初中生数学解题的思维障碍及应对策略

王淑萍

摘要：数学习题千变万化，造成学生解题思维障碍的原因也是多种多样，怎样减少思维障碍对解题的消极作用？文章结合具体案例剖析原因，提出应对策略，为发展学生学习能力，培养良好思维品质作了深入探索。

关键词： 数学解题;思维障碍;应对策略

教学过程中，经常有这样的学生向老师抱怨，上课老师讲的都能听明白，可是课下做题时就是做不对。究其原因就是学生在解题时出现了思维方式与具体问题解决之间的障碍，这些障碍有的来源于老师教学中的疏漏，更多的则是来自学生的思维障碍。如何通过解题培养学生的良好思维品质，发展学生学习能力是摆在一线教师面前的一项重要课题。本文结合自己的教学经验通过具体案例进行分析，供各位同行参考。

一、变式训练，突破思维定势

由于初中学生的年龄较小，在学习上往往对老师依赖性较强，习惯对某些知识按照一种套路反复训练，久而久之就会形成一种习惯性思维方向。其优点就是缩短了解决问题的时间，提高了效率，其缺点就是让思维受到了限制。当在学生非常熟悉的一类问题上改变一个条件，使问题发生较大变化时，学生仍然会按照原有的思路去解决“似曾相识”问题，造成“会而不对”尴尬。

例1 若关于x的方程的两个根互为倒数，求α的值。

错解：因为方程的两根互为倒数，根据根与系数关系可得两根之积为1，即，所以。

分析：因为很多同学看到题目时直接反应就是应用根与系数关系解决问题，所以毫不犹豫得出。实际上当时，原方程化为了，此时方程无实数根，所以需要舍去，故正确答案应为。造成出错的根本原因就是忽略了用根与系数关系的前提是。

例2 已知等腰三角形的两边分别是和，则这个三角形的周长是_________

错解：当等腰三角形的腰长为时，周长为;当等腰三角形的腰长为时，周长为。

分析：对于等腰三角形需要分类讨论，学生在自己的头脑当中已经根深蒂固，所以有的同学对于上面的答案更是自信满满。可是，就是說、、根本围不成一个三角形，所以正确答案只有一种结果。

策略：当学生遇到“形似”的题目时，往往习惯套用原来已有的解题经验解决，这在心理学中称为惯性思维，现实却是题目中的条件已经发生了改变，造成了学生“会而不对”后果。解除此类思维障碍的方法是，教师在教学过程中可根据学生的认知盲区设计问题变式，让学生从不同角度对知识点有清晰的认识和理解。比如在学习“勾股定理”时，可以设计题目：已知直角三角形的两条直角边分别是3、4，则斜边是________。变式练习：已知直角三角形的两边是3、4，则第三边是_________。同过不同变式的练习不但让学生提高了审题意识，更加深了对勾股定理的认识和理解。

二、循序渐进，提升推理能力

进入初中，学生开始接受推理论证能力的培养。推理证明则成了初中学生学习的一个难点，不少学生表现为数学语言逻辑顺序混乱，前言不搭后语，甚至随意添加一些条件或者想当然。常常啰啰嗦嗦写了一大堆，却不知所云。

例3 如图，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，CD平分∠ACB，BE⊥CD，E在CD的延长线上，试探究BE和CD的关系，并证明你的结论。

错解：截取CF=BE，FH⊥CD，过D点向BC作垂线DG。

分析：该同学通过观察图形从直觉上认为CD为BE的2倍，但是对于题目中所给的条件和结论之间关系却是一脸茫然，于是按照自己的意思胡乱写了一通，反映出来的是数学语言不够准确，甚至出现了错误，证明过程中出现生拉硬扯的想当然，完全不顾条件和结论之间的因果逻辑关系。

策略：判断一个命题的正确与否，其根本方法就是推理证明。造成书写混乱的主要原因是因为学生的逻辑推理意识不强，推理能力不足造成的。教师在教学过程中要做好对学生循序渐进的引导和启发。对于初学者可以按照让其先学会“说理”，然后过渡到“简单推理”，再到按照“一定模式”推理直至学会严格地推理证明;教师先示范推理证明格式，再逐步要求学生独立分析、写出证明过程。在教学中教师要根据教学内容和进度为学生安排适量、适中的题目加以训练，让学生切实提高推理论证能力。

三、一题多解，优化解题方法

许多数学问题由于所处的视角不同，思考方式不同，切入点不同，会产生不同的解决方案，众多的解题方法中，有的简洁明了，有的复杂繁琐。一些同学由于思路单一，方法僵硬，缺少变通，不能有效地将条件与结论关联，条件与条件匹配，以至于造成解题时就地打转转，甚至有的绕了很大一圈也不能将问题解决。

例4 如图，在四边形ABCD中，AD||BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别交于点M、N。求证：四边形BNDM是菱形。

方法一：先证△MOD≌△NOB，得出MO=NO，又BO=DO，所以四边形BNDM为平行四边形，又MN⊥BD，所以四边形BNDM为菱形。

方法二：先证△MOD≌△NOB，得出MD=NB，又AD||BC，所以四边形BNDM为平行四边形，又MN⊥BD，所以四边形BNDM为菱形。

方法三：因为MN垂直平分BD，所以MB=MD，NB=ND，得出∠MBD=MDB，

由AD||BC，得出∠MDB=∠DBN，所以∠MBO=∠NBO，进而证明△MBO≌△NBO，

得出MB=BN=ND=MD，所以四边形BNDM为菱形。

方法四：由方法三得出∠MBO=∠NBO，又BN=DN，所以∠OBN=∠ODN，

得出∠MBO=∠ODN，所以MB||DN，得出四边形BNDM为平行四边形，进而证明为菱形。

策略：一题多解能使学生学习中开阔视野，把以前的所学的知识融会贯通，有助于发散学生的思维，培养学生的创新思维和探究能力，而培养学生的创新思维和探究能力正是新课程标准的目标之一。在教学过程中，利用所给条件，引导学生观察、联想、对比，采用一题多解方法授课，可以大大增强学生学习热情，让孩子们更加积极主动地参与到教学中去，提高课堂学习效率，收到“做好一题，带动一片”效果。

四、题后反思，挖掘隐含条件

有些数学问题结构独特，条件隐蔽，学生在解题时往往只关注显性条件，结果导致问题不能正确解决或者结论不完整。

例5 若△ABC的三边分别是a，b，c且满足a4+b2c2-a2c2-b4=0，请判断三角形的形状。

错解：由题可得：

分析：本题忽略了等式性质2的中等式两边同时乘以（或除以）一个“不为零”的数或式子的限制条件，从而漏掉了另一种情况的存在：当a2-b2=0时，△ABC为等腰三角形。故正确答案为直角三角形或等腰三角形。

例6 已知，求2x+y的值。

错解：因为成立的条件是a≥0，所以x2-4≥0，4-x2≥0，故x=±2，y=0。2x+y=±4。

分析：解题时只考虑到了根式成立的条件，而忽略了分式成立的条件，造成了多解。相当一部分同学对于题中的两个隐含条件都没有注意到，只是一脸茫然地望着含有两个未知数的一个等式，无所适从，不知从何下手。

策略：通过上述例子可以发现，隐含條件对解题影响极大，它既有干扰作用，可导致各种错解，又起暗示作用，在解题时能发现最有价值的因素，为顺利求解扫除障碍和架桥铺路。解题时，只有认真审题，深刻理解数学概念才能挖掘出隐含条件，提高解题能力。题后反思能够促进学生对所学的数学概念、性质、定理进行再认识，有助于学生更好的建构知识体系。教师不能仅仅满足于引导学生得出正确答案，还要引导学生进行积极的题后反思。解完题后，教师要带领学生从“结果”回到“条件”，检验答案是否准确，是否符合实际意义;尤其是解题过程中多次碰壁，更要再次反过头来审视问题的“条件”，想一想为什么第一次做题时没有挖掘到隐含条件，这些条件隐藏在了什么地？这类题目的特征是什么？这对自己今后学习新知有什么指导作用？这样学生才会在不断的反思中进步，在反思中提高。

总而言之，数学习题千变万化，造成学生解题思维障碍的原因也是多种多样，要减少思维障碍对解题的消极作用，发展学生学习能力，培养良好思维品质，关键在教师，重点在课堂。教学中，教师要注重课堂教学的问题性，通过一题多问，一题多变，提高学生的思辨能力，提升问题意识;教师要遵循学生的认知规律，采用循序渐进，螺旋上升式教学方法，教会学生自主学习、自主探究，让学生在探究知识的过程中提升推理能力;教师要注重教学的开放性，敢于大胆“放手”，让学生的大脑得以解放，鼓励学生用不同方法解决问题，并比较这些方法的优劣，寻找出解决问题的最佳方案;教师还要教会学生反思，并留给学生一定的思考时间、思考空间，使他们对所学知识有一个重新认识。

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2] 栁长友，张建鲲，张伟娜. 教育心理学[ J ]. 北京：北京师范大学出版社，2015.7

[3] 徐建伟. 数学教学中应善设“陷阱”[ J ]. 中小学数学（初中版），2008（6）：11

【本文系2020年度安阳市基础教育教学研究课题“初中数学教学中错误资源有效利用的研究”（课题编号：ayjky20038）的研究成果】

安阳市曙光学校 河南 安阳 455000