）（*）.

（1）当a（2b-ma）=0时，

①若a=0，则（*）即为2xy=mx2？圯y= x（x≠0）（x=0舍去，因x≠±a），点P的轨迹为除去原点的一条直线（如图1）;

②若a≠0且m= 时，（*）可化为x=0或y= x（x≠±a），点P的轨迹为除去两个点的两条相交直线（如图2）.

（2）当a（2b-ma）≠0时，

（*）可化为y= mx+ ，由m（2ab-ma2）=-a2mm- 知：

①若m=0，此时2ab-ma2=2ab≠0，（*）为y= ，点P的轨迹为除去A，B两个点的双曲线（如图3）;

②若mm- >0，此时m（2ab-ma2）<0，点P的轨迹为除去A，B两个点的双曲线（如图4）;

③若mm- <0，此时m（2ab-ma2）>0，点P的轨迹为除去A，B两个点的双曲线（如图5）.

综合以上几种情况可得：当2ab-ma2≠0时，点P的轨迹为除去A，B两个点的双曲线.

命题2：在平面直角坐标系内，到两定点连线斜率之差的绝对值为定值的点的轨迹是除去两个点的一条直线（如图6），或两条直线（如图7），或除去两个点的两条抛物线（如图8），或不存在.

证明：若点P满足k -k =m（定值m≥0），即 - =m， =m（x≠±a）.

（1）当m=0时，上式可化为2ay-2bx=0？圯bx-ay=0，

①若a=0，则x=0，但x≠±a，故此时满足题意的点不存在;

②若a≠0，则y= x（x≠±a），此时点P的轨迹为除去两个点的一条直线（如图6）.

（2）当m≠0时，可化为： - =m（#）或 - =-m（##），

①若a=0，则b≠0，由（#）可得x= - ，由（##）可得x= ，故此时点P的轨迹是两条直线（如图7）.

②若a≠0，则由（#）可得2ay=mx2+2bx-ma2？圯y= x2+ x- （x≠±a）;由（##）可得y=- x2+ x+ （x≠±a）.

故点P的轨迹为除去两个点的两条抛物线（如图8）.

命题3：在平面直角坐标系内，到两定点连线斜率之积为定值的点的轨迹是除去两个点或四个点的一条直线（如图9、图10），或除去四个点的两条直线（如图11），或除去两个点或四个点的一个圆（如图12、图13），或除去两个点或四个点的一个椭圆（如图14、图15），或除去两点或四个点的双曲线（如图16、图17）.

证明：若点P满足k k =m（定值），即 · =m（x≠±a）.

（1）当m=0时，上式可化为y=±b（x≠±a）.

①若b=0，则上式可化为y=0（x≠ ±a），此时点P的轨迹是除去两个点的一条直线（如图9）;

②若b≠0，则上式为y=±b（x≠±a），此时点P的轨迹是除去四个点（a≠0）或两个点（a=0）的两条直线（如图10）.

（2）当m≠0时， · =m可化为mx2-y2=ma2-b2.

①若ma2-b2=0，此时a≠0，m= >0，

mx2-y2=ma2-b2即为mx2-y2=0？圯y2=mx2？圯y=± x，即y=± x（x≠±a），故当m= >0时，点P的轨迹为除去四个点的两条直线（如图11）.

②若ma2-b2≠0，mx2-y2=ma2-b2即为 - =1（**）.

（Ⅰ）当 >0，ma2-b2<0， =-（ma2-b2），即m=-1时，（**）即为x2+y2=a2+b2（x≠±a），

故当m=-1且a=0时，点P的轨迹为除去两个点的一个圆（如图12）;

当m=-1且a≠0时，点P的轨迹为除去四个点的一个圆（如图13）.

（Ⅱ）当 >0，ma2-b2<0， ≠-（ma2-b2），即m∈（-∞，-1）∪（-1，0）时，

（**）即为 + =1，

故当m∈（-∞，-1）∪（-1，0）且a=0时，点P的轨迹为除去两个点的一个椭圆（如图14），当m∈（-∞，-1）∪（-1，0）且a≠0时，点P的轨迹为除去四个点的一个椭圆（如图15）. 继续研究可知当m∈（-∞，-1）时，图14、15的椭圆焦点在y轴上，当m∈（-1，0）时，图14、15的椭圆焦点在x轴上.

（Ⅲ）当（ma2-b2）>0时，故当m>0且a=0时，（**）即为 - =1（x≠0），点P的轨迹是除去两点的双曲线（如图16），且此双曲线的焦点在y轴上;当m>0且m≠ （a≠0）时，点P的轨迹是除去四点的双曲线（如图17），且当m> 时，此双曲线的焦点在x轴上，当m< 时，此双曲线的焦点在y轴上.

（Ⅳ）当 <0，ma2-b2>0时，（**）无意义，点P不存在.

命题4：在平面直角坐标系内，到两定点连线斜率之比为定值的点的轨迹是除去一个点或两个点的一条直线（如图18、图19、图20、图21、图22），或除去两个点的双曲线（如图23、图24、图25）.

证明：若点P满足 =m（定值），即 =m（x≠±a，y≠-b）（***）.

（1）当m=0时，（***）即y=b（x≠±a，y≠0）.

若b=0，则满足题意的点P不存在;

若b≠0，则当a=0，则点P的轨迹是除去一个点的一条直线（如图18）;

当a≠0，则点P的轨迹是除去两个点的一条直线（如图19）.

（2）当m=1时，（***）即 =1（x≠±a，y≠-b）.

若a=0，则b≠0，此时满足题意的点P不存在;

若b=0，则a≠0，此时满足题意的点P也不存在;

若ab≠0，则（***）可化为y= x（x≠±a），点P的轨迹为除去两个点的一条直线（如图20）.

（3）当m≠0且m≠1时，