从“矛盾冲突”开始，将探究引向深入

焦凤英

[摘  要] 以“抛物线的标准方程”一课为例，展示了围绕矛盾冲突开展自主探究教学设计的教学过程. 教学实践说明，从理解教材与学生出发制造矛盾冲突，可以引发自主探究，强化理性认知，将探究引向深入，孕育核心素养.

[关键词] 矛盾冲突;自主探究;教学反思

新课改风向标下，对于数学教学的定位经历了从“知识本位”“教师本位”到“学生主体”“引导探究”的转变，自主探究在数学教学中提升到前所未有的高度. 自主探究式教学是课程改革的理想选择，为学生发展提供了最大的空间，自主探究的活动必须与问题相结合，以矛盾冲突来激发学生的学习兴趣，进而维持学习动机，以问题为导线让学生去思考和探究，让学生在矛盾冲突中探究，在实践活动中探究，从而使得数学教学焕发生机勃勃的活力，产生生机盎然的效力. 因此，围绕矛盾冲突开展的自主探究教学设计显得尤为重要. 本文拟结合“抛物线的标准方程”的教学历程，谈谈笔者的一些思考，供大家参考.

抛物线的标准方程的教学过程

1. 情境引入

问题1：如图1，在一张16K的白纸上距离底边一定的距离处取一点F，再将这张白纸重复折叠20-30次，使得每次底边所在的边始终过点F，并形成一系列折痕. 观察所有折痕所围的轮廓，并试着用光滑的曲线连接起来，使其相切于折痕，则形成的曲线是什么？

生：抛物线.

师（追问）：如何说明呢？

生1：首先，底边与点F可确定一条抛物线. 那么如图2，我们可以设抛物线为C. 由于是折纸的活动，那么即可在该直线的底边上作出点F关于折痕对称的点M，再过点M作MP⊥底边，且与折痕相交于点P. 据对称原理，可知PF=PM，即点P到定底与定点F的距离相等，从而点P在抛物线C上. 进一步地，再在折痕上取另一点P′（异于点P），易知FP′≠P′N，从而点P′不在抛物线C上. 那么，折痕与抛物线C只有一个交点，则折痕即为抛物线C的一条切线，从而，折纸过程中得到的每一条折痕均为抛物线C的切线，多条切线将抛物线C围住，使得抛物线的轮廓一览无遗.

问题2：日常生活中，我们遇到过哪些抛物线呢？过去的数学学习中呢？

生2：篮球课上，投三分球就是抛物线. （开始表演投篮动作）

生3：在公园经常可以欣赏到喷泉，它就是抛物线，形状是……（一边手舞足蹈地进行比画）

生4：投实心球过程中形成的轨迹就是抛物线，体育老师经常说，如果无法形成抛物线就投掷不到规定的远度.

……

师：你们所说的都是物体运动的轨迹，自然也是抛物线的一部分，大家的演示很形象. 还有吗？

生5：太阳灶轴截面的外轮廓线.

生6：二次函数的图像.

……

师：从大家的认识来看，不管是日常生活方面，还是科学技术层面，抑或是数学学科本身，抛物线的应用十分广泛，值得我们一起深入探究. （板书课题）

2. 逐步探索

师（拾级而上）：那谁能阐述一下抛物线的定义呢？（学生在回忆和讨论之后，很快完整复述出抛物线的定义）

师：阐述得十分准确，那我们一起再来看看抛物线是如何形成的. （利用几何画板动态演示）

师（追问）：大家观察抛物线上的所有点，你认为哪个点最为特殊？为什么？

生7：应该是它的顶点. 因为它是定点F到定直线垂线段的中点.

问题3：生6刚才所提的“二次函数的图像”，如y= x2，谁能利用定义法予以证明？

师：问题3在本质上就是找寻出y= x2相应的定点与定直线. 二次函数的解析式与抛物线方程在某种程度上高度一致，而此处无法直接根据解析式探求定点和定直线，主要源于方程建立过程缺失，而今天这节课我们主要探究的就是此问题.

3. 类比完善

问题4：说一说抛物线方程的建立步骤.

师（点拨）：我们可以先来回忆一下建立曲线方程的一般步骤. （学生一边思考，一边阐述，各个情绪高涨）

师：焦点F与准线l的距离p大于0，对此该如何建系呢？（这一问题有些难度，学生开始小声讨论，很快得出图3所示的建系方式）

师：请进一步分别探求它们的方程.

生8：（1）以准线为y轴： =x？圯y2=2px-p2;

（2）以焦点为原点： =x+p？圯y2=2px+p2;

（3）以顶点为原点： =x+ ？圯y2=2px.

师：以上三个方程有何特征，你认为哪一个最简洁？

生9：方程（1）和（2）都包含常数项，而方程（3）是最简洁的形式.

师：为什么方程（3）最简洁呢？

生10：顶点在原点，又无常数项，自然简洁.

师：数学学科不仅追求逻辑美，最重要的就是追求简洁美，因此将y2=2px称为抛物线的标准方程是符合学科特点的.

4. 巩固应用

问题5：类比椭圆和双曲线，二者均有两种形式的方程，其他抛物线方程呢？请试着完成表1.

问题6：说一说表1中的4个标准方程有何共同点？该如何记忆呢？（学生又一次展开火热的讨论，师生共同总结得出以下口诀“一次定焦点，正负定方向”）

师：再次回到问题3中的抛物线y= x2，焦点F是什么？准线l呢？

生11：焦点F为0， .

生12：事實上，y= x2并非其标准形式，标准形式应为x2=4y，从而焦点F为（0，1）. （其余学生恍然大悟，教师连连点头称赞，与此同时，学生都对初中的二次函数图像有了更深层次的认识）

5. 课堂小结（略）

教学反思感悟

本节课中，学生在教师的引导和点拨之下，逐步发现并研究了抛物线的标准方程，经历了知识探究和形成的过程，深刻体验到自主探究的快乐与辛苦，激起了浓厚的学习兴趣. 同时，以矛盾冲突驱动课堂，促使学生去思考、去发现、去类比、去验证，在活动中学习，在合作中发现，在探究中创新，在体验中生成. 纵观整节课的教学效果，可以发现以上教学过程不仅十分热闹，还自然流畅，教师善于制造矛盾冲突，提出的问题具有丰富的思考价值，激起了学生的真正思考，学生的探究也逐步深入，数学核心素养的培养自然水到渠成[1].

1. 从理解教材与学生出发制造矛盾冲突

学习的主体是学生，教师在理解教材的基础上，需要了解学生，了解他们的认知结构，了解他们的原有能力水平，了解他们的喜好，进而制造矛盾冲突，通过一个又一个的“疑惑”将学生逐步引入知识殿堂，从而提升课堂效率. 本课中，教师根据教材中的操作问题进行改编，以折纸问题引发数学活动，并辅以几何画板动态演示，让学生获取足够丰富的活动体验[2]. 当然，倘若此处教师能让每个学生都能参与到“折抛物线”的活动中去，则可以让学生获得更为深刻的体验. 由此可以看出，这里的问题并非泛泛的问题，也并非为了追求热闹气氛而设计的简单问题，而是真实的问题，是教师在理解教材与学生的基础上设计的，充分揭示了知识的本质，让学生的思维得到锻炼.

2. 自主探究孕育核心素养

纵观当前数学课堂，很多时候都是为探究而探究，为展示而探究，这样的探究是低效的伪探究，这样的探究活动下，学生获得的仅仅是问题的解决，却无法获取宝贵的活动经验和科学研究的方法. 本课中，学生始终扮演探索者的角色，处于探索研究的状态，参与数学概念创建的过程，感受数学概念发生和发展的过程，以数学家的思想解决问题，从而更好地锤炼了数学理性精神，数学推理、逻辑思维能力得到进一步提升，培养数学核心素养，从而使得学生终身受益.

结束语

总之，教学离不开探究，数学教育需要培养学习者创造知识的能力. 对于教师而言，在理解教材和学生的基础上制造矛盾冲突，可以激发学生的自主探究，锤炼学生的思维;对于学生而言，自主探究不僅是学力增长的过程，更是一种体验，自主探究的过程是培养数学核心素养的重要渠道. 学生从中收获的不仅仅是一个知识点、一个概念、一个问题，更是一种主动探究的精神.

参考文献：

[1]  陈芳. 横看成岭侧成峰 远近高低各不同——初中数学教学中多维度培养学生探究学习的实践研究[J]. 学周刊，2012（14）.

[2]  潘冬花. 高中数学课堂教学开展小组合作学习的有效策略[J]. 河北理科教学研究，2008（06）.