案例教学与翻转课堂耦合式教学的探索与实践

林 娟 庄金洪

（福建商学院信息工程学院，福建 福州 350001）

为什么要进行课堂教学模式改革？就经济类、管理类专业而言，其一，这类专业的学生通常是文理兼收，目前高中阶段数学采用模块选学的方式，来自五湖四海的学子们的数学基础差异较大，基础知识参差不齐，为数学教学带来了很大的困难。但根据人才培养方案，各专业对数学的要求没有发生本质的改变，因此，教师的课程教学要在完成课程大纲教学的同时让不同基础层次、不同学习需求的同学都有所学并有所得。其二，教师常常会听到学生这样的反馈：课堂上都听明白了，可课后的练习却不会做。这也许就是大部分学生努力学习，而学习成绩无法提高的症结所在。根据调查分析，其中最主要的原因是学生对所学知识没有充分吸收与知识内化程度不高。因此，教师要探索一种课堂教学模式，这种新模式能帮助学生更有效地吸收所学知识，提高知识内化程度，也更能促进学生自主学习，从而发展学生思维认知能力，提高学生应用数学知识解决实际问题的能力，强化学生综合素质的培养，达到提高应用型本科数学教学质量的目标。

《概率论与数理统计》由概率论和数理统计两个部分组成，是研究随机现象并找出其统计规律性的一门学科，它广泛应用于社会、经济、科学等领域的定量分析和定性分析，是经济类、管理类各专业必修基础课，旨在培养学生逻辑推理能力、抽象思维能力、随机事件应对能力、处理数据能力，提高学生综合素质。

一、案例教学法与翻转课堂

（一）案例教学法

案例教学法于1980 年被引入我国，由于它对学生的认知水平、分析问题的能力、研究问题的能力、解决实际问题的能力都有明显的提高作用，同时有助于发展学生的创新能力和培养学生的团队协作精神，目前被运用于各种学科的教学中［1-4］。其具体做法是：教师根据教学目标编写案例，学生对案例进行阅读、思考、分析、讨论和交流，通过这一系列活动，发生思维碰撞以达到掌握所学知识点的目的。在这一过程中，学习者的分析和解决问题的能力得以提高，在数学课程教学中的作用可归纳为：1.提高学生应用数学的能力；2.提高学生观察能力、思维认知能力和自主学习能力；3.提高学生表达能力和团队协作能力。

（二）翻转课堂

2012 年开始，翻转课堂教学模式逐渐进入我国中小学及高校课堂，自此在国内教育界中引起不同反响，也是教育界探究的热点［5-6］。在数字中国背景下，便捷、快速的讯息传送通道能为翻转课堂保驾护航。传统教学模式是教师在课堂上传授新知识，学生课后做作业、复习巩固所学知识，翻转课堂教学模式则是让学生在课前自主学习新知识，然后在课堂中完成知识的吸收和内化。因此，翻转课堂教学模式能让学习更加灵活、主动，让学生的参与度更高。

二、案例教学与翻转课堂耦合在课堂教学中的探索

（一）根据教学内容选择案例

基于授课对象是经济类、管理类学生，所以我们选择的案例要与专业相切合，这样一方面能激发学生学习兴趣，另一方面能改变“数学是抽象的符号与公式”的刻板印象，呈现数学是用来解决实际问题的好帮手。根据教学内容选择案例，举例如下。

教例1 章节名称：条件概率及其应用

教学目标：理解条件概率的概念，掌握乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式，会应用这些公式求解相应事件的概率。

根据教学目标，我们选择如下案例。

案例（投资问题）：一般情况下，利好消息、利空消息都会对上证指数产生影响，假设今天有利好消息的概率为0.6，有利空消息的概率为0.2，既无利好消息也无利空消息的概率为0.2，根据以往的统计数据，上证指数在有利好消息时上涨的概率为0.8，在有利空消息时上涨的概率为0.1，在既无利好消息也无利空消息时上涨的概率为0.5。若已知今天上证指数上涨了，问今天有利好的概率。

将案例发布给学生时，我们同步发布了以下任务点，引导学生学习本节内容。

任务点：1.辨析条件概率P(A|B)与积事件概率P(AB)两个概念，它们之间有什么区别与联系呢？2.条件概率还是概率吗？它与无条件概率之间有什么区别？3.全概率公式和贝叶斯公式有何区别，各自能解决什么问题？4.什么是先验概率和后验概率？两者之间的关系如何？5.分析并解答本案例。

教例2 章节名称：事件的独立性

教学目标：理解事件独立性的概念，掌握用事件独立性计算概率，能够建立简单的概率模型。

案例（保险赔付问题）：某保险公司现有一款人身意外险（保险期为1年），已有n个人投保。假设投保人在一年内发生意外的概率为ε。请你帮忙分析该保险公司赔付的概率。

任务点：1.两事件A,B独立与两事件A,B互斥这两个概念的异同？2.小概率事件指的是什么？它有怎样的实际意义？3.分析本案例，建立简单数学模型；4.根据往年的统计数据，投保人在一年内发生意外的概率约为0.001 时，当n为多大时，保险公司的赔付概率超过0.5。

教例3 章节名称：数学期望

教学目标：理解数学期望的概念，掌握数学期望的计算及性质，掌握随机变量函数（一维、二维）的数学期望计算方法。

案例（库存问题）：某国对外出口某种商品，假设国际市场每年对该商品的需求量是一个随机变量X（单位：吨），且在［2000，4000］区间内服从均匀分布。根据以往的经验，每售出1 吨该种商品，则获利外汇3万元，但若因销售不出而库存，则每吨需保管费1 万元。请你分析每年应组织多少货源，才能使该国家收益的期望值最大？

任务点：1.随机变量的数字特征在概率论中有什么意义？2.在数学期望定义中为什么要求无穷级数和广义积分绝对收敛呢？3.数学期望有哪些重要性质？其中哪些性质需要“相互独立”这一前提条件？4.如何求一维与二维随机变量函数的期望？

（二）根据案例制作微视频

将所选案例和相关章节的知识点制作成微视频，并将微视频发送给学生，学生可以通过电脑、iPad、手机等工具随时随地地观看微视频，思考课前任务，查找资料进行学习。心理学家研究发现，人类注意力因个体差异，注意力集中的有效时间会略有不同，但通常不超过10 分钟。根据我们自己的经验发现，当我们在课堂中听课、听报告，或观看视频一般不可能做到每时每刻都集中注意力（即使你很努力，也不可能让你的注意力每时每刻都保持集中），这说明人类注意力集中不是长久的，我们在制作微视频时正是遵循了这个规律。微视频虽然很短，但它包含前期学习资源的设计，如选择案例、设计问题、制作课件，最后才是制作微视频，在此过程，重中之重是科学地选择案例、划分知识点。

（三）翻转课堂的实现设计

“翻转课堂”让学生在课堂外学习知识，再在课堂上内化知识。课堂外，学生带着教师所给的任务点提前学习；课堂内，学生解答问题，教师针对学生回答问题的状况进析疑解惑，归纳呈现相关知识脉络。在这个过程中，学生的认知过程是从理论到实践，再从实践回归理论，实现升华，达到充分吸收知识，提高知识内化程度。

目前翻转课堂的实现主要有“二步”授课模式、“三步”授课模式。经过实践比较，我们设计“五步”授课模式：第一步，学生课堂外对案例进行阅读、思考、分析、讨论和查找资料等，结合所给任务点学习相关知识；第二步，学生课堂内回答任务点所列问题；第三步，教师针对学生回答问题的情况进行归纳总结，呈现所涉及的知识点，如：相关概念、性质、定理等的脉络；第四步，学生再练习，并自我总结；第五步，教师点评、总结。这五个教学环节能促进学生自主学习，帮助学生内化知识，进而提高学生知识内化的程度，发展学生思维认知能力，实现综合素质的培养，提高数学教学质量。

（四）案例教学与翻转课堂耦合的实施流程

教师根据章节内容、教学目标、学情，选择案例、按章节内容划分知识点、设计问题，准备工作完成后着手制作微视频，微视频制作完毕后发布给学生，让学生利用微视频进行课前学习，其后学生带着课前学习成果和疑问到课堂，针对学生的解答问题的情况和学生提出的疑问，教师进行析疑解惑、梳理知识脉络，最后进行课堂练习和再自我总结，实现知识的内化和升华。具体实施流程见图1。

图1

三、总结

以案例唤起学生探索知识欲望，让学生认识到数学不再是冷冰冰的公式，而是为解决实际问题而产生的，以翻转课堂培养学生自主学习能力，提高知识内化程度，两者耦合能产生正向反应，极大优化课堂教学效果，从而提高教学效率，发展学生思维认知能力，提高学生应用能力和创新能力。