基于超收敛点配点法求解圆周上超奇异积分方程

李金，桑瑜，张晓蕾，苏晓宁，屈金铮

(华北理工大学理学院，河北唐山063210)

0 引言

奇异积分在边界元方法特别是自然边界元方法[1]中尤为重要，超奇异积分方程算法的研究同样应用广泛[2－3]。 圆周上的超奇异积方程通常出现在圆域或椭圆域的边值问题中，求解超奇异积分方程首先要计算超奇异积分，对超奇异积分进行有效的计算是求解超奇异积分方程面临的一个重要问题[4]。

近年来，超奇异积分的近似计算得到了广泛的研究[5－7]。 LINZ[8]研究了计算区间上超奇异积分的牛顿科特斯公式，并给出了奇异点在子区间中点时区间上二阶超奇异积分的复化梯形公式及相应的误差估计。 邬吉明等[9]将超奇异积分作为以奇异点为变量的函数，并提出相应的计算方法。 余德浩[10]研究了圆周上超奇异积分的近似计算公式，并得到误差估计。 对于区间上和圆周上超奇异积分的超收敛现象也得到了快速的发展[11－12]。 对于超奇异积分方程，研究成果相对较少，FENG 等[13]研究了基于矩形公式的圆周上超奇异积分方程的数值方法。对于配点法求解三阶超奇异积分方程的文献还较少。 LI 等[14]研究了圆周上三阶超奇异积分的超收敛性，并基于超收敛点构造配置格式。

文章基于梯形公式近似计算圆周上三阶超奇异积分，在误差泛函特殊函数为0(零点即为超收敛点)的基础上，选取超收敛点为配点构造线性方程组求解超奇异积分方程；通过引入正则化因子将奇异线性方程组变为正定线性方程组，完成圆周上三阶超奇异积分方程的数值求解；通过对系数矩阵性质的研究得到其逆矩阵元素的显示表达式，进而证明了该方法的收敛性，并通过数值算例验证了理论分析的正确性。

1 圆周上超奇异积分方程概述

1.1 圆周上超奇异积分方程

考虑定义在圆周上的超奇异积分方程，由式(1)表示为

1.2 圆周上三阶超奇异积分相关结论

首先说明以下记号，C表示与h和s无关的常数，在不同的位置代表的值不同。

基于梯形公式近似计算圆周上的三阶超奇异积分，在文献[14]中已有如下结论:

2 基于超收敛点配点法求解圆周上超奇异积分方程

2.1 引理及证明

2.2 定理及证明

3 数值算例验证

考虑圆周上的三阶超奇异积分，其中u(s)＝－4π(4sin 2s －9cos 3s) ，其准确解为v(x) ＝ cos 2x＋sin 3x。

配点法求解三阶超奇异积分的误差估计见表1，其误差阶为O(h2) ，数值算例验证了理论分析的正确性。

表1 配点法求解超奇异积分方程的误差阶表

4 结论

基于梯形公式，以超收敛为配点的配点法求解圆周上的三阶超奇异积分方程的收敛阶为数值算例验证了理论分析的正确性。